求解广义KdV方程的非标准有限差分格式

程 宏

（闽南师范大学数学与统计学院,福建 漳州 363000）

Korteweg-de Vries(KdV)方程是一种描述浅水波中长波单向传播过程的偏微分方程[1],由于KdV方程是非线性的,求其精确解是非常困难的,因此求其数值解就成为一种研究KdV 方程的重要方法.当前,对KdV 方程的数值求解主要有有限差分法、有限元方法、有限体积法等.对非线性KdV 方程有限差分方法的研究目前已经有了许多的工作,何育宇等[2]对KdV方程提出一个三层线性紧致有限差分格式,且数值格式是质量守恒和能量守恒的.程宏[3]对周期边界的KdV 方程建立了三层线性差分格式,该格式具有四阶精度,并用离散能量法证明了所构造数值格式解的存在唯一性、稳定性与收敛性.近年来,一些学者认为标准有限差分(standard finite difference,SFD)方法有时不能正确反映原系统的性质,或者造成解的不稳定性,或者可以保持解的稳定性但对步长却有苛刻的限制[4].

非标准有限差分(nonstandard finite difference,NSFD)方法起源于Mickens 的工作[5],其基本思想是使用分母函数(步长函数)代替标准差分中的步长,使得非标准差分方法得到的数值解尽可能的在网格点处接近精确解[6-7].非标准有限差分法的本质是在标准有限差分法的基础上做了改进,所以在某种程度上它可以克服标准有限差分法的不足,从而保持方程的物理特性.考虑广义KdV方程[8]:

其中α,β为参数,p≥1 为正整数,u=u(x,t)是关于x,t的函数.当x→±∞时有u→0.当p=2 时式(1)满足如下守恒量[9]:

本文研究广义KdV方程式(1)在有限区间[xl,xr]×[0,T]上的数值方法,初值条件和边界条件分别为

其中u0(x),f1(t),f2(t),g(t)为已知函数,建立广义KdV 方程初边值问题式(1～3)的非标准有限差分格式,并与标准有限差分格式做比较,同时验证非标准差分格式数值解的守恒性.

1 标准差分格式

本节建立广义KdV 方程初边值问题式(1～3)的标准有限差分格式.令xj=xl+jh,0≤j≤J,tn=nτ,0≤n≤N,其中h=(xr-xl)/J和τ=T/N分别为求解区域空间和时间方向上的步长.设Unj为u(xj,tn)的近似解,即Unj≈u(xj,tn).由泰勒展式,得

由式(4～5),对初边值问题式(1～3)建立标准差分格式为

其中2≤j≤J-2,1≤n≤N-1,初边值条件离散为

此标准有限差分格式为时间两层的显式格式.由于在内点以及边界上对一阶偏导ux均采用向后差商进行离散,因此标准有限差分格式(9)在空间上只有一阶精度.

2 非标准有限差分格式及其局部截断误差

为建立初边值问题式(1～3)的非标准有限差分格式,对空间步长h→0和时间步长τ→0,引入如下分母函数为

当h→0,τ→0时可得ϕ→τ,φ→h.由式(10),对KdV初边值问题式(1～3)建立非标准差分格式为

其中2≤j≤J-2,1≤n≤N-1.令式(11)变为

此非标准有限差分格式也为时间两层的显式格式.

记unj=u(xj,tn),利用泰勒展开式计算非标准有限差分格式(12)的局部截断误差.定义如下3 个差分算子:

利用泰勒展开式得

从而非标准有限差分格式(12)的局部截断误差为O(τ+h),且当h→0,τ→0 时局部截断误差ηkj→0.

3 数值实验

例1选取参数p=2,α=1,β=-0.005,xl=-15,xr=15,h=0.25,τ=0.001,讨论广义KdV 方程(1)的非标准有限差分格式[8],初值条件取为

u0(x)=κtanh(x)，

边值条件为

u(a，t)=κtanh(a+2βt)，u(b，t)=κtanh(b+2βt)，ux(b，t)=κ[1-tanh2(b+2βt)]，

该问题的解析解为

考虑如下L∞,L2误差和均方根(root mean square,RMS)误差[2,7]:

表1给出不同时刻标准有限差分格式(9)和非标准有限差分格式(12)的误差比较,其中S表示标准有限差分格式(9),N表示非标准有限差分格式(12).从表1中可以看到,相同条件下非标准有限差分格式比标准有限差分格式误差较小.

表1 不同时刻标准有限差分格式和非标准有限差分格式的误差比较Tab.1 Error comparison between SFD scheme and NSFD scheme at different times

表2给出T=1,h=0.5,τ=0.01时误差和收敛阶,这里定义收敛阶[2]为

从表2可以看出,非标准有限差分格式精度接近于理论分析的一阶精度,这就验证了局部截断误差理论分析的正确性.

表2 非标准有限差分格式误差和收敛阶Tab.2 Error and convergence rate of the NSFD scheme

图1给出同等条件下标准差分格式和非标准格式对应的数值解和绝对误差,从图1可以看出,非标准有限差分格式得到的数值解的绝对误差小于标准有限差分格式得到的数值解的绝对误差.

图1 标准差分格式和非标准格式对应的数值解和绝对误差Fig.1 Numerical solutions and absolute errors of SFD scheme and NSFD scheme

为验证非标准有限差分格式所得数值解的守恒性,考虑如下守恒量的离散形式

表3列出不同时刻非标准有限差分格式得到的四个不变量值及L∞误差结果,从表3中可以看出,在不同时刻下,四个变量保持了很好的守恒性,再次说明非标准有限差分法可以很好地保持原方程的守恒特性.

表3 不同时刻非标准有限差分格式得到的四个不变量值及误差结果Tab.3 Four invariants and errors obtained by NSFD scheme at different times

例2选取参数p=2,α=6,β=1,xl=-50,xr=50,h=0.5,τ=0.005,讨论广义KdV 式(1)的非标准有限差分格式,初值条件取[10]为

u0(x)=κ1sech(κ2x)，

边值条件为

u(a，t)=κ1sech [κ2(a-ct)]，u(b，t)=κ1sech [κ2(b-ct)]，

ux(b，t)=-κ1κ2sech [κ2(x-ct)]tanh [κ2(x-ct)]，

该问题的解析解为

图2给出非标准有限差分格式计算不同时刻波的传播,这里取c=0.1,可以看到不同时刻波的形状保持一致.

图2 不同时刻下波的传播Fig.2 Propagation of waves at different times

4 结语

对广义KdV 方程的初边值问题建立了非标准有限差分格式,研究了该差分格式的数值局部截断误差.数值模拟结果表明,同等条件下非标准有限差分格式比标准有限差分格式误差较小,且能很好地保留原方程的守恒特性.