基于二阶全变分的图像去噪方法

刘光宇，刘 拯，赵恩铭，邢传玺

（1.大理大学 工程学院，云南 大理 671003；2.云南民族大学 电气信息工程学院，云南 昆明 650031）

图像处理的第一步是图像去噪，因此图像去噪是图像处理的基础环节［1］，对后续图像的分割与识别影响很大［2］。图像去噪的方法有很多种，较为经典的方法有小波变换去噪法［3］、非局部均值滤波去噪法［4］、中值滤波去噪法［5］、BM3D去噪法［6］和全变 分去噪法［7］等。与其他方法相比，全变分去噪法具有去噪时间短、去噪效果好等特点，能很好地保留图像的重要细节与纹理特征。因此一些学者利用全变分去噪法深入地研究了图像的去噪问题。彭启琮等［8］对全变分图像去噪模型进行了改进，建立了一种基于全变分的自适应图像去噪模型，虽然该模型具有明显的去噪效果，但图像细节与纹理特征处理得不是很好。薛义兵等［9］利用改进的范数自适应全变分去噪法研究了图像去噪问题，提高了目标与背景的可区分度，但没有提高去噪图像的质量，导致图像出现部分失真现象。宋瑞丽等［10］建立了一种新的去除椒盐噪声的图像复原模型，利用交替方向乘子算法进行了快速求解，通过数值比较验证了算法的有效性。在此基础上，我们将经典的全变分模型和高阶全变分模型的正则项结合，构建了二阶全变分去噪模型［11］，提出了二阶全变分去噪法，利用3种不同的方法做了图像去噪实验，得出了二阶全变分去噪法能有效去除散斑噪声、提高图像整体质量，能使图像的细节更加明显、视觉效果更好的结论。

1 基本原理

1.1 全变分原理

RUDIN等［12］首次提出了构建全变分图像去噪模型的思路，利用该模型将图像的去噪问题转化为求一个特殊函数的最小值问题，即通过引入偏微分方程的各向异性扩散方程对图像进行处理，使图像达到平滑状态。

利用全变分图像去噪模型去噪就是在噪声图像中找出反映图像真实性的几何特征，再利用图像的正则性去除图像的噪声。目前，利用全变分图像去噪模型去除图像噪声是比较成功的图像去噪方式，相应的去噪模型描述如下。

设u为原始图像，n为随机噪声，被噪声污染的图像模型为

为了消除大部分噪声，对全变分图像去噪模型进行最小化处理，可得如下全变分模型：求

使得

其中,Ω为有界集合，BV(Ω) 为Ω上的变分函数空间为u的总变化量， |Ω|为Ω的面积。

1.2 二阶全变分去噪法

散斑噪声的均值与方差成正比，且服从瑞利分布，因此可用瑞利分布描述散斑噪声。

将原始的含有噪声的模型（1）进行部分优化，可以得到含有噪声图像的模型

其中，u为原始图像，n为散斑噪声。

以模型（3）为基础，对全变分模型（2）进行改进，可得以下全变分模型：求

为了避免模型出现过度拟合现象，利用散度定义将经典全变分模型和高阶全变分模型的正则项结合，得到如下全变分模型：求

其 中，α和β是 加 权 函 数，α> 0,β> 0,λ>0。

用z= lnu将z和u放入相同的域中，得到如下去噪模型：求

对模型（6）的前半部分求取最小值，使模型（6）整体最小化。假设

则g(z)的一阶导数和二阶导数分别为

当且仅当z= lnf时，g(z)的二阶导数取得最小值。由此可得

当f>0时，有恒大于0，故当f>0时，有这说明g(z)恒为凸函数，因而模型（6）存在唯一最小值。

则有

利用等价变换可将模型（11）变为如下等价约束模型：求

由于模型存在凸优化问题，故可采用交替方向乘子法保证算法的收敛性。为了得到最小化模型，对一阶与二阶差分算子作对角化变换，可得

等价约束模型（15）中w的迭代可表示为

其中，M为迭代次数。

等价模型（15）中的p与q需要分段求解，相应的求解公式为

由式（3）～式（19）可知，二阶全变分去噪法可用表示。利用式（20）、式（21）、式（22）和式（23）进行求解，就可得到去噪后的图像u。

2 去噪实验

2.1 实验步骤

第1步：导入初始图像，并添加均值为0、方差σ2分别为0.01、0.02、0.03、0.04、0.05和0.06的散斑噪声。

第2步：分别采用二阶全变分去噪法、非局部均值去噪法、二位统计滤波去噪法进行仿真实验，得到相应的去噪图像。

第3步：分析去噪图像的性能指标。

2.2 图像去噪

为了检验二阶全变分去噪法的去噪效果，以一幅600×600像素的沉船图像（图1）为例说明利用该方法去除图像噪声的可行性。在沉船图像中分别加入方差为0.01、0.02、0.03、0.04、0.05和0.06的散斑噪声，可得如图2所示的噪声图像。采用非局部均值去噪法、二位统计滤波去噪法和二阶全变分去噪法对图像进行去噪，可得如图3、图4和图5所示的去噪图像。

图1 沉船图像

从图2可以看出，随着方差的增大，图像中散斑噪声逐渐增加，图像逐渐变得模糊。从图3可以看到，噪声的去除效果并不明显，当噪声方差逐渐增大时，图像中的散斑噪声变得越来越明显，整体图像的平滑程度较差。从图4可以看出，大部分噪声并没有被去除，随着噪声方差的增大，图像阴影部分的噪声更加明显，整体也趋近模糊。从图5可以看出，图像中大部分噪声被滤除，当散斑噪声方差从0.01增大至0.06时，图像变得越来越清晰，其中的细节特征和边缘纹理保留得比较完整。

图5 采用二阶全变分去噪法去噪后的沉船图像

比较图2、图3和图4可以看出，经过非局部均值去噪法和二位统计滤波去噪法去噪以后，图像还有较多的残留噪声，去噪声效果未达到预期的要求。

图2 加入散斑噪声后的沉船图像

图3 采用非局部均值去噪法去噪后的沉船图像

图4 采用二位统计滤波去噪法去噪后的沉船图像

对比图2与图5可以看出，添加了散斑噪声的图像经二阶全变分去噪法去噪以后，图像中大部分噪声被去除，图像变得更加清晰，图像的细节特征和边缘纹理保留得比较完整，这说明利用二阶全变分去噪法能取得理想的去噪效果，能完整地保留图像的重要特征。

为了更加清楚地比较图像之间的差异，再分析去噪后图像的性能指标［13］，这些指标包括图像的均 方 差σMSE（mean square error,MSE）、RSN信 噪 比（signal-to-noise ratio,SNR）、峰值信噪比RPSN（peak signal-to-noise ratio，PSNR）。σMSE、RSN和RPSN的 计算公式分别表示如下：

其中mn表 示图像的分辨率，A(i,j)为 原始图像，B(i,j)为重构后的图像。σMSE越小，图像的质量就越好。

其中的参数含义与式（24）相同。

其中GMAX表示图像A的最大灰度值。RPSN越大，图像失真程度就越小，图像的质量也就越好。

经过多次实验后，可得如表1所示的不同图像在不同方差下的性能指标。

对比表1中图2与图5的数值可以看出：当方差为0.01时，经二阶全变分去噪法处理后的图像信噪比提高了6.8%；当方差为0.06时，提高了49.3%。当方差为0.01时，峰值信噪比提高了4.47%；当方差为0.06时，提高了26.7%。当方差为0.06时，均方差下降了0.003 9。由此可以得出以下结论：经过二阶全变分去噪法去噪后，图像的整体质量有了明显提高，视觉效果得到了明显改善。

表1 不同图像在不同方差下的性能指标

对比去噪后图像的性能指标，可以得出以下结论：当方差在0.01与0.06之间时，经二阶全变分去噪法去噪后的图像均方差小于其他两种方法，信噪比与峰值信噪比均大于其他两种方法。总体看来，二阶全变分去噪法的去噪效果明显好于其他两种方法。

3 结论

二阶全变分去噪法具有经典全变分模型和高阶全变分去噪模型共同的优点，使用二阶离散梯度算法能得到二阶全变分去噪模型的保真度。该方法能降低平滑区域的楼梯效应，具有良好的去除高密度斑点噪声的效果。

采用二阶全变分去噪法处理后的图像与原图像更接近，二阶全变分去噪法在去除散斑噪声的同时能保留更多的图像细节与边缘信息。