数列求和问题面面观

薛红利

(吉林省长春市第六中学)

数列求和是高考中比较常见的考点,有时以解答题的形式出现,有时以选择题或填空题的压轴题形式出现.数列求和问题除了直接利用等差数列或等比数列的求和公式外,经常还通过裂项相消法、错位相减法、分组转化法、并项求和法等方法来求解.

1 裂项相消法

破解策略 裂项相消法求和需过的“三关”:第一关是定通项,即会利用求通项公式的常用方法求出数列的通项公式;第二关是巧裂项,即能将数列的通项公式准确裂项;第三关是消项求和,即把握消项的规律,准确判断剩余的项是哪几项,从而顺利求和.

2 错位相减法

破解策略 应用错位相减法求和的关键:一是判断模型,即判断数列{an},{bn}是不是一个为等差数列、一个为等比数列;二是错开位置,为两式相减做准备;三是相减,相减时一定要注意最后一项的符号,在解题时常在此处出错,一定要小心.

3 分组转化法

当一个数列既不是等差数列,也不是等比数列时,可以将这个数列合理拆分,再重新组合,变成几个可以利用特殊数列进行求和的部分(经常采用分组转化法加以分别求和),然后再合并即可达到数列求和的目的.

破解策略 分组转化法求和需过的“四关”:第一关是转化,即将已知条件转化为数学语言;第二关是解方程,即利用方程(组)的思想求出等差数列或等比数列中的基本量;第三关是分组求和,即观察数列通项公式的特征,若其是由若干个简单数列(如等差数列、等比数列)的通项组成,则求和时可用分组求和法,把数列分成几个可以直接求和的数列;第四关是用公式法求和,对分组后的各个数列求和,观察各个数列的特点,利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.

4 并项求和法

在解决一些涉及三角函数或与绝对值有关的数列求和问题时,经常根据相关数列的特征,先将数列的每两项(或多次)合并到一起,再转化为熟悉的等差数列或等比数列进行求和处理.这种方法常适用于摆动数列的求和应用问题.

破解策略 用并项求和法对数列进行求和,关键是将一个数列分成若干段,然后分别利用等差数列或等比数列的求和公式或其他求和方法求解各分段数列.利用并项求和法求解数列问题的常见类型:一是数列的通项公式中含有绝对值符号;二是数列的通项公式中含有符号因子“(－1)n”等相关的形式.