求不等式恒成立问题中参数范围的思路

张成林

不等式恒成立问题的综合性较强，具有一定的难度.解答此类问题，需要灵活运用导数、函数、不等式、方程等知识.首先，将不等式进行适当的变形，如将不等式移项、通分、分离常数等，然后，根据不等式的特点构造出函数，将问题转化为函数最值问题.通过研究导数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，再结合函数的定义域和图象求得函数的最值，建立含有参数的不等式，从而求出参数的取值范围.

例1.已知函数 f（x）=x3- 3x .对任意 x1，x2∈ （-1，1），不等式f（x1）-f（x2）<a 恒成立，求实数 a 的取值范围.

解：

我们先将“对任意x1，x2∈ （-1，1），都有f（x1）-f（x2）<a 恒成立”等价转化为“对任意x1，x2∈ （-1，1），f（x）max -f（x）min <a 成立”.利用导数法求得函数 f（x）的最大值与最小值，再解含有参数的不等式即可.

例2.已知函数 f（x）=x +1lnx +1，对任意 x ≥0，恒有 f（x）≥ ax 成立，求实数 a 的取值范围.

解：由 f（x）≥ ax 可得x +1ln（x +1）-ax ≥0，

设 g（x）=x +1ln（x +1）-ax ，

则 g′（x）=lnx+1+1 -a ，

由 g′（x）=0得 x =ea-1-1.

（1）当 a ≤1时，对任意 x >0，都有 g′（x）>0，所以 g（x）在[0，+∞）上是增函數，

所以 g（x）≥ g（0）=0，

即当a ≤1时，对任意x ≥0，都有 f（x）≥ ax 成立.

（2）当 a >1时，由 g'（x）<0得0<x <ea-1-1，所以 g（x）在 （0，ea -1-1）上是减函数.

由0<x <ea-1-1得 g（x）<g（0）=0，不满足已知条件.

综上可得a ≤1，即实数 a 的取值范围是（-∞，1].

将已知不等式移项，构造出新函数，便可将问题转化为函数值恒大于零或恒小于零的问题，再利用导数法来求函数的最值.一般地， f（x）>0恒成立⇔ f（x）min >0;f（x）<0恒成立⇔ f（x）max <0.

例3.已知 f（x）=x lnx， g（x）=-x2+ax -3 .对一切 x ∈（0，+∞），2f（x）≥ g（x）恒成立，求实数 a 的取值范围.

解：依题意知，2x lnx≥-x2+ax -3，

则 a ≤2lnx +x + ，

设 h（x）=2lnx + x + （x >0），

则h′x=（x +3）（x -1）

①当 x ∈0，1时，h′x<0，则hx单调递减，

②当 x ∈（1，+∞）时，h′x>0，则hx单调递增，

所以hxmin =h1=4，

对任意 x ∈（0，+∞），2f（x）≥ g（x）恒成立，

所以a ≤ hxmin =4，即a ∈（-∞，4].

对于易于分离参数的不等式，可先将参数分离，再把不含参数的式子构造成函数，利用导数法求得函数的最值，便可建立使不等式恒成立的关系式，求得参数的取值范围.

例4.已知函数 f（x）= ，g（x）=x +m lnx .对任意 x1，x2∈ [1，2]，恒有 f（x1）≥ g（x2）成立，求实数 m 的取值范围.

解：由于 f（x）=  =4-  ，

所以 f′（x）= >0恒成立，

于是 f（x）在[1，2]上是单调增函数，

则 f（x）min =f（1）=1 .

由 f（x1）≥ g（x2）可得1>x +m lnx，

即 m ≤  .

设 h（x）= （1，2]，

则 h′（x）= ，

设φ（x）=-x lnx +x -1，

则φ′（x）=lnx，

当 x ∈（1，2]时，φ′（x）<0，

即φ（x）在（1，2]上单调递减，

所以φ（x）<φ（1）=0，故 h′（x），

所以 h（x）= 在（1，2]上单调递减，

则 m ≤ h（2）= =-log2e ，

即实数 m 的取值范围为（-∞，-log2e].

该题较为复杂，需先将不等式变形，分离参数，然后构造函数，将问题转化为函数最值问题，通过二次求导求得函数的最值，得到参数的取值范围.

可见，求不等式恒成立问题中参数的取值范围，关键是将不等式进行合理的变形，构造出函数模型，将问题转化为函数最值问题来求解.

（作者单位：甘肃省陇南市宕昌县沙湾中学）