下凡的精灵：投影向量*——对投影向量的教学建议

⦿广州市番禺区石北中学 广东省吴和贵名教师工作室 姜宝松

1 问题的产生

《普通高中数学课程标准(2017版)》实施后，2019年人教版《普通高中教科书·数学·必修·第二册》(后简称“新教材”)中出现了概念“投影向量”，取消了旧教材中“向量的投影”这一概念.有教师在讲授这一知识时误认为还是旧的概念，还有教师发现投影向量，只是在证明数量积的分配律时使用过，后面就如昙花一现般消失不见，不理解教材中为什么引入投影向量.

2 概念辨别

旧教材中向量的投影是一个数量，利用这个数量来解释向量的数量积.有教师因为旧教材的教学经验，先入为主地认为投影向量也是个数量，从而造成概念混淆.

图1

3 投影向量的数学本质及其作用

3.1 勾股定理

图2

3.2 点到直线的距离(向量推导)

设平面直角坐标系内点Q(x0,y0),直线l:Ax+By+C=0,求点Q到直线l的距离d.

图3

推导：如图3,在直线l上任取点P(x1,y1)，则有Ax1+By1+C=0.

3.3 点到平面的距离公式

图4

同理，也可用投影向量得出两异面直线间距离公式.

以上距离公式的推导过程，可以总结为：点到平面的距离，即是向量(点和平面内的任意一点形成)在平面法向量上的投影向量的模；点到直线的距离亦是如此.这一过程体现了投影向量在降维中的作用，投影向量就像是高维空间降到低维子空间的精灵，联结起高维空间与低维子空间，舞动穿插于诸多数学知识中.

4 投影向量的教学建议

新教材中，在数量积的定义之后，给出了投影和投影向量的概念，并用较大篇幅探讨明了投影向量的计算方法.教材至此对投影向量停止介绍，之后仅在数量积的分配律时使用过投影向量，在后续教材中不见踪迹.这也是部分教师对投影向量地位认识不足，对教材中投影向量感到突兀的原因.结合上述投影向量的本质和作用，给出如下教学建议.

4.1 投影向量计算方法的改进

还可利用向量的代数特性，进一步推导出投影向量计算方法的另一种形式：

即投影向量的计算方法有两中形式：

形式(1)体现出投影向量运算的几何特征，形式(2)体现出投影向量的代数运算特征.由形式(2)还可以推导投影向量的模，推导如下：

图5

例1、例2均为教材中的原题，借助几何直观，利用形式(1)可迅速求解.

例3、例4以及2019年人教版数学必修第二册第89页第15题，用形式(2)容易解决.

4.2 利用投影向量解释数量积

下面为几何解释，如图6所示：

图6

图7

图8

例5、例6均可利用投影向量巧妙解答.用投影向量解释数量积，在常用数量积计算方法上进行了补充，有助于学生直观想象素养的提升，也能帮助学生进一步理解向量运算.

5 结束语

向量是沟通代数与几何的桥梁，投影向量则把高维空间和低维子空间进行了联结，像是高维空间“下凡”到低维空间的数学精灵.笔者认为，教师在讲授新课时若能增加课时补充这一内容，或是新教材中补充用投影向量来解释数量积运算的内容，可以更深入揭示向量数量积的运算本质，让投影向量的作用体现得更加灵动.