洛伦兹对称破缺理论与Kerr-TAUB-NUT黑洞弯曲时空中的Hawking量子隧穿辐射特征

丁群涛，杨树政

(西华师范大学 物理与天文学院，四川 南充 637009)

利用真正意义上的量子隧穿理论，Kraus和Wilczek研究了一类黑洞的Hawking温度和黑洞熵[1-5]。之后，Kerner和Mann用半经典理论研究了黑洞的量子隧穿辐射特征[6-8]。利用黑洞量子隧穿理论及其研究方法，人们对黑洞的量子隧穿辐射进行了一系列有意义的研究[9-12]。Yang和Lin提出一种研究Dirac粒子量子隧穿辐射的方法[13-15]，利用半经典理论和Gamma矩阵的对易关系得到了弯曲时空中的Hamilton-Jacobi方程。随后人们利用这一方法研究了一类黑洞的隧穿率、黑洞熵和Hawking温度等有意义的物理量[16-19]。科学研究总是不断发展的。近年来的研究表明，在微观高能领域，量子引力理论不能被完美地建立起来。由于广义相对论是不可重建化的引力理论，研究者推测构成广义相对论基石的洛伦兹对称性在高能领域会产生对称性的破缺。在此推测基础之上，人们已经提出几种洛伦兹对称性破缺的引力模型[20-21]。有研究者通过引入Etheric-Like field矢量对平直时空和弯曲时空中的对称性破缺的Dirac方程进行了研究[22-23]。目前，应用洛伦兹对称破缺理论和半经典理论对黑洞量子隧穿辐射进行修正是值得深入研究的前沿课题[24-25]。

本文对洛伦兹破缺理论与Kerr-TAUB-NUT黑洞量子隧穿辐射的相关问题进行研究，讨论了洛伦兹破缺标量场方程及弯曲时空中的玻色子动力学方程，介绍了稳态Kerr-TAUB-NUT黑洞时空中玻色子的动力学方程及其解的物理意义，最后对文章中所得结果进一步解释和讨论。

1 洛伦兹对称性破缺与玻色子的动力学方程

在平直时空中的Etheric-Like field矢量uα是一个常矢量，自然满足以下条件

uαuα=const，

(1)

因此，在平直时空中，根据洛伦兹破缺的标量场理论，标量场粒子(即玻色子)的作用量为

(2)

这里λ0是一个很小的量，λ0(uαuαψ)2是洛伦兹对称破缺性引起的修正项。可得修正后的标量场方程为

∂μ∂μψ+λuαuβ∂α∂βψ+m2ψ=0。

(3)

在弯曲时空中，Etheric-Like field矢量用uα表示，uα不是常矢量，但仍然满足条件uαuα=const。考虑到洛伦兹对称破缺引起的修正项λ0(uαuαψ)2=0，将洛伦兹对称性破缺标量粒子的作用量改写为

(4)

因此，可得弯曲时空中洛伦兹破缺标量场粒子的动力学方程为

(5)

即

(6)

该方程实际上就是考虑到洛伦兹对称性破缺理论之后修正的Klien-Gordon方程。对于荷电为e,质量为m的玻色子而言，其修正后的Klien-Gordon方程为

(7)

此方程中的λ是一个很小的量，λuμuυ是一个修正项，gμυ是弯曲时空度规张量的逆变形式。方程(7)中的ψ是标量场粒子(玻色子)的波函数。用S表示标量粒子的Hamilton主函数，并利用半经典理论，令

(8)

由方程(7)和(8)可以得到

(gμυ+λuμuυ)(∂μS-eAυ)(∂υS-eAυ)+m2=0。

(9)

显然，方程(7)和(9)都是弯曲时空中玻色子的动力学方程。只要从方程(9)求出S，即可根据量子隧穿理论，求出黑洞的隧穿率和黑洞的Hawking温度。实际上，方程(9)是变形的Hamilton-Jacobi方程，是由变形的klein-Gordon方程得出的一个玻色子动力学方程，必须按照Hamilton-Jacobi方程的求解方法求出S。下一节中，将根据一个具体的时空度规来求解此方程。

2 对Kerr-TAUB-NUT弯曲时空中玻色子隧穿辐射的修正

Kerr-TAUB-NUT时空是一个带有NUT荷的稳态弯曲时空，这一时空的特殊性质在弦理论中具有研究意义，给出黑洞时空线元

(10)

其中

Δ=r2-2Mr-l2+a2,ρ2=r2+(l+acosθ)2,A=asin2θ-2lcosθ。

(11)

式中，M是黑洞质量，l是NUT参数，a是黑洞单位质量的角动量。由(10)式可知，此黑洞时空度规的非零协变分量和逆变张量分别为

(12)

(13)

根据(10)(11)和(13)式，玻色子动力学方程(9)简化为

gμυ∂μS∂υS+λuμuυ∂μS∂υS+m2=0。

(14)

为了求解此方程，Etheric-Like field矢量场uμ表示为

(15)

这里ct,cr,cθ,cφ都是常量，显然

(16)

把(13)式带入方程(14)中可以得到

gtt(∂tS)2+grr(∂rS)2+gθθ(∂θS)2+gφφ(∂φS)2+2gtφ(∂tS∂φS)+λuμuυ∂μS∂υS+m2=0，

(17)

对稳态Kerr-TAUB-NUT弯曲时空而言，可以将半经典的方程(17)进行分离变量，其中

S=-ωt+R(r)+D(θ)+jφ，

(18)

(19)

根据零超曲面方程

(20)

得出此黑洞的事件视界rH满足以下方程

Δ(rH)=rH2-2MrH-l2+a2。

(21)

所以，在此黑洞事件视界附近，由方程(19)可得

(22)

方程中

(23)

运用留数定理对(22)式积分可得

(24)

式中，Rr是径向积分之外的项，此项在求隧穿率时会自然省略。根据量子隧穿率的理论，得到Kerr-TAUB-NUT黑洞事件视界附近玻色子的隧穿率为

(25)

令

(26)

则隧穿率可以表示为

(27)

式中,T0是修正前的Hawking温度，TH是修正后的Hawking温度，表示在洛伦兹对称性破缺理论下Kerr-TAUB-NUT黑洞视界处的Hawking温度必然需要修正，其修正项与λ和cr有关。(25)和(26)式就是对此黑洞隧穿辐射进行修正后得到的新结论。根据黑洞热力学第零定律，稳态黑洞的视界表面引力是一个常数。由(26)式可知，此黑洞的事件视界表面引力Κ为

(28)

这是修正后的Kerr-TAUB-NUT黑洞的视界表面引力的表达式，显然是一个常数。所得结果符合黑洞热力学第零定律。

由(23)式可知，NUT参数l对旋转势有影响。可以肯定的是，NUT参数和洛伦兹对称性破缺的修正项都对Kerr-TAUB-NUT黑洞熵产生影响。如果用SBH表示此黑洞的熵，那么(25)式可以表示为

Γ～exp(-2ImR±)～exp(ΔSBH)，

(29)

ΔSBH表示Bakenstein-hawking熵变。根据黑洞热力学第一定律，进一步讨论洛伦兹对称性破缺对Kerr-TAUB-NUT黑洞熵的修正。由于

dM=TdSBH+VdJ+UdQ，

(30)

得到未修正的Kerr-TAUB-NUT黑洞熵S0满足如下关系式

(31)

经过修正的Kerr-TAUB-NUT黑洞的黑洞熵SBH为

(32)

这就表明此黑洞熵需要修正，修正后的黑洞熵与此黑洞视界面积之比是一个常数。这是稳态黑洞的基本特征之一，在动态情况下，就需要进一步的研究。

3 总结与讨论

利用弯曲时空中的量子隧穿辐射理论，可以研究静态、稳态和动态黑洞的隧穿辐射特征。当考虑到洛伦兹对称破缺理论时，玻色子的动力学方程已发生改变，这一变化必然导致黑洞隧穿率的改变。针对不同的黑洞，洛伦兹对称破缺理论导致黑洞隧穿率、Hawking温度等物理量的修正量，还需要更进一步的研究。以上是对Kerr-TAUB-NUT黑洞玻色子辐射特征的研究及其它类型黑洞的相关研究，都需要进行具体的分析，phy-sics。对于费米子而言，需要研究洛伦兹对称破缺对Dirac方程的影响。关于费米子隧穿辐射特征的研究及其它类型黑洞的相关研究，都需要进行具体的分析，我们将在别的论文中介绍。