例谈用换元法解题

刘大鹏

(辽宁省黑山县第一高级中学 121400)

1 根式换元

所以值域为(-∞,5].

2 增量换元

例2(自编题)设x≥0,y≥0,3x+y≤6,x+3y≤6，求u=2x+3y的最大值.

解析设t=6-(3x+y),s=6-(x+3y)，

则t≥0,s≥0.

将x，y视为主元，解方程组得

评注用增量换元法解决线性规划问题新颖、简易，不需要繁琐的作图过程.

3 均值换元

所以f(x0)=64,g(x0)=8,f(x0)g(x0)=512.

4 整体换元

所以2x2-tx+3y2-ty+5=0.

5 倒数换元

x,y,z>0,xyz(x+y+z)≥1.

6 分母换元

证明令a+b=x,b+c=y,c+a=z，

7 差量换元

不妨设0

令t=x2-x1>0,

所以x2=x1et,x1(et-1)=t.

令M(t)=e2t-2tet-1,

则M′(t)=2e2t-2et-2tet=2et[et-(t+1)]≥0.

所以M(t)>M(0)=0.

所以K′(t)>0.

8 和差换元

解法1 令x=m+n,y=m-n，

代入已知，得3m2+13n2=5.

9 比值换元

(4S-5)k2-5Sk+4S-5=0.

当4S-5=0时，y=0或x=0；

当4S-5≠0时，

Δ=25S2-4(4S-5)2=(13S-10)(10-3S)≥0,

比值换元还常用于解决极值点偏移问题.

令M(t)=t3-t2+t-1-(t2+t)lnt,

则M′(t)=3t2-2t+1-(2t+1)lnt-t-1

=3t(t-1)-(2t+1)lnt

≥3t(t-1)-(2t+1)(t-1)

=(t-1)2>0，

M(t)>M(1)=0,

所以K′(t)>0.

10 三角换元法

方法小结对条件式(x-a)2+(y-b)2=R2,可设x=a+Rcosθ,y=b+Rsinθ;

文[5]解答有误，本文加以修正.

所以tanθn+6=tan(θn+5π)=tanθn.

所以an+6=an,2009=6×334+5.

评注本例可用不动点法先求数列通项公式，再求a2009.

左=cos2α+cos2β+cos2γ

=-sin2γ+sinγ+2