巧用比例作图法解决物理问题

陈春琴

摘 要：高中学生普遍觉得物理不好学，除了阅读审题、物理建模科学思维等方面的困难之外，有时候是明明已经读懂题意，也建立了物理模型，但却在数学计算上出现了拦路虎.如果能灵活应用比例作图法将可以避开复杂的数学运算，更直观快速的得到答案.

关键词：比例作图法;直观快速解题

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）04-0121-03

众所周知，物理学科与数学学科这两门学科具有很高的关联性，在解决物理问题的过程中经常需要用到相应的数学思想方法.数学作为基础学科，其思想方法的应用始终贯穿在高中物理的学习中.而学生受分科教学的影响，经常无法将数学思想与物理应用融会贯通，教师在平时的教学中应有意识的培养学生应用数学知识解决物理问题的能力.本文重点介绍用比例作图法来巧妙解决物理问题.

学生在高一学习力学知识时就已经知道，画受力图时有两种方法——力的示意图和力的图示.力的图示是指从作用点开始沿力的方向画一条线段，根据选定的标度和力的大小按比例确定线段长度，并在线段的末端标出箭头表示力的方向.力的示意图不需要严格按照力的图示法表示力，而只沿力的方向画一条带箭头的线段来表示物体受到的力，不强调有向线段的长短和起点.除了在验证力的平行四边形的实验中我们应用了力的图示之外，在平时的授课和解题中，几乎都采用力的示意图法.其实借鉴力的图示法（比例的思想）用来解决和矢量有关的物理题往往有意想不到的妙处 .下面我们结合例题来体验一下：

例1 （2015年高考新课标全国卷II）由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道.当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行.已知同步卫星的环绕速度约为3.1×103m/s，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55×103 m/s，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，如图1所示，发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为（ B ）

A.西偏北方向，1.9×103m/s

B.東偏南方向，1.9×103m/s

C.西偏北方向，2.7×103m/s

D.东偏南方向，2.7×103m/s

常规解法1 合速度为同步卫星的线速度，为：v=3.1×103m/s;

一个分速度为在转移轨道上的速度，为：v1=1.55×103m/s;

合速度与该分速度的夹角为30°，根据平行四边形定则，另一个分速度v2如图2所示：

该分速度的方向为东偏南方向，根据余弦定理，大小为：v2=v2+v21-2vv1cos30°=1.9×103m/s

常规解法2 如图3所示.

v2=（vcos30°-v1）2+（vsin30°）2

≈1.9×103m/s

巧妙解法 这道高考题对学生来讲有两个难点，一个是物理建模，另一个就是采用数学方法来计算.这两种方法都需要学生有较好的数学功底，中等水平的学生不容易想到应用余弦定理来解题，但是借助尺规按比例作图就可快速得到答案.图4

观察题目数据可看出同步卫星的速度是卫星速度的两倍，如图4所示，因此我们用4cm长的线段表示同步卫星的速度v2，用2cm长的线段表示卫星速度v1，用量角器量出30°的夹角，将这两条线段的末端相连组成一个闭合的矢量三角形，用尺子量出连线的长度，按比例换算就可以得到附加速度的大小，方向也可一目了然.

v22.3cm=0.775×1031cm

例2 把一个已知力F分解，要求其中一个分力F1跟F成30°角.而大小未知;另一个分力F2= 33F，但方向未知，则F1的大小可能是 （ AD ）

A.33F B.32F C.3F D.233F

巧妙解法 取5cm长的线段表示力F，因为F2=33F，用圆规在直尺上取2.9cm长的线段表示力F2，以A为圆心，2.9cm为半径做圆弧与F1方向所在的直线相交于B、C两点，用尺子量出OB、OC的长度，OB=2.9cm，OC=5.7cm，则根据F5cm=F12.9cm，可算出OB线段表示的F1=33F，同理可得OB线段表示的F1= 233F.

例3 （2013年高考新课标全国卷Ⅰ）半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面（纸面），磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外.一电荷量为q（q>0）、质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向射入磁场区域，射入点与ab的距离为R2.已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为（不计重力）（ B ）

A.qBR2m B.qBRm C.3qBR2m D.2qBRm

常规解法 如图7所示，画出粒子运动轨迹如图，ce为射入速度所在直线，d为射出点，射出速度反向延长交ce于f点，磁场区域圆心为O，带电粒子所做圆周运动圆心为O′，则O、f、O′在一条直线上，由几何关系证得OC O′d为棱形，带电粒子所做圆周运动的轨迹半径R.

巧妙解法 本题的难点在于画出轨迹图用几何知识证明OC O′d为棱形，从而得出偏转圆的半径等于磁场圆的半径.但事实上，学生只要用圆规画出初速度偏转了60°的方向，并平移到合适的位置，画出两条半径大致相等的圆弧，用直尺就可以量出偏转圆的半径等于磁场圆的半径，如图8所示即可得到粒子的速率.

例4  如图9所示，一重为120N的球固定在弹性杆AB的上端，今用测力计沿与水平方向成37°角斜向右上方拉球，杆发生弯曲，此时测力计的示数为100N，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，则杆AB对球作用力的大小为（ B ）.

A.120N B.100N C.80N D.20N

巧妙解法 本题的难点在于学生受思维定势的影响，对物体受三个力平衡的情况不容易想到先正交分解，求出各个方向的合力再合成;而且画受力图的时候，球的重力和测力计的弹力方向可以确定，但杆对球的弹力方向是未知的，学生纠结于此，解题进行不下去.但如果能利用本文所介绍的方法，按照比例画出力的图示，如图10所示，沿竖直方向用6cm长的线段画出重力，沿测力计的方向画5cm长的线段表示弹力，用两把尺子平移作出准确的平行四边形，量出对角线的长度，就可以轻松得到答案.

物理学科是大多数学生比较畏惧的一门学科，不仅要理解物理概念、物理规律，还要懂得将物理知识应用于解决各类生产生活、科学探究等情景，有时候物理的相关知识应用得很好了，但确受限于数学工具的不熟练而解不出来.本人经过长期的教学实践发现，用比例作图法解题可以避开复杂的数学证明和运算， 学生可以将更多的精力放在审题、建立物理模型、并寻找相应的物理规律物理知识来解题，对中等层次的学生特别有帮助.但由于这个方法相比于其他数学方法（比如三角函数法、极值法、不等式法等）应用的比较少，所以更需要教师在平时的教学中有意识的加强这种方法的应用和示范.

参考文献：

[1] 刘宗华.数学思维与方法在物理解题中的应用[J].中学物理，2014，32（12）：94.

[2] 安丰亮. 数理逻辑思维对中学物理的学习影响与研究[D].汉中：陕西理工大学，2019.

[3] 赵永刚.利用解题后的反思来提高高中物理解题实效性[J]

.课堂教育研究，2019（48）：213.

[责任编辑：李 璟]