新高考背景下结构不良试题的教学实践与反思

周炎

[摘  要] 2020年新高考全国Ⅰ卷出现了结构不良试题，对教师和考生来讲是一种全新的挑战. 文章试结合高三一轮复习中结构不良试题微专题的教学实践研究，谈一谈结构不良试题的功能及教学建议.

[关键词] 结构不良试题;数学思维;情境

[⇩] 问题提出

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，数学教育要能促进学生思维能力、实践能力和创新意识的发展.对于这一课标精神，在近两年的全国高考数学试卷中有了非常明显的体现，其中2020年新高考山东卷第17题便引发了更多关注.

题目：在①ac=，②csinA=3，③c=b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值;若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA=·sinB，C=，________？（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

本题有如下几个特点：①问题条件或数据部分缺失;②选择不同，导致多种解决方法和途径;③具有多种评价解决方法的标准. 这样一种与以往有不同结构的试题，在认知心理学上称为结构不良试题.它能够有效考查学生多角度把握问题本质的能力，促进学生思维能力的发展，进而更好地发挥高考的选拔功能.

[⇩] 教学实践

1. 情境导思，提出问题

用PPT呈现2020年高考山东模拟卷第17题和2020年新高考山东卷第17题.

提问：以上两道试题与以往我们常做的试题有何不同，在结构上有何共同特征？

设计意图：诱导学生进行比较，唤醒思维冲突，激发学习欲望，自然揭示课题.

2. 典例深思，建构数学

例1 （2020年高考山东模拟卷第17题）在①向量m=（sinωx，cos2ωx），n=

cosωx

，，ω>0，f（x）=m·n;②函数f（x）=sin（2ωx+φ）ω>0，φ

<的图像向右平移个单位长度得到g（x）的图像，g（x）的图像关于原点对称;③函数f（x）=cosωxsinωx

+-（ω>0）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.

问题：已知_________，函数f（x）的图像相邻两条对称轴之间的距离为.

（1）若0<θ<，且sinθ=，求f（θ）的值;

（2）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递减区间.

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

例1由学生自行思考、完成解答，教师请学生代表上台展示解答过程并对自己的选择进行说明.对本题的作答情况统计如表1所示.

设计意图：借助于例1初步收集学生对结构不良题的处理方法，明晰学生内心深处的真实想法. 通过展示，对各种选择进行比较，如：条件①考查向量数量积及两角和差公式，有一定的运算量;条件②考查三角函数图像的平移变换及对称性，运算量较小，但需對三角函数性质较熟悉;条件③考查升降幂公式及辅助角公式，运算量较大，需有扎实的基本功. 根据以上比较，形成共识，即在选择前需初步判断，再选择自己擅长的、更有把握的及性价比高的条件.

3. 变式拓思，运用数学

变式1：在①cosA=，cosC=;②csinC=sinA+bsinB，B=60°;③c=2，cosA=三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.

问题：已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，________，求△ABC的面积.

变式2：已知函数f（x）=Asin

ωx+

（A>0，ω>0）只能同时满足下列三个条件中的两个：①f（x）的最大值为2;②函数f（x）的图像可由y=sin

x-

的图像平移得到;③函数f（x）图像的相邻两条对称轴之间的距离为.请写出这两个条件的序号，并求出f（x）的解析式. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

设计意图：（1）强化例1的研究成果，检测学习效果;（2）由于例1虽是不同条件，但最终结果相同，为避免学生形成思维定式，给出变式1——不同条件不同结果;（3）结构不良试题不仅是“多选一”，还可能是“多选二”.进一步拓展学生的思维，更好地培养学生发现问题、解决问题的能力，提升学生应对创新挑战和实践的能力.

4. 链接高考，体验数学

例2 2020年新高考山东卷第17题.

设计意图：（1）高考题对学生来说是一种全真的体验：体验高考问题情境，明晰高考考查方向;（2）本题较之前的例题及变式题更灵活，若学生在选择条件前能对问题中的已知条件先行分析，能达到事倍功半的效果.

对此题的作答情况统计如表2所示.

5. 归纳反思，理解数学

（1）本节课的知识框架：

设计意图：由例题及变式训练逐步总结提炼，形成知识网络. 促使学生将解题的经历转化为思维活动的经验，帮助学生掌握基本模型，感悟基本方法.

[⇩] 教学反思

1. 破传统、融创新、提思维

一方面，以往高考中的数学试题的初始条件是现成的，目标状态是已知的，考生通过高中三年的强化训练对这些问题有明确的思路和模式化的解法. 结构不良试题的出现打破了传统解题套路，迫使学生学会选择、推理、评价与监控.如例1，需要学生事先做出选择，而在明确选择前要站在不同角度对每个选项进行初步推理，进而比较每个路径的运算量、熟悉程度等，最终选择自己认为最有把握、最高效的选项.

另一方面，结构不良试题由于选择不同，导致最终的结果不同，改变了学生对传统数学试题的认知.如变式1，三个不同的选择导致三种不同的结果，这样的设计，帮助学生认识到问题并非只有唯一正确的答案，只有相对较好或较差的解决方法;如例2，不仅有不同的结果，选择条件③则三角形根本不存在，说明结构不良试题有较强的开放性和创新性;又如变式2，其呈现的是“多选二”不良结构，且不是任意选择两个条件都能解决问题，说明结构不良试题对学生思维能力的考查还可以进入更高、更深的层面，需要给基础扎实、思维能力强的学生提供更好的展示平台，更大程度地发挥考试的区分鉴别功能.

2. 强概念、重情境、促迁移

《中国高考评价体系》指出，高考的核心功能之一是引导教学，结构不良试题的出现对高中数学教学提出了更高的要求.

首先，从以上实例来看，从每个选项的选择到完成整个问题的解答均源于学生对日常教学中书本上最基本的概念的深刻理解以及公式的灵活运用.作为一线教师，在概念教学时应重视概念的生成过程，引导学生主动地厘清数学概念的前世今生、把握数学概念的本质，从数学概念开始就要有意识地培养学生发现问题和提出问题的能力.若新授课中把大量时间与精力花在试题训练上，那么培养出来的学生就成了做题机器，使其认知能力存在极大的局限性，无法很好地应对新高考中的新情境.

其次，结构不良试题往往呈现的是多种情境，迫使学生站在不同角度思考多种可能，这就要求平时教学中多设置开放性、多样化的问题情境. 如例1，从向量、三角函数图像变换、两角和差公式等不同情境视角去解决同一个问题;又如，对于例2还可以做这样的变式：“已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=，c=2，在你现有的认知范围内能解决与三角形有关的哪些量的最值问题（至少写出两个，并给出解答过程）？”这样的问题情境，能有效地拓展学生思维的广度和深度、激发学生的学习兴趣和提升学生的创新能力.

强概念重情境的终极目标就是培养学生发现问题和提出问题的能力、提高学生分析问题和解决问题的能力，从而使学生将形成和发展的能力迁移到高考中，进而迁移到现实世界中，实现数学学科育人功能.