2021年全国高中数学联赛一道解三角形试题的多解及推广

叶诚理

(福建省福清第一中学 350300)

何 灯

(福建省福清第三中学 350315)

1 试题分析

2021全国高中数学联赛一试A卷第5题：在△

ABC

中，则△

ABC

的面积为

.本题为解三角形问题，是竞赛中常考的题型，难度与高考相当.题目已知三角形的两边和两边所对角之差，求面积的值，事实上得到的是一个固定的三角形，条件简单直观，属于常规题型.从结果看，△

ABC

面积所以难点是如何运用条件结合正弦或余弦定理、三角形内角和公式，得出与

A

相关的三角函数值，需要考生从方程的角度进行运算、消元、转化，或从图形的角度进行分解、挖掘隐含条件，构建角或边的等量关系.本题入口宽，解法多样，是一道值得欣赏和研究的好题.本文从各种角度进行了一题多解，并对这一类题型的结论作了一般性推广，与读者共享.

2 试题解析

解法1

(公式法1)由正弦定理知又故2sin

C

=sin

C

，即

C

，故tan从而cos又故

评注

本解法通过正弦定理把边

b

,

c

的关系转化成角度

B

,

C

的关系，结合三角形内角和关系，运用三角恒等变换公式，转化成与角

C

相关的三角函数计算问题.

解法2

(公式法2)由得由正弦定理知又因为得故

评注

本解法仍然是通过正弦定理把边的关系转化成角的关系，与解法1不同之处在于通过联立角

A

,

B

,

C

的关系，把角

B

,

C

统一用角

A

表示，从而得到关于角

A

的三角关系式，体现了方程思想在解三角形中的应用.

解法3

(相似法)如图1，在边

AC

上取一点

D

，满足则由得∠

DBA

=

C

，故△

ABD

∽△

ACB

，则有得所以在△

DBC

中，由余弦定理得得因此，

图1

评注

本解法通过添加辅助线将角

B

分解为两个角，从而构造两个相似三角形，再利用余弦定理构建边

a

的方程，实现了面积的转化计算.

解法4

(坐标法)如图2，以

B

为原点、

BC

为

x

轴建立平面直角坐标系，由

AB

=1，

BC

=

a

，设

A

(cos

B

,sin

B

)，又由

AC

=2，得(cos

B

-

a

)+sin

B

=4，有

B

=4，得sin故

S

=sin

图2

评注

本解法通过建立坐标系实现把解三角形问题运用解析几何知识来求解.关键是几何条件代数化，其中，以

B

为原点的好处是可以根据

AB

=1把点

A

看成是单位圆上的点，用角

B

巧设点

A

坐标.利用直线

AC

的斜率表达式，把含边长

a

的关系式转化成角

B

的三角函数，进而通过

AC

距离公式计算sin

B

，最终转化成面积.

3 试题推广

借鉴解法2，我们可以得到本题在一般情况下的结论.

推广

在△

ABC

中，

AB

=

c

，

AC

=

b

，其中

b

>

c

且

B

-

C

=

α

>0，则△

ABC

的面积为

证明

考虑⟹

由正弦定理知又因为得即所以得即那么

4 解题心得

条条大道通罗马，本题解法的多样性让我们感受到数学思维的无限魅力.解题中用到的知识涉及函数、方程、三角函数、平面几何、解析几何等；对一般性结论的推广开阔了我们的视野，揭示了问题的本质.本题集中考查了解三角形问题中考生的抽象概括能力、运算求解能力和创新应用意识；用到的数学思想有函数与方程思想(特别是消元思想)、化归与转化思想、数形结合思想等.本题的一题多解彰显出灵活合理地运用所学知识解决实际问题的能力的重要性，不仅对竞赛生，也对广大高考生具有一定启发意义，即对数学知识的融会贯通、对数学方法的娴熟运用和对数学思想的深刻领会是考场上制胜的关键.