自适应扩散系数优化的图像降噪算法

郑香香，刘艳莉

(1. 北京市健宫医院呼吸与危重症医学科，北京100054；2. 中北大学信息与通信工程学院，山西 太原 030051)

1 引言

数字图像处理技术在当今的信息获取中起着举足轻重的地位，而图像降噪又是数字图像处理重要的根基。图像在生出或传输的过程中都会受到外界环境或设备等的影响，使采集到的图像一些重要信息被掩盖，对图像的后续处理带来很大困扰，尤其对医疗疾病诊断行业的影响巨大，因此，如何有效去除噪声，并更好地保持图像原有的纹理细节等重要信息是图像降噪的难题。

Perona和Malik于1990年提出了各向异性扩散(Anisotropic Diffusion)模型之后(即PM模型)，国内外研究者开始从各个角度研究如何提高PM模型的降噪性能[1-3]。为了有效权衡边缘细节和噪声间的矛盾，研究人员引入局部方差，信息熵，差分曲率、非局部均值等信息[4-8]，构造不同的扩散系数。Gilboa 等人[9]提出了一种保持斜坡的复扩散方法，主要利用图像的虚部作为拉普拉斯算子的近似来控制扩散，Barbu 等[10]讨论了在极小增长条件下基于梯度凸函数极小化的变分模型。郭业才等人[11]提出了基于脉冲耦合神经网络和图像熵的各向异性扩散模型，将噪声图像获取的熵序列和图像梯度共同构成检测因子，可以更有效保留图像纹理等微弱信息。基于Hessian矩阵特征值的结构检测算子[12-13]，能根据图像特征调整扩散系数的梯度阈值，以均衡噪声与细节的扩散程度。wang等人[14]提出了一个新的二阶和四阶各向异性方程来有效地去噪。Yu等[15]提出了一种核各向异性扩散的图像去噪方法；Chao[16]等将局部灰度方差引入到PM模型的扩散系数中。这些方法的扩散系数都依赖于图像梯度值，因此也削弱了图像的纹理和细节。

本文提出一种新的基于PM模型的图像降噪算法。首先利用经典的PM模型处理图像，获得残差能量，主要包含图像的噪声和纹理信息；然后提取图像残差信息中的纹理部分，在二次PM迭代中，将其进一步应用到原图像中；此时的纹理与噪声同时存在，利用绝对差值排序算子很好地区分纹理与噪声的特性，进一步处理图像；将图像梯度信息，残差能量及绝对差值排序算子融合到模型中，使得降噪后的图像可以较完整的保留纹理细节，实现整体均衡降噪，更利于人类视觉观察。

2 相关理论知识

Perona和Malik提出的经典的各向异性扩散模型，其表达式为

(1)

式中：I(x，y，t)为输入图像；div为散度算子；∇为梯度；c(|∇I|)称为扩散系数函数，其表达式为

(2)

其中，|∇I|为梯度幅值，k为梯度阈值。PM模型主要利用图像梯度模值，通过设定扩散系数来调控方程的扩散效果，使扩散主要作用于图像的非边缘区。尽管该思想保留了图像的边缘，但其在去噪过程中仍会将一些纹理和细节滤除。降噪方法都是假设噪声是振荡的，图像是光滑的或分段光滑的，因此，试图将光滑部分和震荡部分分开，即将噪声与图像纹理细节分开。但是图像的纹理和细节具有类似于噪声的振荡特性，因此在消除噪声的同时，不可避免的损害图像纹理细节信息。而纹理细节体现了图像的丰富信息，其在图像检测和图像内容理解上起着举足轻重的作用，尤其对于医学影像疾病诊断、工业缺陷识别的作用影响巨大，因此基于PM的降噪算法对纹理部分的处理显得尤为重要。

2.1 基于PM的纹理检测算子

传统的梯度算子对纹理部分的提取显得比较困难，文献[17]提出了基于PM算法本身的纹理检测算子，利用纹理区含有较大的残留局部能量，可以很好的区分图像边缘、纹理和细节等信息。其基本思想是：在PM模型中，如果图像的某些纹理信息被错误的去除，那么它将出现在残留的局部能量中，可通过计算局部残差能量得到图像纹理算子。此外，它仅检测PM算法消除的纹理区域，而不检测PM算法保留下的纹理区域。PM局部残差Ir定义

Ir(t)=I0-I(t)=Is+In

(3)

其中，I0为含噪原图像，I(t)为经典PM滤波后图像，Is包含一些信息成分，如纹理和细节，In为噪声成分。图像信息和噪声是不相关的。因此局部残差能量可表示为

Pr=Ps+Pn

其中，Pr，Ps，Pn分别为Ir，Is，In的局部能量(局部方差)，由于Pn趋于恒定，因此可以将其视为图像Pr的强度偏移。在纹理区域中，Ps的取值比其它区域大，即纹理区域的Pr值大于其它区域的Pr值。局部能量(纹理检测算子)Pr的计算步骤如下：

1)用式(1)的PM算法分离出PM残差，即噪声和相应的纹理细节信息，直到残差能量大于设定值时停止迭代，即满足下述公式

(4)

其中，μ(·)是均值算子，I0为含噪原图像，I(t)为PM迭代t次滤波后图像。迭代次数取决于残差信息。

2)计算此时的局部残差能量，即纹理检测算子

(5)

其中，ωx，y(x，y)是归一化高斯窗，Ωs表示窗口区域，局部残差能量Pr(x，y)体现了纹理信息。

文献[17]的扩散系数是将图像的边缘检测算子(图像梯度幅值)和上一步计算出的纹理检测算子(残留局部能量)之和构成的递减函数，共同控制扩散程度。即：将下式应用于含噪图像进行二次PM迭代，达到降噪效果：

(6)

下图显示了PM纹理检测算子Pr(x，y)的有效性，如下图1、图2所示，lena含噪图像和腹部低剂量含噪图像纹理区的亮度均高于其它区域，即纹理细节处的局部残差能量较大，因此，基于PM的残差局部能量可以作为纹理检测器。该算法可以从经典的PM算法滤波后获得的残差信息中提取图像的纹理信息，并在PM的第二次运行过程中可以将残差中的纹理信息提取并保留在原图。如下图1、图2中的(c)图，即残差信息图，只有噪声，没有图像的结构信息，可见算法的有效性，但同时，从残差图像中也发现在纹理细节较多的地方，图像的噪声去除程度也减弱，即对纹理区的降噪效果不佳，整体去噪不够均匀。

图1 lena图像的纹理检测及残差结果

图2 腹部低剂量含噪图的纹理检测及残差结果

2.2 绝对差值排序算子

为进一步解决纹理区的噪声问题，本文引入一种局部图像统计算子：绝对差值排序算子(rank-ordered absolute differences，ROAD)[18]，ROAD可以很好地检测图像噪声与细节，原文实验证明，图像噪声点像素的ROAD值较大，而没有被噪声污染的像素点的ROAD值较小。ROAD的基本原理如下：设中心像素点的坐标为a=(a1，a2)，则：

Ωa(N)：={a+(i，j)：-N≤i，j≤N}

(7)

da，b=|Ia-Ib|

(8)

然后，将局部da，b中值按升序排列，并定义

(9)

r(a)=sort(da，b)

(10)

ROAD值的计算过程如图3所示。

图3 ROAD的计算过程

较小的四个绝对差值排序分别为：r1=10，r2=21，r3=33，r4=40。

ROAD的计算结果：

ROAD主要通过中心像素与其周围四个像素绝对差值的大小，来衡量它们之间的相似性。一般而言，图像的内部及边缘均具有较好的连续性，因此在中心像素的八个邻域中，至少应有四个像素间是相似的，即具有较小的ROAD值，而噪声一般会使中心像素与周边大多数邻域像素具有较大的强度差，即具有较大的ROAD值，因此，ROAD值可很好地区分图像的噪声与细节。

3 本文算法

PM的梯度幅值算子可以很好的检测边缘，保留边缘信息，但会除掉一些纹理和细节信息，这主要是因为PDE的梯度相关算法只能在边缘(梯度变化较大的区域)和其它区域之间产生差异，纹理和细节具有类似于噪声的振荡特性，因此其在去除噪声的过程中也会被消除一部分。因此文献[17]在扩散系数中，除了考虑梯度以外，还结合纹理检测算子，有效地提取出纹理信息，使纹理区的重要信息都被保留，但其在纹理区的降噪效果明显弱于边缘及背景区。主要是PM滤波过程中滤除了大部分纹理、边缘及噪声，没有很好地区分纹理区中噪声的干扰，使得PM新算法对纹理区的保护过度，降噪效果又不够理想。受绝对差值排序检测算子可以很好地区分噪声和纹理信息的启发，本文算法结合ROAD算子，将绝对差值排序算子引入到纹理检测算子获得的纹理区中，以进一步区分纹理区的噪声与细节。则基于PM的自适应扩散系数新模型降噪公式可重写为如下

(11)

其中扩散系数为

(12)

(13)

(14)

i=1，2，3，4，分别为上、下、左、右四个邻域方向的梯度，在每次迭代过程中，扩散系数都会有更新。即

(15)

4 实验结果和分析

为了验证改进算法的有效性，下面将从主观和客观两个方面进行分析。本文所提算法主要是针对高斯白噪声在σ=50的情况下进行降噪，同时对比算法的参数设置相同，客观评价指标主要用到信噪比(Signal to Noise Ratio， SNR)、均方根误差(Root Mean Squared Error， RMSE)、通用质量指标[19](Universal quality index ，UQI)来评价处理后图像的质量。SNR值越大，RMSE值越小表示图像降噪效果越好；通用质量指标(UQI)是一种客观质量指标，它是通过对噪声图像进行建模，将相关性，亮度和对比度失真损失综合起来进行设计的，UQI值越大，降噪效果越好。

(16)

(17)

本文将提出的新算法应用于普通的lena图像、barbara图像和医学胸腔体模的真实低剂量CT扫描图像进行有效性验证。分别采用PM模型、文献[16]模型、文献[17]模型和本文改进模型对含噪图像进行滤波处理，图4、5、6的(c)、(d)、(e)、(f)分别是不同算法去噪后的图像， (g)、(h)、(i)、(j)分别是含噪图像与对应算法降噪后的差值图，差值图含有的噪声越多，边缘、纹理细节信息越少，则表明去噪效果越好。

分别将图4 、图5、图6的(c)、(d)、(e)和(f)与图4、图5、图6的(a)作对比，可以明显看出：与原始图像相比，PM模型处理后的图像细节丢失较多，对应的残差图中可明显看到残留的边缘、纹理等结构信息。文献[16]、文献[17]去噪后的图像细节保留较多，改善了PM算法对纹理细节的滤除缺陷，但根据其差值图像图4、图5、图6对应的(h)、(i)可看出，对应的纹理区域的降噪效果较弱，整体降噪效果不均匀，如lena图像在帽子的羽毛处，barbarat图像围脖、裤子等纹理部分，腹部低剂量图的结构部分这些纹理细节较多的区域，其降噪效果受到一定限制；本文算法处理后的图像具有较好的视觉效果，图像噪声得到有效抑制，且边缘、纹理等细节得到很好地保留，整体去噪效果较均衡，如图(j)所示，各部分去除噪声较为均匀，含有很少的结构信息。从表1的客观指标上也可以看出，在同样的噪声条件下，本文模型得到的SNR(第一行), RMSE(第二行),UQI(第三行)优于其它模型，因此，本文提出的模型具有更有效的去噪效果和纹理细节保护能力。

图6 腹部低剂量图像不同算法处理结果对比

表1 不同降噪模型处理后的质量评估参数对比

5 结束语

本文以传统的PM模型为基础，结合局部残差的纹理检测算子和绝对差值排序算子，提出了新的基于PM模型的图像降噪算法。基于局部残差的纹理检测算子可以很好地检测到纹理信息，改善了PM算法本身对纹理信息错误滤除的缺陷，同时结合绝对差值排序算子的噪声与细节鉴别能力，很好地克服了PM算法的去噪和纹理保持的矛盾。所提算法很好地保留了纹理、边缘、和弱细节等部分。为了更客观地验证算法的有效性，文章的SNR、RMSE、UQI等参数指标也有所提高。