复数问题考点例析

邓建兵

复数是每年高考的必考内容，高考主要考查复数的基本概念，复数的几何意义，复数的模以及复数的最值等。

考点1：复数的概念

例1给出下列四个命题：①满足z=1/z的复数有±l，±1;②若a，b∈R，且a=b，则（a一b）+（a+b）i是纯虚数;③复数z∈R的充要条件是z=z;④在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示虚数。其中正确命题的序号是

。

解：i2=-l，显然①不正确。当a=b=0时，（a一b）+（a+b）i不是纯虚数，②不正确。由共轭复数的定义知，③正确。虚轴上的点除原点外都表示纯虚数，④不正确。答案为③。

评注：准确理解复数的实部、虚部、纯虚数、共轭复数的概念是解题的关键。

考点2：复数的几何意义

评注：当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数;反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量。

评注：复数的两层几何意义：一是复数z=a+bi与复平面内的点（a，b）一一对应;二是复数z=a+bi与向量OZ -对应，其中点Z的坐标为（a，b）。复数的模的两层意义：一是代数上的意义，也就是它是一个标量，表示的是大小，不表示方向;二是几何上的意义，表示的是复平面上点到原点的距离。

考点4：复数的最值问题

例4 已知复数z满足|z| =i，则z-（4+3i）的最大值和最小值分别为

。

解：因为|z|=l的几何意义是以原点0为圆心，1为半径的圆，而lz-（4+3i）l的几何意义是圆上的动点Z（x，y）到复平面上的定點A（4，3）的距离，所以|z- （4+3i）|的最大值是5+1=6，最小值是5-1=4。

评注：求复数的模的最大值和最小值，可以转化为动点到定点的距离问题求解。

说明：本文为十三五规划论文。