探寻分数概念落地生根的有效教学途径

李强

【摘要】在实际教学中，应当如何渗透“部分—整体”的关系，让学生经历分数概念的生成，丰富认识表象呢？本文基于教学实践探索的基础上，提出几点教学建议：分类研究，渗透关系思维;聚类研究，揭示概念本质;多元表征，深化认识分数;巧用模型，丰富认识表象。

【关键词】小学数学;分数概念;分类研究;聚类研究;多元表征

分数概念体现的是整体与部分两个量之间的关系，既可以分为单个的整体与部分之间的具象关系，又可以分为多个整体与部分之间的抽象关系，同时，还可以从比、商等多种角度加以理解。由此可见，分数无论是在概念、意义上的理解还是读写、计算上的运用，较之整数都更加的抽象。人教版教材在三年级上册安排了分数的第一次认识，通过单元主题图呈现“秋游户外野餐”分物品的场景，让学生在操作中体会到对于平均分的结果有时能用整数表示，有时却不能，从而激发认识冲突，感悟产生新数的必要性。随后，教材借助例1两名学生平均分月饼的情境，用“”表示“一半”，初步认识分数;紧接着通过小精灵的解释明确提出分数概念的基本要素“平均分”“它的”;随后，将月饼平均分成4份，类比迁移學习。在实物模型的基础上，教材借助面积模型——圆和长方形，认识、，并由此概括出怎样的数称为分数，同时进行分数各部分名称的学习;最后，通过例2折正方形的活动，体会异中求同，深化分数的意义。

心理学研究表明：分数概念的抽象性及其理解方式的多样性，是学生理解分数概念的困难所在。因此，在教学中如何渗透“部分—整体”的关系，让学生经历分数概念的生成，丰富认识表象呢？下面，笔者结合实践教学，谈几点认识和看法。

一、分类研究，渗透关系思维

数学概念的由来，是前人通过辨析比较大量的材料的过程中，提炼实物本质属性并归纳概括命名而形成的。为了让学生经历分数概念的形成过程，教师可提供学生大量的具有“整体与部分”关系的材料，巧设分类活动，让学生经历分类、鉴别的过程。鉴于学生辨析能力的差异性而导致的分类形式多样化，在教学中教师可以给定标准，让学生“按级”分类。一级分类标准——是否平均分，即让学生将材料按照是否平均分的特点分成两类;二级分类标准——平均分的份数，即在一级分类的基础上，将平均分的这一类材料按照分的份数再次进行分类。如下图所示：

一级分类图示：

二级分类图示：

学生在经历分类活动过程中，首先对分数概念抽象的前提——“平均分”有了较为深刻的认识，对后续的抽象命名具有一定的促进意义;其次便于培养学生对材料的辨析比较及处理能力;同时还培养了学生“透过现象看本质”的数学眼光。

二、聚类研究，揭示概念本质

所谓聚类研究的概念形成过程，是指对大量不同的材料通过聚类的研究分析，发现其中相同的共性特点，这些特点就是概念最为本质的特征，对这些本质特征进行归纳概括抽象命名就形成了概念。

在上述分类活动的基础上，聚焦到二级分类“平均分成两份”的材料中，通过“一个物体用整数1表示，那其中的一半应该用什么数来表示呢？”的提问激发学生认知冲突，感悟分数产生的必要性，从而引出。随后，先从直观的实物模型入手，引导学生规范地表达出“把一个苹果平均分成两份，每一份都是它的二分之一”，初次感受“部分—整体”的关系。在引导性的举例后，教师可以重心下移地让学生以同桌方式或以小组形式对正方形和圆进行探究。甚至，教师还可以鼓励学生联系生活中的事物进行举例，如，一根绳子与其中的一半、一个月饼平均分给两个小朋友、一块巧克力与其中的一半的关系、一本书与其中一半的关系、半杯水与整杯水的关系，等等，最后进行全班交流。通过收集学生丰富的课堂生成资源，促使学生将数学知识与现实生活建立联系，从而进一步加深对内涵的理解。有了的学习经验，教师可以重心下移，大胆放手让学生自主探究、的形成过程。在这个过程中，教师要注意对学生语言的修正和提炼，帮助学生在多元表征和规范表达中感悟分数概念的本质。最后，引导学生纵向观察、对比、、的形成过程，异中求同，提炼出“把一个整体平均分成几份，每一份就是它的几分之一”。

三、多元表征，深化认识分数

郑毓信教授认为，教师在课堂教学中有必要强化案例、图像、隐喻和手势的运用，帮助学生建立概念的多元表征，并能根据需要与情景在不同表征之间作出灵活的转化。同时，美国著名学者莱许等也曾借助下图说明数学概念的发展过程：“实物操作只是数学概念发展的一个方面，其他的表征方式，如，图像、书面语言、符号语言、现实情景等，同样也发挥着十分重要的作用。”

由此可见，学生利用不同的方式表征分数概念，代表了其对分数概念的理解水平。在教学过程中，教师应该创设有效的教学活动，积极引导学生通过“行为”“图形”“符号”“语言”等方式表征分数概念。例如，在最初接触时，先从“行为”（二级分类过程中，将平均分成两份的物体归为一组）入手，随后抽象出“一半”的数学符号——，再通过语言表征（将一个物体平均分成2分，其中的1分就是这个物体的）认识，最后通过图形表征（折一折、涂一涂的活动）丰富的认识。此外，教师在教学时需要把握不同表征方式之间的关系，努力让学生经历多种表征方式的“来回”转换。例如，通过分类研究、聚类分析的活动给出、、等分数的“符号”，这是“行为”“图形”表征转化为“符号”表征的过程。而例2“拿正方形纸折一折，表示出它的”则是通过给出的符号回溯操作活动，是“符号”表征转化为“行为”“图形”表征的过程。在多种表征“有来有回”的过程中，学生再一次深化了“平均分”“分的是谁就是谁的几分之一”两重含义的理解。

四、巧用模型，丰富认识表象

郑毓信教授曾提出：“我们应注意防止这样的一种倾向，即在教学中只是注重了概念的生成，但却未能帮助学生通过概念的分析与组织形成对概念的深刻理解。分数概念由于其抽象性，学生理解起来有难度。”因此，在概念的引入过程中，教师要注意使学生建立清晰的表象。而分数概念表象的建立，是以对所感知材料的观察和分析为基础的，需要借助丰富的感性材料，把分数概念中最本质的属性用恰当的直观模型演示出来，把数和形结合起来，为建构分数概念奠定基础。

在实际教学中，大部分教师几乎都是通过分月饼或分蛋糕的情景来引入的概念，随后通过“折一折”“涂一涂”的活动以期让学生借助各种长方形、正方形等面积模型纸折出，丰富认知。虽然教师努力地通过实物模型、面积模型来建立对的表象认知，但仍然会造成分数概念认识的单一（学生对的认识仍然停留在半个月饼、半个张方形、半个圆上）。因此，在教学中，我们除了像上述提及的重心下移，让学生发现生活中更多“一半”的实物模型外，还可以适当采用集合模型、数轴模型、线段模型等多样化的直观模型，丰富学生的认识表象，避免思维的僵化。分数概念具有双重性，既有“数的特征”，也有“形的特征”，只有从两个方面认识分数，才能更好地理解并掌握它的本质意义。

总之，在教学过程中，教师要努力做到向学生提供丰富的生活素材，让学生在辨析比较中经历分数概念的形成，同时借助多样化的直观模型，丰富学生的认识表象，发展数感。

参考文献：

[1]小学数学课程教材研究开发中心.教师教学用书·数学·三年级上册[M].人民教育出版社，2016.

[2]吴亚萍.数学教学改革指导纲要[M].福建教育出版社，2017.

[3]吴亚萍.中小学数学教学课型研究[M].福建教育出版社，2017.

[4]史宁中.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京师范大学，2012.

责任编辑  罗燕燕