多视角突破一道高考题

摘 要：平面向量作为高中数学的重要工具，它将代数和几何紧密联系起来.有关向量的试题可以从代数和几何两个角度思考，再辅以数学思想方法才能突破难题，仅在纯向量知识间思考问题，难以奏效.

关键词：向量;最值;等价转化

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）04-0013-03

近日一名爱钻研的好学生向我请教了一道向量填空题，我一看便知这是多年前的一道高考压轴题，解法历历在目，但他觉得无从下手.由此看来，此题作为一道经典压轴题，名不虚传，对学生的能力考查到位，对学生的数学学科素养要求较高，是一个不可多得的研究学习的素材.

1 题目再现

题目 给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°.

图1如图1所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，则x+y的最大值是.

2 分析解答

本题以平面向量为背景，考查最值问题，对学生的等价转化能力要求较高.由于部分学生对向量知识间的关系理解不到位，向量的工具性理解不深刻，导致很难实现题设向目标函数转化，通俗地讲，不能将向量中的x，y剥离出来.因此，本题要在剥离x，y上下功夫.总体而言，既可以整体剥离出x，y，也可以单独剥离出x，y.以下是我和学生从几个视角探究问题的历程.

视角1 利用向量性质a2=a2，摆脱向量对目标函数的束缚.

解法1 因为OC=xOA+yOB，

所以OC2=（xOA+yOB）2.

即1=x2+2xyOA·OB+y2.

由于OA·OB=1×1×cos120°=-12，

所以1=x2-xy+y2.

进而3xy=（x+y）2-1≤34（x+y）2.

解得x+y≤2.

结合平行四边形法则易知x>0，y>0.

所以当且仅当x=y=1时，等号成立.

故答案为2.

评注 本解法依托性质a2=a2，将x，y从已知向量关系中整体剥离出来，再借助均值不等式完成最值的求解，将向量问题等价转化为均值不等式问题，思维有一定跨度，平时要加强训练.

视角2 从数量积的角度切入.

解法2 设∠AOC=α，α∈[0°，120°]，则

OC·OA=xOA2+yOB·OA.

即cosα=x-12y.①

OC·OB=xOA·OB+yOB2，

即cos（120°-α）=-12x+y.②

①+②，得

x+y=2[cosα+cos（120°-α）]=3sinα+cosα

=2sin（α+30°）

≤2.

所以当且仅当α=60°时，等号成立.

评注 因为数量积的运算将向量转化成标量，能够将x，y从已知向量关系式中单独剥离出来.如何构造数量积是一个难点，构造几个数量积是方程组的思想确定的.本题命题者将x，y的系数进行了巧妙处理，使得无需解方程组求x，y，否则都需要解含参方程组，这是本题本质所在.此法对于任何ax+by问题均可解答.

视角3 从向量坐标切入，利用解析几何思想消参.

解法3 以点O为坐标原点，以OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，那么A（1，0），B（-12，32）.设C（m，n），则m2+n2=1.

由OC=xOA+yOB，得（m，n）=x（1，0）+y（-12，32）.

于是m=x-12y，n=32y.

所以（x-12y）2+（32y）2=1.

以下同解法1.

评注 本解法有参数方程的思想，利用单位元整体消参，需要学生有这个前瞻性认识，否则会因为增加的变量而放弃思路.和解法1殊途同归，也印证了好的高考题目入口宽，收口紧的特征.向量和解析几何相结合倒是一个常见命题点.本解法单独剥离x，y，却整体处理了最值.

视角4 利用已知结论处理.

引理 O是直线l外一点，P，P1，P2是l上任意三点，则OP=mOP1+nOP2，其中m+n=1.图2

解法4 如图2，连接AB交OC于点D，于是OD=mOA+nOB，m+n=1.

而OC=λOD，

所以x+y=λm+λn=λ（m+n）=λ.

由数形结合易知，

当点C与A或B重合时，λ取最小值1;

当点C在圆弧AB的中点处，λ取最大值2;

當点C在圆弧AB其它位置时，1<λ<2.

综上，1≤λ≤2.

所以x+y≤2.

评注 本解法包含了“等和线定理”思想，但没必要给学生介绍该定理，以免增加学生的学习负担.但需要学以致用，这个引理在教材中以习题的形式出现过，希望大家重视.数形结合思想在解题中也发挥了重要作用.

3 变式升华

通过研究发现，命题者给考生留足了解题通道，甚至在答案数值上都做了设计，显示了数学的简洁美.这其中也给投机取巧者提供了机会.从基本不等式的角度来看，考生猜其在中间位置取得最值，解答易如反掌.为了提倡掌握问题本质，学习通解通法，我们可以将问题改为：

变式1 x+y最值和为.

变式2 x+2y的最大值为.

变式3 x2+y2的最小值为.

变式4 2xy的取值范围是.

变式5 x2-y2的取值范围是.

略解2 由前文解法2知，

cosα=x-12y.①

cos（120°-α）=-12x+y.②

由①②，解得

x=13sinα+cosα，y=23sinα.所以x+2y=53sinα+cosα

=2213sin（α+φ）.

存在α0∈[0°，120°]，使得sin（α+φ）=1.

所以2213sin（α+φ）≤2213.

故x+2y≤2213.

4 教学反思

4.1 关于深度教学

平面向量作为工具，和很多知识和技巧都有紧密联系.但是教材把它放在三角函数两章之间，表象上有脱节之嫌.事实上，我们在很多章节都可以螺旋式地开展深度教学，让向量和其它知识融合起来，体现其工具性和灵活性，并且从代数和几何的两个方向加以应用.4.2 关于一题多解

通过一题多解，可以提高学生学习数学的兴趣、主动性和积极性;有助于学生从多角度多方位去全面探索同一问题，寻求新颖的解题方法;还有助于开阔解题的思路，提高应变能力，最大限度地挖掘学生已有知识的潜在能力;还可使学生克服思考问题的片面性.

参考文献：

[1] 李昌成.用同构法突破2020年部分高考难题[J].中学生理科应试，2020（11）：19-20.

[2] 黄祥勇.数学核心素养导向下的深度教学[J].数学通报，2018，57（07）：29-32+63.

[责任编辑：李 璟]