巧借图像表征推动学生思维进阶

江苏省南京市永泰路小学 郝瑞亚

数学是一门基于思维的学科，学生的思维发展不是一蹴而就的，需要在整个小学阶段的学习中逐步实现由形象思维向抽象思维的转变，而其中思维生长最重要的载体就是图像。图像表征是指学生利用图像表达自己思考的过程。教师在教学中充分利用图像表征，能够推动学生的思维进阶。

一、多图表征，夯实概念生长点

在小学阶段，概念的学习并不要求学生用完全标准的数学化语言进行表述，以“认识小数”的学习为例，新课标强调要注重从具体情境中抽象出数的过程，理解小数的意义。而图像表征就是一个由抽象概念建立直观表象与理解的过程。在学习小数的知识之后，教师设计了这样一道题目：用你喜欢的方式表示你对小数1.4元的理解。学生主要用这样几幅作品表示。（见图1）

图1

从学生作品中，我们可以看出主要有三种不同的理解层次：语言描述、实物观察以及图形展示。能够主动想到用线段图表示的学生对小数的理解已经上升到比较高阶的水平。教师将这几幅作品进行展示，引导学生对比、辨析、交流、融通，在差异化的表达中逐步实现思维的发展与方法的优化，帮助学生从多维度、深层次理解小数的意义。

二、数形联通，提升计算解疑窦

数学家华罗庚曾说，数缺形时少直观，形少数时难入微。在计算的学习中，图像表征能够在难懂之处显直观，在相似之处解疑窦。学生画图的过程本身就是对题意分析并表征的过程，图形还能够将思维的疑惑点暴露出来。另外，在计算的学习中，原本抽象、易错的运算法则结合图形之后，便能形成更加丰富的学习体验。

（一）图像表征，突破局限高屋建瓴

建构主义理论认为，迁移是指认知结构在新条件下的重新建构，迁移按其学习效果可以分为正迁移与负迁移。在教学过程中，教师可以运用图像表征的方式有效突破旧知的负迁移作用，直观帮助学生形成知识的重新建构。

如在学习“乘法分配律”时，教师可以引导学生充分利用图像表征打破代数表达式的局限性，从整体的角度看待乘法分配律。主要有以下两方面的突破：一方面，从数字个数的角度，学生会存在误区，认为等号左边只乘了一次c，所以，在等号右边也只给第二个加数乘c，典型错例如（125+9）×8=125+9×8。这主要是由以前学习的交换律、结合律中“数字的个数不会改变”的刻板印象所形成的负迁移。因此，在教学时，教师引入面积图进行演示，使学生能够直观地感受到，为保证面积不变，两个加数分别乘c的必要性，丰富了学生的认知体验，也在一定程度上消除了代数计算的负迁移。另一方面，在小学阶段，乘法分配律的教学安排在三个不同的年级，分别是整数乘法分配律、小数乘法分配律以及分数乘法分配律。其实，分配律本身就有（a+b）×c=a×c+b×c的模型结构，但是，由于教材在编排时考虑到学习的循序渐进，将这三部分乘法分配律分开进行讲解与验证。另外整数、小数、分数从代数的角度并不是同一类型，因此，不能直接将整数的运算律应用到小数与分数当中，而是需要重新验证。但是，图像的出现打破了代数方面的禁锢。我们只需将分配律的模型转化为两个长方形面积的计算。长方形的长a、b与宽c既可以是整数，也可以是小数或分数。我们便可将代数方面的局限性利用图像打破，形成对乘法分配律的整体认知。

（二）图像助力，明晰算理有效整合

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，培养运算能力有助于学生理解运算的算理。在计算教学中，算理的理解常常是抽象晦涩的。教师通过图像的助力，能够将算理直观地呈现在学生面前，降低理解的难度，使学生实现由形象思维向抽象思维的逐步过渡。在教学苏教版数学五年级下册“异分母分数加、减法”时，笔者先引导学生独立尝试异分母分数加法的计算，在作品展示时结合画图的方法引导学生直观感受先通分再计算的必要性。在异分母分数的计算学习结束后，小学阶段整数、小数、分数的加、减法计算规则都已经学习完毕。教师应该有意识地带领学生发现整数加、减法末尾对齐、小数加、减法小数点对齐，以及异分母分数加、减法转化为同分母分数的加、减法这三者的本质都是相同的计数单位相加。教师可以引导学生通过画图来验证这一结论，使学生在画图的过程中深刻感受每个数位上数字的意义以及算理，将小学阶段的加、减法计算有效整合，在学生心中形成统一、清晰的表象与模型。

（三）线段图示，回归意义明辨疑点

分数的意义对学生来说比较抽象，因此，数学教材分了三册内容循序渐进地教学分数的有关内容。但是，在实际问题中，碰到带单位的分数与不带单位的分数时，学生心中经常疑惑重重，理不清每种情况的单位“1”如何确定，而通过线段图画出分数的过程正好可以帮助他们厘清思路。因此，教师要有针对性地指导学生用画线段图的方式解决分数问题，回归分数意义，帮助学生明辨分数疑点，厘清具体问题中的单位“1”。

如在六年级上册《分数乘法》单元有这样一道题：“某水果批发市场有3吨水果，如果每天卖出，那么（ ）天可以卖完；如果每天卖吨，那么（ ）天可以全部卖完。”这道题是学生的难点与易错点。我们仔细分析会发现问题的症结点在于如何理解与吨分别以什么为单位“1”。为了看得清楚，笔者引导学生画两段相同长度的线段来表示题意。最开始，很多学生将吨画成全长的，但是，笔者稍稍引导后，学生就能发现这样画出的吨比1吨都大。学生在图形中发现矛盾，调整认知。在直观图形的助力下，学生自然对于单位“1”的认识更加深刻，从图形中也能够清楚地看出第一问的答案为3天，列式为（天），第二问中有9个吨，列式为9（天），因此答案为9天。通过这样的图形辨析，学生对不同情况下的单位“1”更加清晰了。

三、抽丝剥茧，聚焦题组巧建模

在高年级阶段，数学知识由二维向三维过渡，这对学生的空间思维是极大的挑战。图像表征能够使抽象的题目直观化，因此，教师要结合题组引导学生从图形中排除无关因素，发现本质规律，进而建立模型，提升学生的抽象思维。

（一）横向对比，方法多样促优化

在学习长方体的体积之后，学生要解决这样一道题：“一种礼盒长4厘米、宽3厘米、高2厘米，乐乐想把2个相同的礼盒包装在一起，怎么包装最省包装纸？”教师引导学生画图之后发现有三种不同的拼法，并让学生自己在练习纸上进行计算。收集学生作品时，我们发现一共出现三种计算思路：第一种是先计算两个图形的表面积之和，再减去合并之后减少的两个长方形的面积；第二种思路是直接地将露在外面的10个面的面积相加；第三种思路是将合并之后的两个长方体直接想象为一个大长方体，再用新的长、宽、高进行计算。教师引导学生介绍作品之后，进行对比优化。首先，学生发现最大的面合并在一起后是表面积最小的情形；其次，大部分学生认为第三种方法在计算时较为简单。教师继续出示拓展题：“刘老师买了4本同样大小的笔记本，每本笔记本长20厘米，宽15厘米，厚3厘米，如何打包最节省包装纸，请你设计最佳方案并计算需要多少平方厘米的包装纸？”让学生自己选择方法进行计算。大部分学生直接采用刚才优化的第三种方法，即新长方体的长、宽不变，高变为原来的4倍，表面积最小，列式为（20×15+15×12+20×12）×2=1440（平方厘米）。

学生给这类题目取名“包装纸”题，并归纳出要使表面积最小，就要将最大的两个面进行合并，并把合并之后的图形想象成一个更大的长方体计算其表面积。由此可见，图像表征能够将抽象题目直观化，同时通过多种方法的对比优化，帮助学生建立解题模型，促进其思维的提升。

（二）纵向联通，温故释新建结构

基于小学生的认知特点以及学习能力的不断递进，数学教材在编排时以单元为单位，将同一系统的知识安排在不同的年级，呈螺旋上升结构，使学生在知识的掌握上达到最优化。但是，这样的教学难免会有碎片化、浅层次化的特点。教师作为教学的组织者，应该从整个小学阶段甚至更高层次来看待所学内容，引导学生在学习时既能“温故”释新、新旧联通，又能拓展延伸、触类旁通，将散落的知识碎片在头脑中拼制成知识地图，建构更高层次的知识结构。

如在六年级学习“长方体的体积”时，教师设计这样一道题：“长方体的长是5厘米，宽是4厘米，高是3厘米，如果长方体的长增加2厘米，长方体的体积增加多少立方厘米？”在教学时，教师首先要教学长方体立体图的画法。学生在画出图形后，发现新增加的部分是一个长为4厘米、宽为2厘米、高为3厘米的小长方体（见图2），并且列出4×2×3=24（立方厘米）的算式，在此基础上稍微回顾一下，便可发现，其实在三年级下册学习“长方形的面积”时曾做过类似的题目：“长方形的长是5厘米，宽是4厘米，如果长方形的长增加2厘米，长方形的面积增加多少平方厘米？”（见图3）教师进一步引导学生思考，图2的立体图形与图3的平面图形有何联系。学生能够发现图3增加的面积正好是图2增加长方体的底面积，因此，可以直接运用“底面积乘高”的方法进行计算，列式为8×3=24（立方厘米）。

图2

图3

在学习圆柱的知识之后，类似的题目又出现了：“圆柱体的底面半径为3厘米，高为4厘米，如果圆柱体的高增加2厘米，圆柱体的体积增加多少立方厘米？”（见图4）教师可以将长方体的知识再次进行对比，进而归纳出长方体与圆柱体积的增加均可以用“增加的底面积×高”进行计算。通过知识的前后对比，学生一方面对于由二维到三维的过渡更加自然，同时，积极将长方体与圆柱进行联系，建构“增加的体积=增加的底面积×高”的模型；另一方面，学生意识到复习以前的知识能够对解决新的问题有所帮助，产生“瞻前顾后”的学习意识。

图4

图像表征作为一种有效的学习方式，丰富了数学概念的内涵，加深了学生对于概念的多维度、深层次理解，联通了数与形的世界，显现思维误区，辨明计算疑窦，极大地增强了学生的空间观念，通过方法的多样化与题组模块化，提升了学生的思维能力。