复数问题常见典型考题赏析

■姜传伟

复数是高中代数的重要内容,是同学们学习的一个难点,也是高考的一个重要考点。虽然复数在高中数学中所占的比例不是很大,但我们还是要学好高考常考的每一个知识点。下面就复数问题的常见典型考题举例分析,供同学们学习与提高。

题型一：复数的概念

要确定一个复数的实部和虚部,需要把复数化为a+bi的形式,还要注意这里a,b均为实数。解答复数的概念题,一定要紧扣复数的定义,牢记i的性质。

例1 现有下列四个命题:①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数;②若a,b∈R,且a＞b,则a+i＞b+i;③若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±2;④实数集是复数集的真子集。

其中正确命题的序号是_____。

解：对于复数a+bi(a,b∈R),当a=0且b≠0时,a+bi为纯虚数。对于①,若a=-1,则(a+1)i=0,不是纯虚数,①错误。两个虚数不能比较大小,②错误。对于③,若x=-2,则x2-4=0,x2+3x+2=0,此时(x2-4)+(x2+3x+2)i=0不是纯虚数,③错误。显然④正确。答案为④。

跟踪训练1：对于复数a+bi(a,b∈R),

下列说法正确的是( )。

A.若a=0,则a+bi为纯虚数

B.若a+(b-1)i=3-2i,则a=3,b=-2

C.若b=0,则a+bi为实数

D.(-i)2=1

提示：对于A,当a=0时,a+bi也可能为实数。对于B,由a+(b-1)i=3-2i,可得a=3,b=-1。对于D,(-i)2=-1。应选C。

题型二：复数的分类

对于复数z=a+bi(a,b∈R),z为实数⇔b=0,z为虚数⇔b≠0,z为纯虚数⇔a=0且b≠0。

例2 若复数a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则( )。

A.a=-1 B.a≠-1且a≠2

C.a≠-1 D.a≠2

解：若复数a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)为纯虚数,则a2-a-2=0 且|a-1|-1≠0,解得a=-1。所以当复数a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数时,a≠-1。应选C。

跟踪训练2：已知复数z=lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i。

(1)问当实数m取何值时,z为纯虚数。

(2)问当实数m取何值时,z为实数。

题型四：复数与复平面内点的关系

在复平面内,复数的实部就是其对应点的横坐标,复数的虚部就是其对应点的纵坐标。已知复数在复平面内对应点满足的条件求参数的值(或取值范围)时,可根据复数与复平面内点的对应关系,找到复数实部与虚部应满足的条件,通过解方程或解不等式求得参数的值(或取值范围)。