END序列样本VaR核估计的Bahadur表示

王 巍，朱 勇，王文琴

（池州学院 大数据与人工智能学院，安徽 池州 247000）

风险价值（VaR）是衡量金融市场风险的主要指标，它在风险度量和动态监管方面具有特殊的优势，因而已被广泛接受。早期的VaR估计主要是对资产回报率的分布进行参数估计，但资产回报率的分布往往是未知的，因此在计算VaR时常常因模型的错误设定而出现偏差。近年来，一些学者给出了VaR非参数估计，使VaR非参数估计不再受回报率分布的约束，因此VaR非参数估计受到了众多学者的广泛关注。目前，人们在研究α-混合、负相协（NA）、负相依（NOD）等序列样本的VaR非参数估计方面已取得了许多成果［1–8］。在此基础上，我们以广义负相依（END）样本为研究对象，利用END序列的性质及其指数不等式研究了VaR核估计的性质，给出了VaR核估计的Bahadur表示，得到END样本VaR核估计的强相合性及收敛速率。

1 相关概念及引理

VaR是指给定概率水平下一定时期内金融资产的最大损失，其统计学定义为vp=inf{u:F(u) ≥p},其中F(u)是金融资产在第t个时间段内资产回报率Xt的分布函数，p为给定的概率水平。VaR概念提出后，一些学者对VaR估计量产生了浓厚的兴趣。GOURIEROUX等［9］给出了VaR核估计量，并给出了资产回报率序列的分布函数F(x)的核估计

令Fn,h(x) =p,通过求的反函数就可得到风险价值vp的核估计量vp,h,即VaR核估计量。

END随机变量序列由LIU提出，它是一类比NOD序列更弱的相依序列。

定 义［10］：X1、X2、X3、 ⋅⋅⋅、Xn为END随 机 变 量是指 随机 变量X1、X2、X3、 ⋅⋅⋅、Xn满 足以下条 件：存在正常数M，当n≥ 1时，对于任意的xi∈(− ∞, +∞)(1≤i≤n), 满足P(X1>x1,X2>x2,X3>x3,⋅⋅⋅,Xn>xn)是END随 机变量，则称序列 {Xn,n≥1}是END序列。

下面给出所需要的相关引理。

引理1［10］：若 {X,n≥1}是END随机变量序列，n{fn(⋅),n≥ 1}为非降函数（或非增函数），则{fn(Xn),n≥1}仍是END随机变量序列。

引理2［11］：若 {Xn,n≥1}是END随机变量序列，那么对于任意t>0，有

引理3［12］：设X为随机 变 量，EX= 0,|X|≤b,b为正常数，那么对于λ>0，有

其中，λb≤C≤1。

引理4：设 {Xn,n≥1}是END随机变量序列，且有EXn=0。 对 于 每 个i≥ 1,|Xi|≤b,b为 正 常 数，那 么对于任意有

同理可得

由式（2）和式（3）可知式（1）成立。

引理5［13］：若F(X)为右连续的分布函数，则其反函数F−1(t)是非降左连续函数的充分必要条件是当x≥F−1(t)时，有F(x)≥t。

2 主要结果及证明

以下约定C为正常数，且在不同的地方可以表示不同的值， [x] 表示取不超过x的最大整数值，logx=lnmax(x,e)。

命题1：假设 0 0,f′(x) 在vp邻 域内有界，则存在正常数λ，当n充分大时，以概率1成立。

结合式（5）和式（6）可得

令λ=4K,则由式（7）可得

由Borel-Cantelli引理可知， |vp,h−vp|<εn以概率1成立。

及

由式（8）和式（9）可得

对于任意给定 k ，易知

类似可得，当 n充分大时，有

令C1= 17 K1，则 由 式（11）、式（12）和 式（13）可得，当 n 充分大时，有

定理2：若定理1的条件成立，则存在常数 C2，当n无限大时，不等式以概率1成立。

证明：由定理1可得，当 n→∞时，有

其中， ωn为介于 vp,h和 vp间的随机变量。由式（16）可得，当 n→∞时，有

从而定理3结论成立。

3 结论

在本文中，我们利用END序列的性质及其指数不等式研究了END序列样本VaR核估计的性质，证明了VaR核估计的强相合性及收敛速率，给出了VaR核估计的Bahadur表示。我们还将文献［1–2］中混合样本VaR核估计和线性核分位数估计的研究结果推广到END样本，给出了END样本的VaR核估计量的性质及Bahadur表示。

与文献［4］的结果相比，我们在研究END样本的VaR核估计时，获得了与样本分位数估计相似的收敛速率，并在G(x) =I(x≥0)时导出了与文献［4］一致的退化形式，所得结论更具一般性。