纵向双轮平衡车滑模控制设计与仿真

赵明翰,周 郁,赵桂军,张 乐,陈峻山,曹培培

（1.上海无线电设备研究所，上海 201109；2.上海机电工程研究所，上海 201109)

1 引言

自平衡车最早出现于1898年[1]，最初的结构是目前市面上最为流行的两轮并行结构。近年来，随着控制，建模以及硬件技术的快速发展，自平衡车的研究不仅仅局限于两轮并行结构，开始更多的聚焦于自行车结构的自平衡车。对于自行车结构的自平衡车，其基本动力学模型可以按照倒立摆进行处理，在提供倒立摆回复力来维持车体平衡可以采用两种方案：第一种是通过增加飞轮或力矩陀螺来维持其姿态稳定，这种结构可以在前进速度为零的情况下维持姿态稳定；另一种方案不增加额外的执行结构，通过调整前进速度和车把偏角来提供实现姿态稳定[2]，这种结构只能在运动中维持平衡。针对第一种结构的控制系统已经有了大量的成熟设计案例[3-6]，然而针对第二种结构的相关控制系统设计相对较少且控制器结构单一[7-10]。本文将利用滑模控制器来针对第二种结构的车体姿态平衡问题进行设计与仿真。

2 系统建模

2.1 动力学建模

我们做出如下假设。假设自行车圆周运动前进的线速度为ν0，对应的圆周运动半径为r0，后轮中心到车体质心的长度为l1，后轮中心到前轮中心长度为l，自行车质心的线速度为v，自行车圆周运动圆心到车体质心的距离为r，前轮与车体的夹角为φ，后轮中心到质心对应的圆周角度为α，后轮中心到前轮中心对应的圆周角度为β，如图1所示。

由图1我们可以得到如下关系：

图1 自行车理想化示意图

平衡小车的平衡原理与倒立摆系统基本相同，都是通过一个回复力来克服扰动回复到平衡状态。参照倒立摆回复原理，此时的回复力为：

2.2 动力学模型简化

通过2.1的分析，自行车在倾斜的状态下若想保持平衡，根据牛顿-欧拉方程，应有如下动力学方程：

其中，I为自行车绕地面接触点旋转的转动惯量，h为自行车质心到地面的高度。

将(6)，(7)带入(8)可得：

可以看出，在式(9)中存在着同时含有车把偏角φ与车体倾角θ 的耦合项，因此需要对其进行一定的处理，否则将对后续的控制系统设计带来影响。由于θ，φ均为较小角，故可以令sin θ=θ，cosθ=cosφ=1，tanφ=sinφ=φ，得到的线性化后的方程如下：

将表1所示数据代入式(10)，可以得到系统的模型如下：

表1 自行车模型相关数据

其中，v0表示小车前进速度，为了方便控制器设计，取v0=1m/s。

3 滑模控制器设计

针对式(11)给出的控制系统模型，可以设计一个基于趋近律的滑模鲁棒控制器。

滑模函数设计为：

其中，c＞0满足Hurwitz条件。

误差及误差的导数为：

其中，θd(t)为理想角度信号。

则有：

采用指数趋近律，有：

其中，ε是指数趋近律中等速趋近部分的系数，ε越小，趋近速度越慢；ε 越大，趋近速度越快，到达切换面时的速度也越快，引起的抖振也越大；k是指数趋近律中指数趋近部分的系数，k越大，速度衰减得越快，k越小，速度衰减得越慢。在指数趋近律中，为了同时实现快速收敛与小抖振，需要适当选择ε的k值。

通过式(14)和(15)，得：

则滑模控制律为：

式中，c是一个系数，用于产生由于角速度偏差生成的控制量。

4 仿真验证

根据第二部分的滑模控制器设计，利用MATLAB中的Simulink搭建模块进行仿真。按照第二部分的参数整定原则进行相关参数的整定，最终获得参数为ε=20，k=20，c=10，k2=0.00989。

首先选取输入信号为单位阶跃信号，输出结果如图2所示。

图2 输入信号为单位阶跃信号时输出曲线

当输入信号是幅值为1，频率为1rad/s的正弦波信号时，输出结果如图3所示。

图3 输入信号为正弦信号时输出曲线

对应的误差曲线如图4所示。为了进一步验证滑模控制器抑制扰动的能力，在反馈信号中叠加扰动，输出结果如图5所示，对应的误差曲线见图6。对于图6进行统计学分析可以得到：输入信号的数学期望是0.2356，标准差是0.7543；扰动信号的数学期望是0.0219，标准差是0.3387；利用滑模控制器进行控制后系统的偏差的数学期望是0.0101，标准差是0.3694。可以清晰地看出，滑模控制器能够较为有效地抑制扰动。

图4 输入为正弦信号时误差

图5 存在扰动时输出曲线

图6 存在扰动时误差曲线

综合图2-图6的结果可以看出，滑模控制器能够快速跟踪单位阶跃信号，能够较好地跟踪正弦信号，对于系统中出现的扰动也有较好的抑制能力。

5 性能比较

在完成滑模控制器的仿真验证后，本节将对传统PID控制器、模糊PID 控制器以及滑模控制器性能进行比较分析。

5.1 传统PID控制器与滑模控制器比较

作为工程中应用最为广泛的PID 控制器，在对平衡小车进行控制时其控制性能与滑模控制器控制性能的比较如下图所示。

当输入信号为单位阶跃信号时，输出比较结果如图7所示。

图7 单位阶跃信号下滑模控制器与PID控制器比较

为了比较系统跟踪性能，输入幅值为1，角频率为1rad/s的正弦波信号，输出结果如图8所示。

图8 正弦信号滑模控制器与PID控制器比较

由于两种控制器跟踪性能都比较好，为了进一步比较，将两者对应的误差绘制如图9所示。

图9 正弦信号滑模控制器与PID控制器输出误差

为了研究比较传统PID控制器与滑模控制器对于扰动的抑制能力，在正弦信号的基础上，增加扰动信号，得到的系统输出如图10所示，对应的误差见图11。

图10 扰动信号滑模控制器与PID控制器比较

当输入信号为叠加了扰动信号的正弦信号时，滑模控制器与PID控制器的输出统计结果如表2所示。

通过图7-图11，结合表2的数据进行比较可以看出，平衡小车是一个非最小相位系统，PID控制器无法消除非最小相位带来的影响，而滑模控制器能够消除非最小相位引入的不良影响。从输入输出结果的角度来看，当输入信号为单位阶跃信号时，滑模控制器的快速性，过渡过程时间以及超调量等指标均优于传统的PID 算法；当输入信号是理想正弦信号时，传统PID 控制器存在周期性变化的偏差，滑模控制器能够快速收敛，使偏差为 0；当输入信号是存在扰动的正弦信号时，通过表2的数据可以看出，滑模输出无论是从数学期望的角度还是标准差的角度来看，其性能都是优于传统PID控制器的。

图11 扰动信号滑模控制器与PID控制器输出误差比较

表2 滑模控制器与PID控制器比较

5.2 模糊PID控制器与滑模控制器比较

在5.1 节中已经完成了滑模控制器与传统PID 控制器性能的比较，而作为传统PID控制器的改进型控制器，模糊PID 控制器有着优于传统PID 控制器的性能。在本小节中将对模糊PID 控制器与滑模控制器进行比较，输入信号与仿真环境与4小结相同，得到的结果如下：

对于单位阶跃信号输入时，模糊PID 控制器与滑模控制器控制效果如图12所示。

图12 单位阶跃信号下滑模控制器与模糊PID控制器控制性能比较

当选取输入信号是幅值为1，角频率为1rad/s的正弦信号时，模糊PID控制器与滑模控制器控制性能如图13，对应的误差如图14。

图13 正弦信号滑模控制器与模糊PID控制器比较

图14 正弦信号滑模控制器与模糊PID控制器误差

同样地，为了验证两种控制器抑制扰动的能力，在正弦信号的基础上增加一个扰动信号，比较滑模控制器与模糊PID控制器的性能，得到了如图15，图16所示的结果。

图15 扰动信号滑模控制器与模糊PID控制器比较

当输入信号为叠加了扰动信号的正弦信号时，滑模控制器与模糊PID控制器的统计结果如表3所示。

通过图12-图16，结合表3可以看出，尽管模糊PID的性能优于传统PID 控制器。但是模糊PID 控制器仍然无法消除由于非最小相位引入的控制问题。在单位阶跃信号输入时，虽然模糊PID控制器的过渡过程时间，超调量以及快速性优于传统PID控制器，但模糊PID控制器的性能依旧不如滑模控制器；当输入信号是理想正弦信号时，尽管模糊PID控制器进一步抑制了周期性误差，但仍然不能完全消除这个误差；当输入存在扰动的正弦信号时，依据表3的数据，可以看出模糊PID 控制器的性能尽管优于传统PID控制器，但仍旧不如滑模控制器。

图16 扰动信号滑模控制器与模糊PID控制器误差

表3 滑模控制器与模糊PID控制器比较

6 结束语

对于自行车平衡控制来说，这是一个非最小相位系统。对于非最小相位系统，大多数线性控制器并不能很好地消除非最小相位系统带来的控制困难，相比之下，滑模控制器在消除非最小相位系统的方面有着良好的表现。通过比较可以发现，当输入信号为单位阶跃信号时，无论是快速性，还是超调量，抑或是过渡过程时间，滑模控制器都有着较为明显的优势；当输入信号是正弦信号时，滑模控制器能够快速消除误差，而传统PID控制器与模糊PID 控制器都不能完全消除误差；当输入信号为存在扰动的正弦信号时，尽管滑模控制器也会存在波动，但通过统计数据可以明显看出，滑模控制器的数学期望偏差与标准差都是明显优于传统PID 控制器和模糊PID 控制器的。这些都可以说明滑模控制器在处理纵向双轮自平衡车车体平衡的控制问题有着较大的应用前景。