基于分数阶Gabor变换的LFM回波信号压缩采样方法

王 强, 孟 晨, 王 成, 张 瑞

(陆军工程大学石家庄校区, 河北 石家庄 050003)

0 引 言

线性调频(linear frequency modulated, LFM)信号具有大的时宽带宽积,能够有效解决作用距离与距离分辨率之间的矛盾,在雷达、声呐等探测系统中得到广泛应用。在应用过程中,探测场景内不同的探测目标,使得侦察设备接收到的LFM回波信号表现为多个具有不同幅值与时延的回波分量的叠加。为准确提取LFM回波信号中的参数信息,需要对回波信号进行采样,再利用处理器等相关设备进行信号的分析与处理。在Nyquist采样定理下,信号采样频率至少是其最高频率的两倍。由于LFM信号频带较宽,为保证采样过程不造成信息丢失,传统A/D转换器工作频率较高,功耗较大。

基于压缩感知理论的模拟信号压缩采样方法打破了Nyquist采样定理对信号采样过程的限制。该方法能够以较低的采样频率与功耗完成对宽带信号的采样,并通过重构算法完成对原始信号的有效重构。现阶段,压缩采样系统的具体实现形式仍在不断发展中。目前,比较成熟的系统主要包括随机解调器(random demodulator, RD)以及调制宽带转换器(modulated wideband converter, MWC)。二者对信号的重构过程,依赖于信号在频域内的良好稀疏性,而LFM信号频域稀疏性较差,因此传统的RD以及MWC系统并不适用于LFM信号。针对这一问题,文献[16]将RD系统重构阶段中的傅里叶字典替换为分数阶傅里叶字典,以实现对LFM信号的压缩采样与重构;文献[17]提出了RD系统的广义形式,并利用LFM信号在分数阶傅里叶变换下的稀疏性,完成信号的重构;文献[18]则提出了MWC的广义形式,完成对分数阶频域多带信号的压缩采样,该系统本质上也利用了信号在分数阶傅里叶变换下的稀疏性,因此一定程度上适用于LFM信号。

从上述分析可以看出,现有的LFM信号压缩采样系统主要利用了信号在分数阶频域的稀疏性完成信号的压缩采样与重构。对于LFM回波信号,其在分数阶频域内的稀疏性还取决于探测场景内目标的个数。目标个数较多会导致稀疏度急剧增加,从而严重影响信号的重构效果。为此,本文提出一种具有时间-分数阶频域分析能力的分数阶Gabor变换(fractional Gabor transform, FRGT)方法。该方法能够利用不同目标回波信号在时延上的差异性,改善信号稀疏表示效果,从而改善LFM回波信号的压缩采样与重构效果。

1 问题描述

1.1 LFM回波信号模型

假设探测器发射的LFM信号为(),经过多个目标反射后,具有不同幅值、时延的回波信号会返回到信号接收机中。回波信号()可以表示为

(1)

其中,

(2)

则

(3)

式中:为载频;()为发射信号脉冲包络;为LFM信号调频率;、为第个回波分量的幅值与时延;为目标个数;为回波信号的总观测时间。

1.2 分数阶频域稀疏性

对于信号(),其分数阶傅里叶变换可以表示为

(4)

式中:(,)为核函数,定义为

(5)

理想状态下,当旋转角度满足=-arccot(2π·)时,信号()中单个分量在分数阶傅里叶变换下的频谱稀疏度为1。在实际应用过程中,发射信号()中的脉冲包络()会导致分数阶频谱产生明显泄露。中心频率为0时的分数阶频谱如图1所示,可以看出,泄露效应使得信号在分数阶傅里叶变换下的稀疏度急剧降低,而目标个数的增加则使得稀疏度成倍增加。此时,基于分数阶傅里叶变换的压缩采样与重构方法将不能取得良好的效果。

图1 分数阶频谱的泄露效应Fig.1 Leakage effect of fractional spectrum

2 FRGT

2.1 FRGT定义

针对分数阶傅里叶变换在LFM回波信号稀疏表示中的不足,本文提出了基于FRGT的信号分析方法。目前,FRGT是在传统Gabor变换的基础上,引入了分数阶傅里叶变换因子,以使FRGT具有时间-分数阶频域的分析能力。考虑到压缩采样系统的实现问题,本文在现有的FRGT基础上,提出了一种新的FRGT实现方法,该方法能够保留现有FRGT在时间-分数阶频域的信号分析能力,同时更有利于压缩采样系统的设计实现。

本文FRGT定义为

(6)

式中:(·)为共轭算子;,,()可以表示为

(7)

式中:()为窗函数。

在现有FRGT中,复指数平方项是时间以及分数阶频移Δ的函数,而在本文FRGT中,复指数平方项中的分数阶频移参数Δ替换为时移参数Δ。该过程并没有改变FRGT在时间-分数阶频域的信号分析能力,但使得FRGT系数能够通过滤波器获得,因此更有利于压缩采样系统的设计实现。

2.2 完备性分析

FRGT需要具有完备性,保证信号经过变换后能够得到完全重构。假设经过变换后,信号的重构过程为

(8)

将式(6)代入,可得如下完备性条件:

(9)

式中:()为delta函数。

进一步推导可得

(-′)=

(10)

假设

(11)

则根据泊松求和公式可得

(12)

将式(12)代入:

(13)

再次利用泊松求和公式可得

(14)

将式(14)代入,则有

(15)

可以看出,等式成立的条件为

(16)

给定窗函数(),()可通过式(16)求得,此时信号可通过式(8)得到完全重构。

3 压缩采样与重构

3.1 滤波器设计

基于本文所提方法,FRGT系数可以表示为

(17)

式中:*为分数阶卷积算子,定义为

(18)

在分数阶频域,卷积算子具有如下性质:

(19)

式中:()为()的分数阶傅里叶变换;(csc)为()的傅里叶变换,则式(17)可以表示为

(20)

从式(20)可以看出,FRGT系数可以通过低通滤波的方式获得。滤波器结构如图2所示。

图2 FRGT滤波器Fig.2 Filter for FRGT

3.2 信号的有限系数展开

根据不确定性原理,在[0,]内有限时域支撑的信号,在分数阶频域内是无限支撑的。但通常信号的能量会集中在有限的分数阶频带范围内,因此假设信号的分数阶本质带宽为[-2,2],满足

(21)

式中:为本质带宽的补集;<1为常数。

同样地,假设窗函数()的时频域支撑集分别为[0,]以及[-2,2]。则信号能够利用有限的系数进行近似展开:

(22)

参数、可以通过下式确定:

(23)

3.3 压缩采样系统设计与分析

在探测系统中,具有不同反射系数的目标会导致LFM回波分量具有不同幅值,而多个目标距离上的差异,则使得不同的回波分量具有不同的时延参数。FRGT具有良好的时间-分数阶频域分析能力,因此能够有效利用各回波分量时延上的不同,改善信号的稀疏表示效果。

基于信号在FRGT下的稀疏性以及FRGT低通滤波的实现方式,本文提出了如图3所示的LFM回波信号压缩采样方法。

图3 压缩采样系统Fig.3 Compressed sampling system

输入信号()同时进入个采样通道。在单个通道内,信号()首先与调制信号相乘;再经过分数阶傅里叶域低通滤波器滤波;最后,采集器对滤波器输出进行离散、量化,以完成单个通道内的压缩采样。采集器工作频率为1Δ,整个系统的总采样频率为Δ。通过合理设置Δ以及,该采样系统总采样频率能够明显低于Nyquist采样频率。在第个通道内,调制函数为不同频率成分的加权,其中权值系数满足高斯随机分布。

在重构阶段,首先利用压缩采样点完成对FRGT变换系数的重构,然后利用式(22)完成对原始信号的重构。在第个通道内,Δ时刻的采样点可以表示为

(24)

定义:

(25)

(26)

(27)

则式(24)可以表示为

=

(28)

式中:∈×为包含FRGT系数的系数矩阵;∈×为压缩感知观测矩阵;∈×为滤波器输出矩阵。基于压缩感知理论,系数矩阵的重构模型为

(29)

式中:(·)用来计算矩阵非零行的个数。式(29)可以通过匹配追踪、稀疏贝叶斯学习等压缩感知重构算法求解。

3.4 重构误差分析

基于压缩感知理论,系数矩阵的重构误差可以表示为

(30)

式中:′为的最佳′行近似;′为系数矩阵的行稀疏度;、为常数。则原始信号的重构误差可以表示为

(31)

(32)

另一方面,信号的有限展开所造成的误差可以表示为

(33)

因此原始信号重构误差可以表示为

(34)

可以看出,经过压缩采样后,原始信号的重构误差是有界的。

4 实验与分析

4.1 仿真LFM回波信号

为验证本文压缩采样方法的有效性,进行LFM回波信号仿真实验。回波信号参数设置如下:载频=0,调频率=6 000 MHz/μs,脉冲包络宽度为01 μs,回波信号总时长=06 μs。回波信号中包含5个回波分量,幅值分别为0.9、0.8、0.7、0.9、0.6,时延分别为0.08 μs、0.2 μs、0.25 μs、0.4 μs、0.44 μs。仿真信号如图4所示。图4(a)为信号的时域波形,图4(b)为仿真信号频谱,根据信号频谱特性,实验中Nyquist采样频率设定为2 GHz。图4(c)为仿真信号分数阶频谱,可以看出,尽管信号在分数阶频域内具有一定的近似稀疏性,但由于泄露效应以及多个回波分量的作用,该稀疏性并不理想。图4(d)为基于本文所提FRGT的仿真信号时间-分数阶频谱,FRGT参数设置为Δ=0.025 μs,Δcsc=33.3 MHz,=0.074 μs,=120 MHz。可以看出,通过利用各回波分量时延参数的不同,信号在给定时刻的分数阶频谱的稀疏性得到有效改善。

图4 仿真信号Fig.4 Simulated signals

4.2 压缩采样与重构

利用图3中本文所提的压缩采样系统进行压缩采样,并完成重构过程。压缩感知重构算法采用的是文献[26]中的稀疏贝叶斯学习算法。

实验过程中分别考虑了采样通道数以及噪声对压缩采样系统的影响。引入相对误差(relative error, RE)以衡量系数矩阵的重构效果:

(35)

图5 重构效果Fig.5 Reconstruction effect

从图5(a)中可以看出,信号系数矩阵的重构概率随着通道个数的增加而不断提高,无噪声条件下,通道个数大于等于20时,重构概率即高于95%。噪声对重构概率的影响也比较明显,从图5(b)中可以看出,当SNR低于14 dB时,重构概率为0,随着SNR的提升,重构概率不断提升,并趋近于1。从图5中可以分析得出如下结论:适当增加采样通道个数,能够有效提高压缩采样系统的工作稳定性。

为进一步验证本文压缩采样方法的有效性,引入不同的压缩采样方法进行对比实验,不同的压缩采样方法如下。

(1) 方法1：文献[17]中提出的广义的RD系统;

(2) 方法2：文献[18]中提出的广义的MWC系统;

(3) 方法3：本文提出的基于FRGT的压缩采样系统。

方法2与方法3均为多通道采样系统,采样通道个数设置为26,方法1为单通道系统,设置其总采样频率以及总采样点数与方法2、方法3保持一致。LFM回波信号的分数阶频谱能够直接反应出多个回波分量的幅值与时延等重要参数信息,因此,重构后的信号均变换到分数阶频域,以分析重构效果。图6中给出了含噪以及不含噪条件下,不同采样方法重构后信号的分数阶频谱,含噪条件下,噪声强度设置为SNR=20 dB。表1则给出了不同方法的压缩采样与重构效果对比。实验过程中,分别计算了重构信号与原始信号之间的RE与局部相对误差(local RE, LRE)。LRE仅计算5个特征频率点处的RE。

图6 不同方法重构误差Fig.6 Reconstruction error with different methods

从表1可以看出,经过压缩采样后,信号的总采样频率与总采样点数均远远低于Nyquist采样方法。此时,经过重构后,回波信号在分数阶傅里叶变换域的特征频点得到有效保留。而对比不同采样方法,可以看出,经过本文所提方法采样后,信号的重构效果最好,在含噪以及不含噪条件下,RE值与LRE值均低于方法1与方法2。分析其原因,主要是因为本文压缩采样方法本质上实现了对信号FRGT系数的压缩采样,相比于分数阶傅里叶变换,LFM信号在FRGT下具有更好的稀疏性,因此经过压缩采样后,信号的重构效果更好。

表1 压缩采样与重构效果对比Table 1 Comparison of compressive sampling and reconstruction effect

4.3 应用实例分析

为进一步验证本文压缩采样方法的有效性,选取合成孔径雷达(synthetic aperture radar, SAR)回波信号作为应用实例,进行SAR回波信号的压缩采样与重构数值分析实验。SAR回波信号是一种典型的LFM回波信号。本文采用了RADARSAT-1实测数据中的一个场景来验证本文压缩采样方法的有效性,场景为加拿大温哥华的一处港湾,停靠有6艘货轮。实测数据相关参数如表2所示。

表2 RADARSAT-1 实测数据参数Table 2 Parameters for real RADARSAT-1 data

设定距离向与方位向的总采样时间分别为21.66 μs、0.795 6 s。则该场景实测数据维度为700×1 000。实测数据如图7所示,图7(b)、图7(c)则分别给出了方位向200处的回波信号波形与分数阶频谱。

图7 实测数据Fig.7 Real data

本文压缩采样系统中,Δ=1.083 μs,则单通道采样频率为0.923 4 MHz,采样点数为20。设定采样通道个数为20,则总采样频率为18.468 MHz,总采样点数为400。设定方法1、方法2与本文压缩采样系统具有相同的总采样频率与总采样点数。对于方位向200处的回波信号,不同采样方法下重构信号的分数阶频谱如图8所示。从图7(b)中可以看出,实测数据中包含有大量的源噪声以及量化误差,因此仿真实验中采用的相对误差难以有效衡量重构效果。为此本文引入了特征权值(feature weight, FW)如下:

(36)

式中:为信号在分数阶傅里叶变换下的系数向量;′为中的特征频率系数。根据图7(c),选取[-13.53 MHz,-12.88 MHz]以及[-7.76 MHz,-7.53 MHz],分数阶频段范围内的系数为特征频率系数。则不同采样系统在含噪以及不含噪条件下的重构信号分数阶频谱与FW值如图8所示,其中,无噪声条件下,方法1的FW=0.476 1,方法2的FW=0.441 3,方法3的FW=0.580 4,含噪条件下添加的噪声强度为SNR=20 dB,方法1的FW=0.412 5,方法2的FW=0.379 7,方法3的FW=0.539 0。FW值越大,则重构信号中有用的回波分量比重越大,成像效果越好。探测场景中不同目标距离上的差异导致回波信号具有不同的时延,此时,信号在FRGT下的稀疏性更好,因此本文压缩采样方法在含噪或不含噪条件下重构效果均为最佳,FW值最大。

图8 重构信号分数阶频谱Fig.8 Fractional spectrum for reconstructed signals

对每个方位向信号完成重构后,利用距离多普勒算法进行成像,为进一步量化成像效果,引入图像熵以及图像对比度:

(37)

(38)

式中:=()∈,∈表示图像;mean(·)为均值算子。图像熵越小、图像对比度越高,则成像质量越好。则不同采样方法下的重构效果如图9所示,无噪声条件下,方法1 IE=10.597 1,IC=1.147 3,方法2 IE=10.818 1,IC=1.077 2,方法3 IE=8.788 6,IC=1.850 6,SNR=20 dB条件下,方法1 IE=10.782 8,IC=1.093 3,方法2 IE=11.009 8,IC=1.024 9,方法3 IE=9.528 3,IC=1.505 0。

从图9中成像效果可以看出,经过本文所提压缩方法重构后的信号成像效果最好,在含噪以及不含噪条件下,IE值低于方法1与方法2, IC值高于方法1与方法2。本文压缩采样系统更有利于保留回波信号中的有用信息,因此成像后IE值更小,IC值更高。另一方面,可以看出,由于压缩采样重构过程中存在的误差,使得重构信号的方位向调频特性一定程度上被破坏。此时,图像中的目标沿方位向产生了一定的模糊。如何协调回波信号重构与成像之间的关系,以使信号重构算法与成像算法相适应,需要进一步的研究。

图9 成像效果对比Fig.9 Comparison of imaging results

5 结 论

本文提出了一种基于FRGT的LFM回波信号压缩采样方法。该方法能够有效利用回波信号中不同回波分量在时延上的差异性,改善信号的压缩采样重构效果。针对压缩采样系统的实现问题,本文提出了一种新的FRGT实现方法。在系统分析了FRGT的完备性、滤波器结构以及信号有限展开等问题的基础上,给出了压缩采样系统实现方式。本文分析了压缩采样系统工作过程并建立了信号的重构模型。通过仿真以及应用实例分析,验证了本文压缩采样系统的有效性。