从经历到经验 从简模到精模

张蓉 高颖菁

【摘 要】数学模型是指针对或参照某种事物的特征或数量间的相依关系，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。在数学教学中，教师要教给学生已经建立的数学模型和建立数学模型的方法。重视数学建模，有利于提高学生的应用意识。本文以苏教版数学六年级上册“认识百分数”一课为例，由实际问题引导学生建立数学模型，然后进行模型的优化与应用，结合教学过程，浅谈基于建模思想的教学实践和反思。

【关键词】数学 建模教学 模型思想

重视数学建模，有利于提高学生的应用意识。下面，笔者就结合苏教版数学六年级上册“认识百分数”一课，谈一谈模型思想教学的实施策略。

一、激趣引须，引发建模需求

模型思想的建立，是从现实生活或者具体情境中抽象出数学问题，然后对其进行必要的简化。在课堂教学中，教师创设一个与学生息息相关的有趣情景，可以激发学生的学习兴趣，引导学生从具体情境中抽象出数学问题，从而引发建立数学模型的需求。

例如，在教学“认识百分数”这节课时，教师以学生熟悉的光盘行动为主题，先出示幼儿园大班和中班各班的光盘情况。大班的三个班班级总人数相同，只需比较每个班的光盘人数，中班的三个班光盘人数相同，只需比较每个班的班级总人数，这样，学生能快速顺利地抢答出大班和中班的哪个班光盘情况更好。在此基础上，出示小班光盘情况（如图1）：

师：选哪个班？请大家进行抢答。

（生答不出，想到可以比较光盘人数占班级总人数的几分之几，然后通分进行比较，从而选出了小2班是光盘情况最好的）

（再次PK，出示：大3班 9/14，中2班 15/23，小2班13/20）

（出示通分结果：大3班：2070/3220，中2班2100/3220，小2班2093/3220）

师：哪个班胜出？（中2班）

师：苗班的小朋友也想来比一比（苗班：7/11），现在哪个班胜出啦？公分母又要变化了！（出示通分结果：大3班22770/35420，中2班23100/35420，小2班23023/35420，苗班22540/35420）

师：哪个班胜出？（中2班）

师：现在还只是四个班在比较，如果全区的小朋友甚至全市的小朋友都来PK，那么公分母就会不停地变化。

师：统计人员也发现了类似问题，所以，他们想到把这些分数化成分母是100的分数，这样会便于统计和比较。（PPT出示：大3班64.3/100，中2班65.2/100，小2班65/100，苗班63.6/100）

特级教师王凌曾经指出，情境创设是目前教学中的常用手段，一个好的情境应能与学习内容进行有效的结合，并且能有效地帮助学生促进理解。把与学生息息相关的生活实际问题带入数学课堂，可以让学生发现数学的有用之处。例题以选择光盘情况最好的班级为切入口，借助学生已有的经验——通分，让学生选出光盘优胜班。接着，教师出示公分母很大的几个分数，让学生感受到，每比一次就通分一次，既难且繁，以前所学的知识不能很好地解决此类问题，从而顺利地引出用分母是100的分数来表示的内容。强烈的视觉对比之下，学生能直观体会到用分母是100的分数来表示统计结果更便于比较和选择。（如图2）

二、思考交流，初建数学简模

对于一些数学概念的学习，很多学生停留在死记硬背的阶段。大部分教师的日常教学都是直接由例题揭示概念，缺少了学生主动体会、探索的过程。概念虽然是定义式的，但概念的教学应该体现数学与生活的联系，让学生从生活中寻找实例，在充分的情景体验之下，感悟概念数学模型的建立。

例如，在教学“认识百分数”一课时，教师让学生搜集生活中常见的百分数，并在小组中交流每个百分数表示的意义。

生1：（衣服标签）75%棉表示棉占这件衣服的75%。

生2：（手机电量）54%表示剩余电量占手机总电量的54%。

生3：（餐巾纸盒）100%原生木浆表示原生木浆占纸的100%。

（师分别板书）

在上一环节，学生感受到了用百分数表示一个数是另一个数的百分之几便于比较。对于百分数，学生已有一定的生活经验。因此这个环节，笔者先让学生说一说生活中常见百分数所表示的意义，在具体情境下将生活经验与数学概念相沟通，使生活情境得以数学化。数学模型的构建过程就是一个不停感知、体会、积累的过程。丰富的实际生活材料为百分数数学模型的构建提供了可能，虽然百分数的意义还未揭示，但是“百分数表示（   ）占（   ）的（  ）%”的数学模型已经潜移默化地在学生脑海中扎根。

三、归纳概括，建构数学中模

建立模型思想的起点是从现实生活中或者具体情境中抽象出数学问题并进行简化。学生对数学模型思想的感悟过程，不仅是外显的形式学习过程，还是深入体悟知识产生的过程，是经历将实际问题“数学化”的过程。

例如，在教学“认识百分数”时，学生充分体会了生活中具体的百分数所表示的意义，并用规范的语言进行了表述。

（让学生回顾刚刚的学习过程，观察上述板书）

师：你觉得百分数表示什么？

生：表示一个量占另一个量的百分之几。

师（引导揭示概念）：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫作百分数。

学生在上一環节已经充分体会到了百分数在实际生活情境中所表示的意义。这一环节主要是让学生从刚刚的交流中，观察、发现这些不同的百分数所表示的不同意义中相同的部分。数学模型的建立，正是要引导学生从生活中的问题原型出发，经历观察、比较、分析、抽象、概括等过程，去掉数学问题中不相同又非本质的东西，用精练的数学语言或者数学符号概括出数学模型。当学生能通过自己的感悟概括出百分数的意义时，学生也就完成了百分数概念的模型建构。

四、数据剖析，初次应用模型

数学来源于生活，又服务于生活。新课标指出，要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。建立数学模型的目的是要通过应用数学模型解决问题，让学生深切体会到数学的应用价值，激发学生对数学学习的兴趣。

例如，在教学“认识百分数”这节课时，笔者引导学生应用已经建立的百分数概念的模型，理解实际问题中数据的含义，通过数形结合体会部分量与总体的关系，并且将建立的数学模型放到统计中，利用数学模型分析数据。

（一）用数学模型理解形中之数

出示百格图（涂色部分表示光盘人数，空白部分表示未光盘人数），让学生分别填写三张图的情况并汇报。（如图3、图4、图5）

师：观察每张图的涂色部分和空白部分，你有什么发现？

生：加起来等于100%。

师：希望在不久的将来，我们的光盘率可以达到多少呢？

生：100%。

这个环节把光盘情况与百格图相结合，将实际情景抽象化的同时，直观地让学生体会到百分数表示两个数之间的关系。在涂色部分变多的同时，表示光盘人数的百分数也越来越大，而且表示光盘和未光盘的百分数合起来就是100%。在这个环节中，教师让学生利用数学模型理解数据含义，从而渗透部分量与总量之间的关系的知识内容。

（二）用数学模型分析统计数据

出示整理的统计表（见下表）：

师：观察这张统计表，你能获得哪些信息？

（生分析表中信息）

师：粮油店的老板们要为“双11”备货，看着这张表，你有什么好的建议？

生1：多进有机大米，少进转基因玉米。

生2：花生调和油也可以多进点。

师：通过统计数据，分析百分数的含义，还可以帮助我们进行合理的预测呢！

百分数是由数据的统计产生的。为了体现百分数对统计的作用，在这个环节，笔者设计了一张统计表，让学生应用数学模型分析表中百分数所表示的含义。学生发现超过100%就说明销量增长了，低于100%就说明销量减少了。通过简单的几个百分数所表达出的丰富信息，学生体会到“百分数会说话”的特点。这个环节引导学生主动应用数学模型分析数据，不仅调动了学生学习的积极性，还提高了学生应用数学模型解决问题的能力。

五、反思优化，构建数学精模

学生在应用数学模型的过程中，可能会遇到一些困惑。教师帮助学生解决这些困惑，就能加深学生对数学模型的理解，从而多角度地优化已经建构的数学模型。

例如，在教学“认识百分数”时，教师引导学生体会两个独立的量之间用百分数表示的关系，用实际情境帮助学生区分百分数与分数之间的联系和区别，优化数学模型。

（一）探究两个独立的量相比较

（课件出示，选择合适的百分数填空）

某地区水稻田全年的实际产量是计划产量的（  ）。

A.7%    B.22%    C.100%    D.120%    E.200%

生（依次选择）：100% 、120%、 200%。

师：为什么这里可以超过100%？

师（引导）：这里是两个独立的量，实际产量可以比计划产量多。

在这个环节之前，学生接触的都是部分量占总量的百分之几，是不大于100%的百分数。这个环节设计了让学生选择实际产量可能是计划产量的百分之几的题目，并让学生思考：为什么这里可以超过100%？为了帮助学生理解，笔者设计了两个直条表示实际产量和部分产量，与部分量占总量的情况区分开，使学生容易理解，通过实际情境加深了学生对“百分数表示一个数是另一个数的百分之几”概念的理解，构建出更为精细的数学精模。

（二）探究分数和百分数之间的联系与区别

出示一则数学日记：超市的月饼进行“买一送一”的促销活动，相当于优惠了50/100。一个月饼的净含量是30/100千克，妈妈吃了一个月饼的75/100就吃不下了。我想起老师教育我们要杜绝浪费，厉行节俭，就把剩下的吃掉了，吃完后又喝了20/100升水。

师：这里哪些分数可以用百分数表示？哪些不能？为什么？

生：50/100可以写成50%，75/100可以写成75%。

师：其他两个为什么不能？

生：因为它们有单位，表示的是具体的量。

师（引导小结）：百分数只能表示两个数之间的关系，后面不能有单位。

虽然这个环节看似简单，但在上课过程中笔者发现，有不少学生会把所有分数都改写成百分数，这说明学生对于百分数意义的理解还未完全内化，对于百分数和分数的区别不够清晰。因此，这个环节针对百分数与分数之间的联系和区别再一次进行强化，以优化补充学生建构的百分数模型，使数学模型更为精细化。

六、经验升华，贯通模型思想

师：谁能就这节课的收获来介绍一下百分数？

生1：百分数就表示一个数是另一个数的百分之几。

生2：百分數只能表示两个数之间的关系，后面不能有单位。

……

课堂的最后让学生对本节课所学内容进行回顾与总结，也是帮助学生再次梳理本课内容，感悟、贯通模型思想。

教师在日常教学中有意识地培养学生的模型思想，不仅能让学生感受到数学是看得见、摸得着的，还能让学生学会举一反三，拥有较强的独立学习的能力，利用模型思想去解决更多的数学问题，发掘数学的本质。