对接赋值非良策 化整为零乃妙方——对一类数列求和问题的分析与思考

叶诚理 林新建 林品玲

(1.福建省福清第一中学 350300;2.福建省福清进修学校 350300)

以函数、导数为背景的数列求和取值范围问题，是近年来高考压轴题的常客．对非常规的数列求和问题学生往往束手无策，需要从数学思想方法的高度对问题进行化归转化、构造赋值，难度极高．那么，有没有比较自然的解题策略呢？下面举一道典型例题加以剖析．

1 试题呈现

(2)若不等式f(x)≥1在x∈[0,+∞)时恒成立，求实数a的取值范围；

2 命题意图分析

本题考查导数及其应用，旨在运用导数研究函数的单调性、不等式恒成立问题以及构造函数证明数列不等式的方法，综合性较强，考查学生分析问题和解决问题的能力，考查学生的数学抽象、直观想象和逻辑推理等核心素养．

3 解答难点剖析

本题难在第(3)问，对于这类出现在导数压轴题中的数列求和不等式问题，常见的解题套路是对接前面的函数不等式结论，对变量x有效赋值，结合对数运算，从而构造与结论相匹配的数列通项，利用数列求和的裂项相消法证得不等式．

将上述式子相加可得：

原不等式得证．

评析对考生而言，完成以上这样的对接赋值具有极高的难度，需要较强的数学抽象能力和直观想象能力，他们往往束手无策，望题兴叹而已！

4 难点突破策略

由此可运用化整为零策略，令

当n≥2时，则

bn=Sn-Sn-1

由此只需证明

求导或利用第(2)问的结论便可轻松予以证明.

故对任意n∈N*，an

5 命题路径探秘

将函数、导数、数列、不等式结合的综合问题是近年来高考的热门题型．解题者遵循“求和看通项”这种化整为零的思路破解这类试题，而命题者则遵循“从通项生成和”这种逆向思维命制试题，命题过程中充分体现了函数与方程、化归与转化、化整为零的数学思想，本种命题手法在全国高考卷中屡见不鲜.

例2 (2017年全国Ⅲ卷理科22)已知函数f(x)=x-1-alnx．

(1)若f(x)≥0，求a的值；

进而不等式两边分别构造两个数列，其中右边转化成常规的等比数列求和，问题便水到渠成．

例3 (2014年高考全国Ⅱ卷理科17题)已知{an}满足a1=1，an+1=3an+1．

6 教学研究感悟

为什么有许多学生解决不了一些并不复杂甚至是简单的数学问题呢？除了极少数学生不知道相应的数学知识外，绝大部分学生不是不会方法，而是由于没有站在思想的高度来思考和引领方法，或者是因为思想不明确而想不起来用什么方法来处理问题．

上述试题的自然解法源于数学思想的指引，善于观察不等式的结构特征，把不等式两边看成两个数列的求和，从而构造两个数列，把研究和的大小转化成判断通项的大小，体现了化整为零、化归与转化、函数与方程思想在数学解题中的重要作用．

解题是命题的基础，命题是解题的超越.作为一线数学老师，不但要研究试题的解题方法、分析试题的产生背景，还要揣摩命题者的思路、懂得试题的命制原理，这样才能促使自己在教学中能更好地引领学生把握试题的本质，从数学思想方法的高度提高解题的能力和素养．