层状介质水力裂缝电磁响应的有限元正演模拟

吴世伟，刘得军，赵 阳，王 旭，冯 雪，李 洋

（1.中国石油大学(北京)信息科学与工程学院,北京 102249；2.国家石油天然气管网集团有限公司油气调控中心,北京 100007）

目前，开发非常规油气资源时，需要利用水力压裂技术提高储层的渗流能力，以达到高效开采的目的[1]。近年来，国内外水力裂缝监测方法和技术研究较多、发展较快：Ren Yi 等人[2-3]采用井下单发双收装置，利用金属圆盘模拟基岩中含导电支撑剂裂缝；Yan Liangjun 等人[4]采用可控源电磁法成功获得了涪陵页岩气田某水平压裂井的作业作用范围；Zhang Liming 等人[5]设计了一种井下单发三收天线组测井仪，对仪器响应进行了正演分析；Yang Kai 等人[6]探讨了低频电阻率测量在水力裂缝探测和评价中的适用性；Huang Weifeng 等人[7]对横跨5 层介质的垂直裂缝和横跨3 层介质的倾斜裂缝进行了正演模拟，但没有详细分析影响裂缝响应的参数；Li Yang 等人[8]利用低频电磁感应测井对非对称裂缝进行了正演模拟，研究发现非对称裂缝的电磁响应信号显著区别于对称裂缝。目前，利用电磁法监测水力裂缝的方法较多，但系统分析多层介质裂缝的正演方法较少，因此有必要研究多层介质裂缝中电磁测井仪器的响应特征。

为此，笔者基于有限元数值模拟方法，分别建立了三维水平井单层介质和5 层介质地层裂缝模型，对这2 种地层结构的裂缝模型进行了正演模拟计算；对比分析了对称裂缝和非对称裂缝在2 种地层结构中的电磁测井响应特征，包括对称裂缝夹角、非对称裂缝旋转角和展宽角的响应特征及其变化规律，以期为水力压裂效果评价及测井仪器参数选择提供理论依据。

1 有限元数值模拟原理

研究感应测井数值计算方法时，电磁感应响应的数值模拟就是求解空间域中三维Maxwell 方程的边值问题，通常需要采用有限差分、有限元和积分方程等方法。有限元法是一种求解微分方程的数值计算方法，具有适应性强、求解效能高等优点[9]。COMSOL 是一款功能强大的解决多物理场问题的数值计算软件，以有限元方法为基础，采用求解偏微分方程或偏微分方程组进行物理现象的模拟，实现物理问题向数学问题的转换[10]。COMSOL 的AC/DC 模块提供的一般形式的偏微分方程为：

式中：A为磁矢量，Wb/m2；U为电势，V；ω为角频率，rad/s；σ为介质电导率，S/m；ε为介电常数，F/m；μ为磁导率，H/m；v为导体的速度，此处为0；Je为外加电流源，A/m2；P为电偶极矩，C·m；M为磁偶极矩，A·m2[11-12]。

式(1)和(2)组成了关于势A和U的方程组。

接收线圈需等效模拟为封闭的有限大小的圆形或扇形线圈方式。实际计算时，接收线圈的感应电动势可以通过对穿过线圈的磁场进行面积分来求取。根据法拉第电磁感应定律，接收线圈上的感应电动势U为[13-14]：

式中：N为接收线圈的匝数；S为接收线圈面积，m2；H为通过接收线圈的磁场，包括Hx、Hy和Hz等3 个分量，A/m。

为了便于分析结果，对称裂缝中的仪器响应曲线采集的是沿X轴和Z轴方向的磁场模，非对称裂缝中的仪器响应曲线采集的是沿X轴的电场模。

2 地层裂缝模型的建立

建立了地层裂缝模型[15-21]，尺寸为30 m×30 m×30 m，分为单层介质地层和5 层介质地层。其中，5 层地层模型的地层厚度分别为12.75，1.50，1.50，1.50 和12.75 m，如图1所示。裂缝模型分为对称的圆盘形和非对称的扇形，半径均为3.00 m，宽度为0.02 m（见图1（a））。α为裂缝与井眼间（沿X轴负方向，顺时针为正）的夹角（见图1（b））；β为非对称扇形裂缝的旋转角，即扇形裂缝的中心半径与Y轴负方向的夹角；γ为扇形裂缝的展宽角（见图1（c））。圆盘形裂缝采用圆形接收线圈，扇形裂缝采用扇形接收线圈（线圈接收中心为Y轴负方向）。考虑裂缝会沿地层走向扩展，需在地层与裂缝交界处设置沿地层方向扩展的小裂缝，若为对称裂缝，其延展的方向与地层的夹角不一定垂直，所以设置阶梯状裂缝（见图1（d））；当裂缝与水平地层间夹角为90°时，此时为鱼骨状裂缝。若为非对称裂缝，其延展的方向与水平地层间的夹角为90°，同为鱼骨状裂缝（见图1（d）），所以根据裂缝与地层的实际接触面积，设置不同的椭圆形小裂缝。

图1 5 层水平层状介质地层裂缝模型Fig.1 Fracture model of five-layer horizontal layered medium formation

测井仪采用单发单收线圈系，发射线圈采用线电流，强度为200 A，发射频率为100 Hz；线圈源距为1.20 m，匝数为1，线圈半径为 0.05 m，相对磁导率和相对介电常数均为1.0，收发线圈同时在井眼中沿X轴负方向移动。

3 模型准确性验证

为了验证地层裂缝模型的可行性，将模拟结果与文献[6]中的计算结果进行了对比。该模型只考虑了不同面积的裂缝，与之对应的是文献[6]中不同的A值，没有考虑测井仪器频率不同的情况。建立均匀单层介质圆盘裂缝模型，裂缝宽度为0.02 m，支撑剂和地层电导率分别为20.0 和0.1 S/m，裂缝与井眼间的夹角为90°。在裂缝宽度、地层及支撑剂电导率和夹角不变的情况下，计算裂缝面积A分别为0.25π m2和9π m2时的感应电动势。由于文献[6]中的测量值为裂缝感应电动势的变化率，所以本文将有裂缝时的感应电动势记为Uf，无裂缝时的感应电动势记为Ub，用（Uf-Ub）/Ub计算裂缝感应电动势的变化率。采样范围为X轴的−3.00～3.00 m，采样间隔0.10 m。为了保持一致性，采用单发双收装置，发射线圈与第一接收线圈的源距是1.20 m，与第二接收线圈的源距是1.50 m，收发线圈同时在井眼中沿X轴正方向移动，结果如图2所示。

由图2可知：当测井仪器经过裂缝时，若发射线圈和第一接收线圈在裂缝前面、第二接收线圈在裂缝后面，即仪器接近裂缝时，信号增大并达到峰值；当发射线圈在裂缝前面、2 个接收线圈都在裂缝后面时，较小的裂缝信号为负，较大的裂缝信号为常数；当发射线圈移动到裂缝后面时，信号迅速消失，说明信号峰值可以用来确定裂缝的位置和缝长。仪器响应曲线除了幅值与文献[6]不同（因裂缝半径及裂缝电导率与文献[6]不同），其余结论与文献[6]一致，验证了模型的准确性。

图2 单介质地层不同半径的信号强度关系Fig.2 Relationship between different radius and signal intensity in single-layer medium formation

4 响应特征影响因素分析

4.1 对称裂缝夹角

4.1.1 单层介质地层

假设均匀单层介质地层电导率为0.001 S/m，裂缝电导率为20 S/m。计算裂缝与井眼的夹角分别为25°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°和155°时的感应电动势，采样范围为X轴的−3.00～3.00 m，采样间隔0.20 m，结果如图3所示。

图3 单介质地层不同夹角与信号强度关系Fig.3 Relationship between different angle and signal intensity in single-layer medium formation

从图3（a）可以看出：夹角为25°时，随着仪器接近裂缝，信号增强，仪器移动至距裂缝1.60 m 处时开始衰减，移动至距裂缝0.80 m 处时，信号开始随仪器与裂缝距离减小而快速增强。夹角为25°～90°时，随着夹角增大，信号的峰值会减小，信号的峰宽会增加。此外，如果2 条裂缝的夹角互补，那么这2 条裂缝的信号强度基本相同。

从图3（b）可以看出：Z方向接收时，夹角为90°时响应最不敏感，几乎为一条直线；倾斜角度越大，响应信号越强；此外，如果2 条裂缝的夹角互补，裂缝的信号强度仍一致。

从以上分析可以看出，双线圈系的X方向可分辨25°～90°的裂缝，但无法区分关于90°对称的裂缝；Z方向可以分辨25°～155°的裂缝。

4.1.2 5 层介质地层

假设第一、三、五层地层的电导率为1 S/m，第二、四层地层的电导率为6 S/m，裂缝电导率为20 S/m。计算裂缝与井眼的夹角分别为25°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°和155°时的感应电动势，采样范围为X轴的−3.00～3.00 m（阶梯状裂缝采样范围为Z轴方向−4.00～4.00 m），采样间隔0.20 m，结果如图4所示。

从图4（a）可以看出：夹角为25°时，随着仪器接近裂缝，信号先增强，仪器移至距裂缝1.20 m 处时，信号开始衰减；移至距裂缝0.80 m 处时，信号开始随仪器与裂缝距离减小而快速增强；当仪器移至与裂缝的距离小于0.60 m 时，信号又开始衰减，并且当仪器位于裂缝处时，信号会出现一个峰值点。不同于均匀单介质地层，夹角在25°～90°时，随着夹角增大，信号的峰值会增强，信号的峰宽几乎不变；且夹角越接近0°或180°，信号受地层分层的影响越大，越接近90°，信号受到的影响越小。此外，如果2 条裂缝的夹角互补，那么裂缝的信号强度几乎一致。

从图4（b）可以看出：Z方向接收时，夹角为90°时响应最不敏感，几乎为一条直线；倾斜角度越大，响应信号越明显；与均匀单介质地层不同的是，夹角在30°左右时，响应信号会出现明显的锯齿状波动。此外，如果2 条裂缝的夹角互补，裂缝的信号强度仍一致。

从图4（c）可以看出：与理想裂缝模型相比，鱼骨状裂缝模型的夹角为90°时对应的曲线不再是峰值最大的曲线，且其峰值小于阶梯状裂缝；从图中蓝色虚线圈出的区域可以看出，夹角为25°和30°且仪器距裂缝0.20～1.00 m 时，阶梯状裂缝与理想裂缝模型有较大的区别。

从图4（d）可以看出：与理想裂缝模型相比，Z方向接收时，响应曲线整体变得更平滑；从图中蓝色虚线圈出的区域可以看出，夹角趋近0°时，曲线的峰值趋于重合。

通过以上分析可知，穿层裂缝与均匀介质裂缝的响应曲线区别较大，裂缝的倾斜程度越大，响应曲线越曲折；虽然多层介质对裂缝响应有一定的影响，但裂缝响应的整体趋势变化不大。

4.2 非对称裂缝旋转角

4.2.1 单层介质地层

假设均匀单层介质地层电导率为0.001 S/m，裂缝电导率为20 S/m，非对称裂缝是展宽角为60°的扇形。计算裂缝与井眼间的旋转角分别为0°，60°，75°，90°和150°时的感应电动势，采样范围为X轴−3.00～3.00 m，采样间隔0.20 m，结果如图5所示。

图5 单介质地层不同旋转角与信号强度关系Fig.5 Relationship between different rotation angle and signal intensity in single-layer medium formation

从图5可以看出：旋转角为0°时，随着仪器接近裂缝，信号会出现衰减，当仪器移至距裂缝0.80 m处时，信号随仪器与裂缝距离减小而快速增强。从图5中红色虚线圈出的区域可以看出，随着旋转角增大，信号响应的衰减程度减小，仪器的接收响应相应增强。此外，信号在−0.40 m 处的峰值逐渐大于在0.40 m 处的峰值。通过以上分析可知，采用扇形线圈接收响应信号可以分辨不同旋转角的非对称裂缝，这对判断裂缝方位角有一定的帮助。

4.2.2 5 层介质地层

假设第一、三、五层地层的电导率为0.001 S/m，第二、四层地层的电导率为0.002 S/m，裂缝电导率为20 S/m，非对称裂缝是展宽角为60°的扇形。分别计算理想裂缝模型和鱼骨状裂缝模型下，裂缝与井眼间的旋转角分别为0°，60°，75°，90°和150°时的感应电动势，采样范围为X轴−3.00～3.00 m，采样间隔0.20 m，结果如图6所示。

从图6（a）可以看出：与单层介质地层相比，旋转角为0°和150°的信号对地层分层不太敏感；旋转角为60°时，左峰值明显小于右峰值，并且随着旋转角增大，差值逐渐减小；直至旋转角为90°时，恢复至左峰值大于右峰值的状态。

从图6（b）可以看出：与理想裂缝模型相比，曲线更平滑；旋转角为75°时，左峰值明显大于右峰值，其他结论与理想裂缝模型一致。

图6 5 层介质地层不同旋转角与信号强度关系Fig.6 Relationship between different rotation angle and signal intensity in five-layer medium formation

以上分析可知，多层介质对旋转角为60°～90°的非对称裂缝影响较大，根据响应信号左右峰值是否反转可以判断裂缝是否位于多层介质地层。

4.3 非对称裂缝展宽角

4.3.1 单层介质地层

假设均匀单层介质地层电导率为0.001 S/m，裂缝电导率为20 S/m。旋转角固定为0°，计算裂缝展宽角分别为30°，60°，90°，120°和150°时的感应电动势，采样范围为X轴−3.00～3.00 m，采样间隔0.10 m，结果如图7所示。

图7 单层介质地层不同展宽角与信号强度关系Fig.7 Relationship between different widening angle and signal intensity in single-layer medium formation

从图7可以看出：随着裂缝展宽角度的增加，仪器的接收响应相应增强，衰减区域逐渐远离裂缝位置（如图中红色虚线框圈出的区域），响应峰值的位置不变，仍为−0.60 m 和0.60 m 处。需要注意的是，裂缝展宽角度小于30°时，信号的响应结果与圆盘状裂缝的响应相似，不再具备非对称裂缝响应的典型特征。通过以上分析可知，采用扇形线圈接收响应信号可以分辨不同展宽角的非对称裂缝，这对判断裂缝展开程度有一定的帮助。

4.3.2 5 层介质地层

假设第一、三、五层地层的电导率为0.001 S/m，第二、四层地层的电导率为0.002 S/m，裂缝电导率为20 S/m，旋转角为0°，分别计算理想裂缝模型和鱼骨状裂缝模型下，裂缝的展宽角分别为30°，60°，90°，120°和150°时的感应电动势，采样范围为X轴−3.00～3.00 m，采样间隔0.10 m，结果如图8所示。

图8 5 层介质地层不同展宽角与信号强度关系Fig.8 Relationship between different widening angle and signal intensity in five-layer medium formation

从图8（a）可以看出：与单层介质地层相比，展宽角为90°时，左峰值开始高于右峰值，并且随着展宽角增大，差值逐渐变大；展宽角为150°时，左峰值明显大于右峰值。从图8（b）可以看出：与理想裂缝相比，鱼骨状裂缝−0.60～0.60 m 之间的信号凹陷消失，变为平滑曲线，其他特征与理想裂缝一致。

以上分析可知，多层介质对非对称裂缝的展宽角响应有一定的影响，展宽角越大，响应曲线的非对称性越明显。

5 结论与建议

1）建立了地层裂缝模型，采用有限元法模拟了电磁测井仪器的响应特征。结果表明，利用电磁法探测不同地层结构水平井水力裂缝的正演模拟具有较高的准确性。

2）采用控制变量法，分析了对称裂缝与井眼间的夹角、非对称裂缝与井眼间的旋转角和展宽角对电磁波测井响应的影响，比较了不同结构地层裂缝模型与电磁波测井响应特征之间的关系。

3）对称裂缝的倾斜程度越大，响应曲线越曲折；虽然多层介质对裂缝响应有一定的影响，但裂缝响应的整体趋势变化不大。非对称裂缝的展宽角越大，多层介质条件下裂缝响应信号的非对称性越明显，因此可以根据响应信号是否具有对称性判断裂缝所处地层的情况。

4）建议考虑更复杂的地质情况进行正演模拟，以进一步优化电磁波测井仪结构。