高等数学课程中思政教育的融入*

杨瑞龙 梁登星 路云

（1.天津职业技术师范大学理学院；2.北京科技大学天津学院基础部）

2016年召开的全国高校思想政治工作会议上，习近平总书记指出“要坚持把立德树人作为中心环节，把思想政治工作贯穿教育教学全过程，实现全程育人、全方位育人，努力开创我国高等教育事业发展新局面”[1]，这一重要指示为当前高校育人工作提供了重要指向。

关于大学数学类课程中融入思政元素有很多的讨论。例如，文献[2-5]给出了一些相关讨论。本文讨论高等数学课程自身的特点，探讨高等数学课程中思政元素的融入。文章首先分析高等数学课堂上开展思政教育的特殊意义，随后分析了高等数学课堂上开展思政教育的优势和劣势。在此基础上，分析讨论高等数学课堂上开展思政教育的可行措施。最后，文章结合高等数学上册中一节具体的内容“定积分的应用”，具体展示高等数学课程中引入思政元素的实际效果。

一、高等数学课程开展思政教育的特殊意义

（一）高等数学课堂是绝佳的开展思政教育的场所

高等数学是大部分大学学生进入大学后接触的第一门数学课程，也是涉及专业最多的数学基础课之一。大一的学生的世界观和人生观还在塑造的过程中，在高等数学中，尝试引入“课程思政”元素，对于培养学生的爱国情操，奠定学生思想教育基础，有着非凡的意义。作为数学类的课程，高等数学自身也具有优美的逻辑性和客观性。高等数学的教学中，本身也会贯穿学生逻辑思维和科学素养的塑造。

（二）高等数学课堂自身有开展思政教育的需求

作为一门数学类的基础课，高等数学的内容较为抽象。具体表现为课时紧、内容多、知识难，学生在学习中多有畏难情绪和排斥情绪，经常抱怨“枯燥”“困难”“不知道有什么用”等，不及格率比其它课程也高。对于高等数学来说，如何“上好课”，是一个尤为重要的课题。高等数学课程中引入思政元素，不仅可以对学生进行思想教育，也可以反哺课程本身，将抽象的数学内容具体化，提升学生的学习兴趣，抵消学生对高等数学的抵触情绪。

二、高等数学课程开展思政教育的优势及劣势

相比较其它课程，高等数学课程开展思政教育具有自身的特点。

（一）高等数学课程进行思政教育的劣势

数学是一门理性的科学，是世界客观规律的高度抽象。为了内容的严谨性，数学往往建立在抽象的符号体系上。这就使得数学类课程理论往往比较抽象，与实际生活缺少直接联系，开展思政教育有一定难度。另一方面，高等数学内容非常丰富，每节课的知识密度很高，这也导致高等数学课堂的教学时间更加珍贵，需要授课教师加入思政元素的思路更加变通。

（二）高等数学课堂进行思政教育的优势

高等数学课堂同样也有一些优势。1.授课对象是大一的学生，处于知识接收的新鲜期，学生上课投入的热情和专注度都是很高的；2.大一的学生的价值观还在成形阶段，这个时间思政教育的效果是最好的；3.由于数学是大学考研的必考科目，各专业同学对数学相对重视，高等数学课堂开展思政教育可能有事半功倍的效果；4.大部分的专业高等数学分上下学期，共一学年完成，思政教育比较有连贯性；5.授课对象涉及面积广，有大量的案例方便教学团队进行交叉对比，定期总结，反思效果。

三、高等数学中进行课程思政的方法措施分析

高等数学中的课程思政建设，可以沿着如下几个方面的思路进行：

（一）对接现实，介绍实际应用，让学生体会知识的有用性

高等数学以微积分为主要内容。微积分的内容起源于牛顿、莱布尼兹等伟大的数学家，并直接催生了第二次工业革命，在实际生活生产领域都有着重要的应用。在课堂中适当地介绍内容相关的应用实例，有助于拉近学生和知识的距离，让学生意识到数学内容是实实在在有用的，不是空中楼阁，而是各门课程的重要基础，提高学生的学习兴趣。在传授知识的同时，教育学生重视知识的学习。目前正值中美贸易战升级之际，国家战略有产业升级的需求，对高端人才将会有大量缺口。年轻学子要夯实基础，更好地为祖国建设添砖加瓦。

具体在选择实例的时候，有以下几个思路可以参考：

（1）选择在其它课程或者大学之前数学课上出现过的耳熟能详的结论。例如：在讲解隐函数求导的时候，可以利用它来推导过圆上一点的切线和法线方程，得到“圆上点的法线一定通过圆心”这一在高中数学中熟悉的结论；在讲解一元函数的极值的时候，通过费马最短原理，推导出“光的折射定律”这一物理学中著名的结论；在可降阶微分方程一节中，利用可降阶微分方程的求解方法，推导高中熟悉的匀变速运动的位移公式。

（2）选择其它学科中著名的结论。例如：在导数的定义中，介绍经济学中“边际”的概念，并解释经济学领域经典假设“边际效应递减”的实际意义；在方向导数一节中，利用方向导数介绍测绘领域中著名的等高线的含义；在高斯定理一节中，利用高斯定理推导物理学中著名的电通量和磁通量的关系问题。

（二）讲述科学发展故事，激励同学们刻苦奋斗

从最早欧几里得时代微积分思想的萌芽，到牛顿、莱布尼兹分别独立提出微积分学基本公式，再到贝克莱主教质疑牛顿的“流数术”进而引起第二次数学危机，最后由阿贝尔、柯西、迪利克雷、黎曼、康托等人完善，形成了目前的微积分体系。高等数学整个课程凝结了几代数学家的智慧。在授课过程中，可以穿插介绍相关数学家的生平及在微积分完善过程中做的贡献。进行如下几个方面的思政教育：

（1）告诫同学们青年时代是最容易迸发创新灵感的，鼓励同学们在最华彩的年纪要努力学习，努力奋斗，不应该沉溺于娱乐项目中；

（2）整个微积分学科的发展过程可以称得上是一部波澜壮阔的史诗，期间充满了思想的碰撞，更充满了思想的接力。对于整个过程的把握，也是对同学们一次的精神洗礼，可以培养同学们科学思辨的精神，建立起学生相信科学的信念；

（3）前辈们的成就造福全人类，这种成就不是个人挣钱享受所能比的。引导同学们抵制现在社会上的拜金主义思潮，为了更崇高伟大的理想而奋斗，建立正确的价值取向。

（三）设置特殊数字，挖掘思政元素

在设置例题的时候，可以通过嵌入关键数字的方式，使干巴巴的题目或者知识点和重要的历史巧妙连接起来，数字的选取可以选择在建党史上有重要意义的红色年代。例如：高等数学“定积分的概念”一节中会介绍“奇函数在对称区间上定积分为0”的结论，这个时候可以引入积分案例，巧妙的把中国共产党建党年份或者中华人民共和国成立年份嵌入到学习中。

（四）引入中国古代优秀的数学成就，激发学生的学习兴趣

中国古代有非常丰富的数学成就。从远古时期的商高定理（即勾股定理），到杨辉三角，再到祖冲之计算圆周率，我国数学家很长时间内在数学的一些领域一直处于世界领先地位。直到明末清初，实行闭关锁国政策，数学才逐渐与西方国家拉开距离。在课程中，通过对这些成果的介绍，一方面可以让同学们感受古人的智慧。在跟古人神交的过程中，激发同学们的学习兴趣；另一方面也激发学生的爱国热情，弘扬中国文化，增强学生的民族自豪感、培养学生的爱国情怀，强化学生的文化自信；此外，也可以教育学生，落后就要挨打，近代中国的屈辱史，和我国数学及科学的落后是密切相关的。学好科学，才能更好的建设我们的祖国，让我们的祖国屹立于世界之林，实现中华民族伟大复兴。

（五）从授课知识点出发，挖掘辩证唯物主义哲学的内容

从高等数学的知识点出发，也可以挖掘很多思政元素。例如：在“数列的极限”一节，一个很重要的结论是等比数列的极限存在性，即在|q|＜1时收敛，在|q|＞1时发散。这里最重要的是|q|与1的关系，特别地，我们有。

这个公式告诉我们，每天进步一点点，只要持之以恒，我们一定可以达到我们希望达到的高度；而每天退步一点点，最终我们将一事无成。通过这个简单的公式，可以引导同学们“勿因善小而不为，勿因恶小而为之”的道理，优良品质要从点滴培养，树立良好的生活习惯和价值观。

再例如：“方向导数和梯度”一节，一个重要的结论是“当二元函数z=f(x,y)具有连续偏导数fx(x,y)和fy(x,y)，则f(x,y)沿任何一个方向上的方向导数存在，且可以由fx(x,y)和fy(x,y)线性组合得到”[6]。这体现了毛泽东思想之“矛盾论”中的“主要矛盾”理论，“在复杂事物的发展过程中，有许多的矛盾存在，其中必有一种是主要的矛盾，由于它的存在和发展规定或影响着其他矛盾的存在和发展。”在本例中，只要抓住“两个偏导数”这一主要矛盾，其余的方向导数都可以根据偏导数推出来。

四、具体案例：定积分的应用

本节内容以高等数学上册“定积分的应用”一节为例，逐一对应上一节中的思政设计思路，结合实例分析思政元素引入的效果。

（一）思政点1：微元法与阿基米德

介绍微元法的时候，穿插讲解数学家阿基米德利用“穷竭法”计算抛物线面积的故事，同时介绍阿基米德传奇的一生。穷竭法最早起源于古希腊数学家安提丰，利用穷竭法安提丰尝试精确计算圆的面积，并借此推导圆周率的精确值。这几乎是数学界最早的关于微积分思想的萌芽。利用穷竭法，阿基米德在所著《抛物线求积法》中给出了抛物线弓形面积的定理，即“抛物线弓形的面积，等于对应三角形面积的4/3”。这一结论后来被称为阿基米德定理[7]。

这个案例中体现了如下思政设计思路：

（1）对接现实，介绍实际应用：抛物线是同学们耳熟能详的平面图形，对其弓形面积的计算，能让同学们感觉到定积分学习的实际应用价值。

（2）讲述科学发展故事：通过介绍物理学家阿基米德伟大绚烂的一生，鼓励同学们积极进取，努力学习。

（3）挖掘辩证唯物主义哲学的内容：同学们一般熟知牛顿与莱布尼兹的故事，会认为微积分是近代数学的成果。通过安提丰、阿基米德的例子，让学生们了解到，微积分的萌芽古而有之，是无数数学家思想精华的结晶，是无数人知识积累的过程。微积分的建立不是一蹴而就的，整个过程体现了马克思主义哲学原理中“量变引起质变”的原理。

（二）思政点2：利用微元法推导圆的面积公式

圆的面积公式是同学们耳熟能详的内容，同学们在小学就已经学习过。但是关于圆的面积公式的详细推导，大家掌握的并不好。这里通过微元法，给出圆的面积公式的推导。此外，给同学们介绍各个文明分别在不同时间独立的发现了圆的面积公式的故事。

这个案例中体现了如下的思政元素：

（1）对接现实，介绍实际应用：圆的面积公式是大家在中小学熟知的结论，圆的面积公式的推导体现了微元法的实用价值。

（2）讲述科学发展故事：全球各个文明独立发现圆的面积公式，体现了科学精神的普适性。借此鼓励同学们投身科研，为人类进步做出贡献。

（三）思政点3：立体体积与“祖暅原理”

在“平行截面面积已知的立体的体积”部分，引入“祖暅原理”并介绍祖冲之和祖暅父子的成就和崇高地位。祖暅原理是中国古代著名数学家祖暅提出的，在与其父祖冲之合著的著作《缀术》中，祖暅称“缘幂势既同，则积不容异”。利用祖暅原理，祖暅计算了牟合方盖的体积，进而得到了球体体积的计算公式[8]。事实上，祖暅原理是“定积分的应用”中“计算已知截面面积的立体的体积”的一个特殊推论。值得一提的是，祖暅原理在西方被称为卡瓦列里原理，是17世纪意大利数学家卡瓦列里最先提出来的。而祖暅原理则在公元6世纪就被提出了。

这个案例中用到的思政思路有：

（1）对接现实，介绍实际应用：介绍祖暅原理并推导球体体积公式这一高中时候熟悉的结论，让学生能更深切的体会到高等数学的实用性。（2）引入中国古代优秀的数学成就：通过对比中外对于祖暅原理提出时间，可以极大地激发同学们的爱国热情。勉励同学们要努力奋斗，增强文化自信，为实现中华民族伟大复兴奉献自己的力量。

(四)思政点4：托里拆利喇叭

托里拆利喇叭是数学史上一个很著名的悖论，最早源于数学家、物理学家托里拆利提出的思想实验。托里拆利是著名物理学家伽利略的学生兼学术助手。托里拆利提出，把定义在[1,+∞)的函数图像沿x轴进行旋转，可以得到一个具有无穷长度的立体形状。由于其形状类似喇叭，因此被称为“托里拆利喇叭”。

容易看出，这是一个典型的旋转体。利用微元法，计算出托里拆利喇叭的体积和表面积，由如下两个反常积分计算

图1 托里拆利喇叭

可以发现，该立体拥有有限的体积，但是却拥有无限的面积。这就产生了一个与我们常识不符合的结论：假如一个油漆工要用油漆装满整个托里拆利喇叭，只需要有限的油漆即可；但是如果他想将托里拆利喇叭的表面刷满，则需要无穷的油漆。

这个案例中使用的思政思路是：通过讲解数学史上著名的数学悖论，让学生感受数学发展过程中的思辨精神，培养学生的科学精神，抵制迷信思潮。

五、结语

全面实施课程思政，是目前高等教育界的共识。本文探讨了如何有效地在高等数学课堂中进行带有课程思政元素的课程设计，一方面为了推进高校课程思政建设，另一方面也是为了提升高等数学课程的趣味性、加深学生对于知识的理解，促进学生提升知识并形成自主的思维能力。