分层总和法在排土场沉降量计算中的应用

孙发院侯克鹏何美萍3

（1.云南亚融矿业科技有限公司；2.昆明理工大学国土资源工程学院）

排土是露天矿生产的一项重要工作，大型露天矿山废石排弃量大，切实做好这项工作，对于确保排土场的安全至关重要。为分析排土场堆积体沉降变形，可将地基视为不可压缩层，地基上覆土层的沉降主要是由于填土过程中新近排土对已排土体的压缩产生的。因此，计算排土堆积体的沉降，需要分析上覆土体自重应力对下覆土体中产生的附加应力及其扩散特征。为了克服计算过程中土体的成层性和非均质特征带来的困难，在计算时假设整个土体具有相同的变形力学参数，即假设其为均质线弹性体［1］。

1 计算方法

关于土的压缩沉降及变形分析，土力学［2］常采用分层总和法计算，且土体的压缩变形是土体中附加应力所引起的，而对于附加应力的计算是分析填土沉降的关键。附加应力通常采用布辛奈斯克提出的竖直集中力作用下的计算方法［3］。据土力学原理，任何建筑物都要通过一定尺寸的基础将荷载传给地基。基底的平面形状和基底上的压力分布各不相同，但都可以利用布辛奈斯克提出的竖直集中力作用下的附加应力计算方法和弹性体中的应力叠加原理，计算地基内任意点的附加应力［4］。

地基表面为一矩形，宽度为b，长度为l，其上作用着竖向均布荷载，荷载强度为p，求地基内各点的附加应力σz，可先求出矩形面积角点下的应力，再利用角点法求出任意点下的应力［5］。

1.1 角点下的应力

角点下的应力是指图1 中O、A、C、D4 个角点下任意深度处的应力，由于平面上的对称性，只要深度z一致，则4 个角点下的应力σz都相同。将坐标的原点取在角点O上，在荷载面积内任取微分面积dA=dxdy，并将其上作用的荷载以集中力dp代替，则dp=dpA=pdxdy。可求出该集中力在角点O以下深度z处M点所引起的竖直向附加应力dσz:

将式（1）沿整个矩形面积OACD积分，即可得出矩形面积上均布荷载p在角点下M点引起的附加应力σz:

式中，m=l/b，n=z/b，l为矩形的长边，b为矩形的短边。

为计算方便，可将式（2）化简为

σz=ksp， （3）

称ks为矩形竖向均布荷载角点下的应力分布系数，ks=f（m，n），可从表1中查得。

1.2 任意点的应力—角点法

利用角点下的应力计算公式（3）和应力叠加原理，推求地基中任意点的附加应力的方法称为角点法。角点法的应用可分下列2种情况。

第一种情况：计算受竖向均布荷载力作用的矩形面积内任一点M′下深度为z的附加应力（图2）。过M′点将矩形荷载面积ABCD分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ个小矩形，M′点为4个小矩形的公共角点，则M′点下任意z深度处附加应力σzM`为

σzM`=(KSI+KSⅡ+KSⅢ+KSⅣ)p， （4）

式中，KsⅠ、KsⅡ、KsⅢ、KsⅣ分别为矩形M′hbe、M′fce、M′hag、M′fdg的角点应力分布系数，p为荷载强度。

第二种情况：计算受竖向均布荷载p作用的矩形面积外任意点M′下深度为z的附加应力如式（5）所示。仍然设法使M′点成为几个小矩形面积的公共角点，如图3所示，然后将其应力进行代数叠加。

σzM`=(KSI+KSⅡ-KSⅢ-KSⅣ)p. （5）

依据上述土力学基本原理，将排土场视为大面积堆载，下层土受上覆土压重，上覆土自重应力对下层土产生的附加应力可采用角点法计算。由于排土堆积体是大面积堆土，可视为填土表面为矩形，边长分别为b、l（图4），考虑到填土在水平方向是无限延长，可视为l和b趋于无穷大，若要计算中心点下上覆土层产生的附加应力，采用上述第一种计算方法，将矩形分为4 个相同的矩形（图5），则原矩形中心点可视为4 个矩形的角点M′，原中心点处的附加应力等于4个角点处附加应力之和（叠加原理），则

σz= 4ksp. （6）

由于l和b趋于无穷大，故l/2、b/2趋于无穷大，则m=1，不同深度的z与b/2 的比值趋于0，n=0；故ks=0.250 0，σz= 4ksp=p。

通过上述角点法附加应力计算可知，排土场堆积体下覆土层受上覆土层压重，上覆土层自重应力在下覆土层中产生的附加应力保持为恒定值p，该问题可视为土的一维压缩。即，在厚度为H的土层上方施加大面积连续均布荷载p（图6）。施加外荷载之前，土层中的自重应力分布如图7 中OBA所示；在土层中引起的附加应力分布为OCDA。对整个土层来说，施加外荷载前后存在于土层中的平均竖向应力分别为p1=γh/2 和p2=p1+p。从土的侧限压缩曲线e—p曲线（图8）可以看出，竖向应力从p1增加到p2，将引起土的孔隙比e1从减小到e2。

上述过程中土层主要在竖向发生压缩变形，而侧向变形可以忽略，土体处于侧限应力状态（图9），即

排土场堆积体是由松散且颗粒大小不等的土石混合体堆积而成，在工程实践中常为粗颗粒土，土颗粒在通常的压力范围下可以认为是不可压缩的，因而可将土的体积变化看作完全是土的孔隙体积的变化，则侧限条件下压缩量s和孔隙比e之间具有一一对应的关系，如图10所示，右侧表示排土堆积体的厚度和压缩量，左侧表示体积。

设施加p前排土堆积体的高度为H0，孔隙比为e0，施加p后的压缩变形量为s，相应孔隙比为e。从图10 可知，施加p前排土堆积体的固体体积vs和施加p后排土堆积体中的固体体积相等，则有

因此

上述土的三相草图中，若将vs假设为1，则三相草图可以表示为图11。

因此，根据压缩变形量与孔隙比之间的对应关系可得

式（9）为土层一维压缩变形量的基本公式。结合土的一维压缩性指标，有

联立式（10）～（13）并代入式（10）可得

式中，a为侧限应力条件下土的压缩系数；Es为土的侧限压缩模量，MPa；对于大面积堆载，p为上覆填土自重应力，MPa；H为下覆土层的厚度，m。

依据上述理论分析可知，将排土场堆积体视为若干土层堆置而成，堆积体产生的沉降，即为各土层受上覆土层压重产生的沉降总和。其中，上覆土层自重应力在下覆土层中产生的附加应力为恒定的均布荷载p（p=γh）。

3 工程实例

假设堆积体地基为稳定且不可压缩地层，堆积体的沉降是由分层填土压密形成。假设排土场台阶高度为80 m，排土台阶是由分层填筑而成，为计算排土沉降，需要将堆积体分为若干层进行计算，而后对每层土的沉降进行求和，即得到单台阶排土体的总沉降量。

本次计算假设填土条件为每层填土2 m，总计分层40层，其计算模型可简化为图12。

结合前述计算原理，单台阶排土堆积体沉降计算过程可简化如下。

假设地表及以下不可压缩，将80 m 堆高的土层划分为40 层（每层厚2 m）。视第1 层填土在自重应力作用下堆积不产生沉降，其沉降是由于上覆39 层土压重并在土中产生附加应力引起（附加应力大小为上覆土层自重应力，设容重20 kN/m3，p=20 kN/m3×78 m=1 560 kPa），第2 层填土沉降是由于上覆38 层土压重并在土中产生附加应力引起（附加应力大小为上覆土层自重应力，设容重为20 kN/m3，p=20 kN/m3×76 m=1 520 kPa，以此类推直至排土台阶顶部。

上述计算过程中，相关力学参数采用排土物料侧限压缩试验结果（取Es=24.5 MPa），对2 种填土计算模型分别计算沉降量，结果见表2。

对表2每层沉降量计算结果求和可知：

∑S=ΔS1+ΔS2+ΔS3+···+ΔS40=254.70 cm。

4 结 语

本研究将土力学中计算地基沉降的分层总和法应用到排土场沉降量计算中，推导了计算方法，并进行了工程实例计算分析，得出了排土场的沉降变形量，可以用来指导排土场设计，为排土场设计提供依据。