一元一次不等式组含参问题

重庆师范大学 易江南

1 不等式组有解、无解，求参数的范围

由不等式①，解得y≥1+4k.

由不等式②，解得y≤6+5k.

因为原不等式组有解，所以y≥1+4k与y≤6+5k有公共解集，在数轴上表示如图1所示.

图1

由图1可得1+4k≤6+5k，解得k≥-5.

因此，k的取值范围为k≥-5.

点拨：本题解题的关键是“不等式组有解”.说明两个不等式的解集有公共部分，也就是1+4k一定在6+5k的左边，两个不等式都有“=”，分析可得1+4k≤6+5k.

图2

因此，a的取值范围为a≤4.

2 已知不等式组的解集为xm)，求参数的取值范围

由不等式⑤，得x≥2a-4.

因为原不等式组的解集是x>-2，在数轴上表示如图3所示.

图3

由图可得2a-4≤-2，解得a≤1.

因此，a的取值范围为a≤1.

点拨：本题关键在于“不等式组解集是x>-2”.据“同大取大、同小取小”原则，2a-4一定在-2的左边，就有2a-4<-2.因为不等式⑤有“=”，不等式⑥没有“=”，由此分析可得2a-4≤-2.

3 不等式组有整数解，求参数的取值范围

由不等式⑦，得x≤2.

而x≤2中x的最大值是2，结合原不等式组有且只有三个整数解，可得结果2,1,0，其数轴表达如下图4所示.

图4

因此，a的取值范围为-5

点拨：本题的关键是“有且仅有”.翻译过来就是刚好3个整数解，从“2”开始往左边数，这三个整数解分别是2,1,0.因为不等式⑧有“=”，所以0是可以取的，而-1就不能取.

由不等式⑨，得x≤a.

由不等式⑩，得x>-5.

因为原不等式组至少有6个整数解，在数轴上表示如图5所示.

图5

由图可得a≥1.因此，a的取值范围为a≥1.

点拨：本题解题的关键是“至少有6个整数解”，翻译过来就是可以有6个、7个、8个……因为不等式没有“=”，所以-5不算在内，从-4开始往右数，不等式⑨有“=”，数到1时，刚好6个整数解，1就是“临界点”.

因为原不等式组的整数解个数不超过4个，在数轴上表示如图6所示.

图6

因此，m的取值范围为1≤m<7.

点拨：本题解题的关键是“整数解个数不超过4个”，翻译过来就是可以有1个、2个、3个、4个.不等式没有“=”，所以-1不算在内，从0开始数是第一个，不等式有“=”，数到3时，刚好是第4个.综合分析，此题的“临界点”有两个，分别是0和4，由此可得

4 总结

通过分析发现，不等式组的解的个数或者范围不同，其解题方法也不同.问题之所以难，是因为没有抓其要害.至关重要的一点是，抓住“题眼”，并翻译“题眼”，要能理解“至多”“至少”“当且仅有”这样的话语[1]，并借助数轴方式找出“临界点”，结合法则便可以良好地掌握含参数问题.