解答解三角形问题的三个常用办法

彭姚鲜

解三角形是高中数学中的重要内容，也是数学高考的必考内容.解三角形问题侧重于考查正弦定理和余弦定理的应用.下面，结合例题，探讨一下解答解三角形问题的三种常用办法.

一、利用正余弦定理

正余弦定理适用于求解大部分解三角形问题.在解题时，需首先根据题意和几何图形理清三角形的三边、三角及其关系，然后运用正余弦定理求解.一般地，正弦定理适用于解答已知角較多的问题，余弦定理适用于解答已知边较多的问题.

例1.如图1，甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于 A1 处时，乙船位于甲船的北偏西105° 方向的B1 处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达 A2 处时，乙船航行到甲船的北偏西120° 方向的B2 处，此时两船相距 10 2 海里，问乙船每小时航行多少海里？

解：连接 A1B2 ，A2B2 .由 A2B2 = 10 2 ，A1A2 = 30 2 × 2060 = 10 2 ，得 A1A2 = A2B1 ，又因为∠A1A2B2 = 180° - 120° = 60° ，所以△A1A2B1 是等边三角形，所以 A1B2 = A1A2 = 10 2 .而 A1B1 - 20 ，∠B1A1B2 = 105° - 60° = 45° ，

所以在△A1A2B1 中，由余弦定理可得 B1B22 = A1B12 + A1B22 - 2A1B2∙A1B2∙ cos 45° = 200，所以 B1B2 = 10 2 ，因此乙船的速度大小为 10202 × 60 = 30 2 （海里/小时） .

解答本题，需先结合图形明确甲、乙两船所在的方位，然后添加辅助线，构造△A1A2B1 ，求得各个角、边的大小，再在△A1A2B1 中运用余弦定理求得 B1B2的长，这样便可求得乙船的速度.

二、采用向量法

三角形与向量的关系紧密.在解答解三角问题时，可根据三角形法则构造出向量，求得目标向量的大小，就能通过向量运算求得问题的答案.运用向量法解题，能巧妙地避开一些繁琐的运算，有助于提升解题的效率.

例 2. 已知在△ABC 中， AB = 4 63 ，cosB = 66 ，AC 边上的中线 BD = 5 ，求角 A 的正弦值.

解：

我们先根据三角形法则构造向量，运用三角形中线的向量形式建立关于 BC 的关系，求得 | BC| ，然后根据余弦定理求得 | AC| ，最后运用正弦定理即可求得问题的答案.

三、运用建系法

对于一些动点、最值问题，我们一般采用建系法来求解.首先根据三角形的特点来建立合适的平面直角坐标系，如以三角形的一个顶点为原点、一条边为轴;以等腰、等边三角形的中线和一条直角边为轴;以直角三角形的两条直角边为轴等建立平面直角坐标系，求得各个点的坐标，通过向量坐标运算能顺利求得问题的答案.

例 3.在△ABC 中，AB = 2 ， AC = 2 BC ，求该三角形面积的最大值.

解：以 AB 所在的直线为 x 轴、AB 的中点为原点，建立如图3所示的直角坐标系，则 A（-1，0） ， B（1，0） .设点 C（x，y） ，由 AC = 2 BC ，得 （（x + 1）2 + y2 = 2 （x - 1）2 + y2 ，即 （x - 3）2 + y2 = 8（x ≠ ±1） ，

故点 C 在以 （3，0） 为圆心、半径为 2 2 的圆（去掉与 x 轴的交点）上，

则△ABC 面积的最大值为 S = 21 × 2 × 2 2 = 2 2 .

我们以 AB 所在的直线为 x 轴、AB 的中点为原点建立平面直角坐标系.再根据两点间的距离公式建立关于 C 点坐标的方程，求得 C 点的轨迹方程，便可确定 C 到直线 AB 的距离，最后根据三角形的面积公式求得三角形面积的最大值.

相比较而言，第一种方法比较常用，第三方法比较便捷，但适用范围较窄.总之，在解答解三角形问题时，同学们需将数形结合起来，把三角形与正余弦定理、向量、坐标运算法则关联起来，根据图形来建立关系式，这样才能使问题快速获解.

（作者单位：江苏省丹阳高级中学）