一道不等式证明的探究

⦿福建省莆田第六中学 李德琳

我们熟知的重要不等式结论“ex≥x+1，当且仅当x=0时等号成立”“lnx≤x-1，当且仅当x=1时等号成立”，经常巧妙设置于题中，是破解一些与不等式有关的问题比较常用的重要结论.创设数列不等式的证明问题，是高考数学中比较常见的一类综合交汇题，合理融合函数与方程、导数、数列、不等式及其证明等众多知识，实现命题的综合性、交汇性与创新性，倍受各方关注.

1 问题呈现

问题[陕西省咸阳市2022年高考模拟检测(二)数学(理科)试题·21]已知函数f(x)=lnx-kx+1.

(1)若f(x)≤0恒成立，求实数k的取值范围；

此题以含参函数所对应的不等式恒成立来巧妙创设情境，进而确定对应参数的取值范围，在此基础上构建重要不等式结论“lnx≤x-1，当且仅当x=1时等号成立”，进而通过合理代换，结合放缩处理与变形，巧妙证明对应的数列不等式.

2 问题破解

方法1：分类讨论法+裂项法1.

当k≤0时，f′(x)>0恒成立，则函数f(x)在(0，+∞)上单调递增.

因为f(1)=-k+1>0，所以f(x)≤0不恒成立.

所以实数k的取值范围是[1，+∞).

(2)证明：由(1)知，当k=1时，有不等式lnx≤x-1对任意x∈(0，+∞)恒成立，当且仅当x=1时等号成立.

所以x∈(1，+∞)，lnx

当n≥3时，

解后反思：解决与含参函数有关的不等式问题，可以借助参数的不同取值情况加以分类讨论；而证明不等式时，利用(1)中重要不等式结论加以转化，通过合理放缩，借助裂项求和来转化，实现对应不等式的证明与应用.

方法2：分离参数法+裂项法2.

若x∈(0，1)，则g′(x)>0，函数g(x)单调递增；若x∈(1，+∞)，则g′(x)<0，函数g(x)单调递减.

于是gmax(x)=g(1)=1.

结合f(x)≤0恒成立，可得k≥1.

所以实数k的取值范围是[1，+∞).

(2)证明：由(1)知，当k=1时，有不等式lnx≤x-1对任意x∈(0，+∞)恒成立，当且仅当x=1时等号成立.

所以x∈(1，+∞)，lnx

解后反思：解决与含参函数有关的不等式问题，通过分离参数，借助构建函数，通过确定函数的最值得以解决参数的取值范围问题，也是解决此类问题比较常见的一种技巧方法；不等式证明中的不同放缩尺度以及对应的裂项求和处理，都是解决问题的重点，关键是合理配凑与巧妙转化.

3 变式拓展

保持创新问题背景，借助不同数列不等式的给出，通过不同类型的参数代换处理，实现不同数列不等式的证明问题，拓展思维，倡导应用.

变式1已知函数f(x)=lnx-kx+1.

(1)若f(x)≤0恒成立，求实数k的取值范围；

解析：(1)同原问题中的解析(1)，可得k≥1，所以实数k的取值范围是[1，+∞).

(2)证明：由(1)知，当k=1时，有不等式lnx≤x-1对任意x∈(0，+∞)恒成立，当且仅当x=1时等号成立.

所以x∈(1，+∞)，lnx

令x=n2(n∈N*，n>1)，代入lnx

变式2已知函数f(x)=lnx-kx+1.

(1)若f(x)≤0恒成立，求实数k的取值范围；

解析：(1)同原问题中的解析(1)，可得k≥1，所以实数k的取值范围是[1，+∞).

(2)证明：由(1)知，当k=1时，有不等式lnx≤x-1对任意x∈(0，+∞)恒成立，当且仅当x=1时等号成立.

所以x∈(1，+∞)，lnx

不妨令

变式3已知函数f(x)=lnx-kx+1.

(1)若f(x)≤0恒成立，求实数k的取值范围；

解析：(1)同原问题中的解析(1)，可得k≥1，所以实数k的取值范围是[1，+∞).

(2)证明：由(1)知，当k=1时，有不等式lnx≤x-1对任意x∈(0，+∞)恒成立，当且仅当x=1时等号成立.

所以x∈(1，+∞)，lnx

③

另一方面，令x=n2(n∈N*，n>1)，代入不等式lnx

④

解后反思：根据重要不等式结论“lnx≤x-1，当且仅当x=1时等号成立”的分析与求解，再结合所要证明的数列不等式的形式，抓住数列中相关项的结构特征，合理引入参数进行代换处理，结合不等式的性质以及所要证明的不等式结构的特征，巧妙放缩与转化，从而实现数列不等式的证明与应用.

4 教学启示

(1)记忆二级结论，掌握基本方法.

重要不等式结论“ex≥x+1，当且仅当x=0时等号成立”或“lnx≤x-1，当且仅当x=1时等号成立”，是导数及其应用中比较常见的二级结论，特别在一些小题(选择题或填空题)中，结合指数式或对数式的特征结构，利用相应的二级结论合理放缩，巧妙化归转化，使问题的求解更加直接、便捷，是破解一些与不等式有关的问题比较常用的重要结论与技巧策略.

(2)巧妙参数代换，合理放缩处理.

涉及此类数列不等式的证明与应用，其实质就是巧妙利用重要不等式结论“ex≥x+1，当且仅当x=0时等号成立”或“lnx≤x-1，当且仅当x=1时等号成立”，借助结论实质结合数列不等式中相关的项加以合理参数代换，对比所证明不等式的结构特征与结论，合理放缩处理，巧妙变形转化，从而实现不等式的证明.