不定方程Kx(x+1)(x+2)(x+3)= Dy(y+1)(y+2)(y+3)(x>0,y>0)的解

杨雅琴

(齐齐哈尔大学 理学院，黑龙江 齐齐哈尔 161006)

设K、D是互素的非负整数，且K0,y>0)已有不少研究成果[1-6].文献[2]～[6]分别给出了当K=1,D=33；K=5,D=6；K=1,D=35；K=1,D=13；K=1,D=11时不定方程Kx(x+1)(x+2)(x+3)=Dy(y+1)(y+2)(x+3)(x>0,y>0)的解.本文根据文献[1]中不定方程x2-Dy2=z2(D>0)解的参数形式，给出当K、D是互素的非负整数且K0,y>0)的两种求解公式及相关结果，并给出此类不定方程的求解公式.

设K、D、M是已知的非负整数，K、D互素且K

1 不定方程x2-Dy2=M2解的参数形式

定理1对不定方程x2-Dy2=M2,设D=ab(0≤a

证明设D=ab(0≤a≤b≤D),x>0,y>0,不定方程x2-Dy2=M2可变形为x2-M2=Dy2，有:

x2-M2=(x-M)(x+M)=Dy2=aby2≥0,

则x-M与x+M同号.

因a≤b，所以下面考虑3种情况：a|(x-M),b|(x+M);ab|(x-M);ab|(x+M).

(2)当ab|(x-M)时，存在p∈Z，使得x-M=abp=Dp,x+M=Dp+2M.由

x2-M2=(x-M)(x+M)=Dy2，

(3)当ab|(x+M)时，由于x≥M≥0,则存在q∈Z，使得x+M=abq=Dq,x-M=Dq-2M≥0.由

x2-M2=(x-M)(x+M)=Dy2，

例1求不定方程x2-42y2=12的解.

解因D=42=1×42=2×21=3×14=6×7,M=1.

是不定方程x2-42y2=12的解，有3372-42×522=12.

是不定方程x2-42y2=12的解.

是不定方程x2-42y2=12的解，有132-42×22=12.

是不定方程x2-42y2=12的解.

(2)因D=42，取p=8，使得p(Dp+2M)=8×(42×8+2×1)=522是平方数.则

是不定方程x2-42y2=12的解.

(3)因D=42，取q=-8，使得q(Dq-2M)=(-8)×[42×(-8)-2×1]=522是平方数.则

是不定方程x2-42y2=12的解.

例2求不定方程x2-34y2=332的解.

解因D=34=1×34=2×17.

是不定方程x2-34y2=332的解，有352-34×22=332.

是不定方程x2-34y2=332的解，有8172-34×1402=332.

(2)因D=34，取p=1，使得p(Dp+2M)=1×(34×1+2×33)=100是平方数.则

是不定方程x2-34y2=332的解，有672-34×102=332.

取p=8，使得p(Dp+2M)=8×(34×8+2×33)=522.则

是不定方程x2-34y2=332的解，有3052-34×522=332.

取p=33，使得p(Dp+2M)=33×(34×33+2×33)=1982,则

是不定方程x2-34y2=332的解，有1 1552-34×1982=332.

取p=128，使得p(Dp+2M)=128×(34×128+2×33)=7522.则

是不定方程x2-34y2=332的解，有4 3852-34×7522=332.

(3)因D=34，取q=49，使得q(Dq-2M)=49×(34×49-2×33)=2802.则

是不定方程x2-34y2=332的解，有1 6332-34×2802=332.

2 不定方程Kx(x+1)(x+2)(x+3)=Dy(y+1)(y+2)(y+3)(x>0,y>0)的求解公式

引理4个连续非负整数的乘积加1是平方数.

证明对任意非负整数n,有：

n(n+1)(n+2)(n+3)=n(n+3)(n+1)(n+2)=(n2+3n)(n2+3n+2)= [(n2+3n+1)-1][(n2+3n+1)+1]=(n2+3n+1)2-1，

所以，

n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2.

定理2设K、D是非负整数且K0,y>0)，如果不定方程w2=DKh2+(D-K)2有整数解(w,h)，则满足

的非负整数组(x,y)是不定方程Kx(x+1)(x+2)(x+3)=Dy(y+1)(y+2)(y+3)(x>0,y>0)的解.

证明由引理知，x(x+1)(x+2)(x+3)+1和y(y+1)(y+2)(y+3)+1都是平方数，所以设

u2=x(x+1)(x+2)(x+3)+1，v2=y(y+1)(y+2)(y+3)+1，

则不定方程Kx(x+1)(x+2)(x+3)=Dy(y+1)(y+2)(y+3)可转化为不定方程Ku2+(D-K)=Dv2.

设u=v+h(u,v,h∈Z),有:

Ku2+(D-K)=K(v+h)2+(D-k)=Dv2,

得:

(D-K)v2-2Khv-[Kh2+(D-K)]=0.

则

设w2=DKh2+(D-K)2,当不定方程w2=DKh2+(D-K)2有解(w,h)时，可得:

因u2=x(x+1)(x+2)(x+3)+1和v2=y(y+1)(y+2)(y+3)+1，所以可得:

即

从而得：

例3求不定方程6x(x+1)(x+2)(x+3)=7y(y+1)(y+2)(y+3)(x>0,y>0) 的解.

定理3设K、D是互素非负整数且K0,y>0)，如果不定方程Ku2+(D-K)=Dv2有整数解(u,v)，则满足

的非负整数组(x,y)是不定方程Kx(x+1)(x+2)(x+3)=Dy(y+1)(y+2)(y+3)(x>0,y>0)的解.

证明由引理知，x(x+1)(x+2)(x+3)+1和y(y+1)(y+2)(y+3)+1是平方数.设u2=x(x+1)(x+2)(x+3)+1和v2=y(y+1)(y+2)(y+3)+1，则不定方程Kx(x+1)(x+2)(x+3)=Dy(y+1)(y+2)(y+3)可转化为不定方程Ku2+(D-K)=Dv2.当不定方程Ku2+(D-K)=Dv2有整数解(u,v)时，由

得：

从而得：

例4求不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=34y(y+1)(y+2)(y+3)(x>0,y>0) 的解.

解设D=34，w2=34h2+332.由例2知，不定方程w2-34h2=332的整数解(w,h)为:

再根据定理2，将(w,h)代入公式：

例5求不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=3y(y+1)(y+2)(y+3)(x>0,y>0) 的解.

将(u,v)代入公式：

3 不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=Dy(y+1)(y+2)(y+3)的求解公式

推论1设D是非负整数，对不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=Dy(y+1)(y+2)(y+3)，如不定方程w2-Dh2=(D-1)2有整数解(w,h)，则满足

的非负整数组(x,y)是不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=Dy(y+1)(y+2)(y+3)(x>0,y>0)的解.

证明设K=1.由定理2得，如不定方程w2-Dh2=(D-1)2有整数解(w,h)，则满足

的非负整数组(x,y)是不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=Dy(y+1)(y+2)(y+3)(x>0,y>0)的解.

4不定方程Kx(x+1)(x+2)(x+3)=Dy(y+1)(y+2)(y+3)(x>0,y>0)的求解结果

设x、y是非负整数.

(1) (7,4)是不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=6y(y+1)(y+2)(y+3)的解；

(2) (8,3)是不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=22y(y+1)(y+2)(y+3)的解；

(3) (7,2)是不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=42y(y+1)(y+2)(y+3)的解；

(4) (5,1)是不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=70y(y+1)(y+2)(y+3)的解；

(5) (6,1)是不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=126y(y+1)(y+2)(y+3)的解；

(6) (7,4)是不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=6y(y+1)(y+2)(y+3)的解；

(7) (5,3)是不定方程3x(x+1)(x+2)(x+3)=14y(y+1)(y+2)(y+3)的解；

(8) (7,6)是不定方程3x(x+1)(x+2)(x+3)=5y(y+1)(y+2)(y+3)的解；

(9) 对非负整数D，当D>4时,(D-3,D-4)是不定方程(D-4)x(x+1)(x+2)(x+3)=Dy(y+1)(y+2)(y+3)的解.