例析规避勾股定理及其逆定理混用的策略

甘肃省平凉市崇信县第二中学 位雅楠

1 引言

在初中数学课本中，有很多与“勾股定理”和“勾股定理逆定理”类似的定理，它们是互逆定理，条件和结论正好相反，学生在运用时极易出现混用错误.如何规避这种错误，是提高学生几何定理解决问题的关键.

2 例析规避策略

例1如图1所示，∠ADB=90°，AD=3，BD=4，AC=12，BC=13.求阴影部分的面积.

图1

错解：∵∠ADB=90°

∴△ABD是直角三角形，

由勾股定理，得

AD2+BD2=AB2.

∵AD=3，BD=4

∴32+42=AB2，

∵AB>0，

∴AB=5.

∴△ABD的面积为3×4÷2=6.

∵△ABC的底和高分别为AB和AC，

∴△ABC的面积为5×12÷2=30.

∴阴影部分的面积为30-6=24.

分析：在错解当中，误将△ABC是直角三角形当成已知条件.而本题条件中并未直接给出△ABC是直角三角形，也就不能将AB和AC看成△ABC的底、高.正确的做法应是在计算面积之前，先用勾股定理逆定理证明△ABC是直角三角形，并指明直角或斜边，然后再计算△ABC的面积.

正解：∵∠ADB=90°

∴△ABD是直角三角形，

由勾股定理，得AD2+BD2=AB2.

∵AD=3，BD=4，

∴32+42=AB2.

∵AB>0，

∴AB=5.

∴△ABD的面积为3×4÷2=6.

∵AB=5，AC=12，BC=13，

∴52+122=132，

即AB2+AC2=BC2.

∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°.

∴△ABC的面积为5×12÷2=30.

∴阴影部分的面积为30-6=24.

点评：勾股定理是由直角三角形得到a2+b2=c2，这时候直角三角形是已知的，且是由“形”到“数”的过程.而勾股定理逆定理是由a2+b2=c2得到直角三角形，这时候直角三角形是未知的，是需要证明的，且是由“数”到“形”的过程[1].由此观之，这类问题其实是“数形结合思想”的充分体现，在解决之初就应明确是知“形”求“数”，还是知“数”求“形”.

例2如图2所示，在四边形ABCD中，∠DBC=90°，AB=9，AD=12，BC=8，DC=17，求四边形ABCD的面积.

图2

错解：∵∠DBC=90°，

∴△BDC是直角三角形.

由勾股定理，得BD2+BC2=DC2.

∵BC=8，DC=17，

∴DB2=172-82.

∵DB>0，

∴DB=15.

∴△BDC的面积为15×8÷2=60.

∵△ABD的底和高分别为AB和AD，

∴△ABD的面积为9×12÷2=54

∴四边形ABCD的面积为60+54=114.

分析：和例题1一样，本题的解题过程也出现了没有先判断△ABD的形状就贸然看成直角三角形求面积的错误.所以，本题的纠错关键在于先利用勾股定理逆定理证明△ABD是直角三角形.

正解：∵∠DBC=90°，

∴△BDC是直角三角形.

由勾股定理，得BD2+BC2=DC2.

∵BC=8，DC=17，

∴DB2=172-82.

∵DB>0，

∴DB=15.

∴△BDC的面积为15×8÷2=60.

∵AB=9，AD=12，BD=15，

∴92+122=152，

即AB2+AD2=BD2.

∴△ABD是直角三角形，∠DAB=90°.

∴△ABD的面积为9×12÷2=54.

∴四边形ABCD的面积为60+54=114.

点评：求一个图形的面积，如果该图形是由多个直角三角形组成，那么需先证明这些图形为直角三角形，而不能将直观感受的结果作为证明结果，这样就犯了“我以为”的错误.“我以为”这种错误，是很多初中生容易犯的错误，主要表现在“未证先用”上.本题错解就犯了这样的错误.

例3如图3所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，点E是AD的中点，求CE的长.

图3

错解：∵△ABC是直角三角形，AB=3，BC=4，

∴由勾股定理，可得AC=5.

∵△ACD是直角三角形，点E是AD的中点.

分析：本题求CE的长主要应用到了直角三角形斜边中线定理，但该定理的使用前提是已知三角形为直角三角形.而本题错解中，并未事先证明该三角形是直角三角形，便贸然将△ACD看成直角三角形进行计算，显然不符合数学严密的逻辑性特点.

正解：∵△ABC是直角三角形，AB=3，BC=4，

∴由勾股定理，得AC2=AB2+BC2，

即AC2=32+42.

∵AC>0，

∴AC=5.

∵52+122=132，

∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°.

∵点E是AD的中点，

∵AD=13，

点评：直角三角形在几何题中出现的几率非常大，而学生不能根据主观感觉贸然判断三角形的形状，应根据题目所给条件先证明其正确性才能为后面解题所用.

3 结语

要想有效规避“勾股定理”和“勾股定理逆定理”的混用，就要回归到“勾股定理”和“勾股定理逆定理”的本质，即是知“形”求“数”，还是知“数”求“形”[2].如果是知“形”求“数”，那么说明已知三角形为直角三角形，此时应该使用勾股定理；如果是知“数”求“形”，那么说明三角形的形状还未知，此时应该使用勾股定理逆定理进行判断.