基于SOLO分类理论的学生逻辑推理素养水平研究

苏瑜

摘 要：基于SOLO分类理论，分析2020年江苏省义务教育学业质量监测小学数学测试的数据，从整体情况、具体题目的作答情况透视学生在逻辑推理素养方面存在的问题：整体逻辑推理素养水平不高;有些学生缺乏有效观察数据的视角，有些学生还没有养成逻辑推理的意识，有些学生能做到“归纳”但不能做到推理。对此，提出教学建议：立足逻辑推理的基本形式和规则，重视基础知识的教学，运用恰当的问题引领，引导有逻辑地表达与交流。

关键词：SOLO分类理论;逻辑推理;学业质量监测

2020年，江苏省开展义务教育学生学业质量监测（每两年一次），分层随机抽样了五年级学生（刚升入五年级，考查内容为三、四年级知识），溧阳市37所学校的学生参与了本次监测。本文基于SOLO分类理论，分析这次监测中溧阳市学生数学测试的数据，试图了解本区域学生逻辑推理素养的现状，诊断其发展水平，從而更好地总结和反思教学现状，提出教学建议。

一、 关于“逻辑推理”和“SOLO分类理论”的认识

数学是一门极其重视推理的学科。数学中的公式、定理、法则等都是推理的结果（都有存在的依据）。《逻辑学大辞典》中这样描述：“推理是由一个或一组命题推出另一个命题的思维形式”，其中“逻辑推理是保持真值的推理”。参见：彭漪涟，马钦荣.逻辑学大辞典[Z].上海：上海辞书出版社，2010。《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》也指出，“逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养”。参照两种说法，所谓逻辑，强调的是推理过程中“关系”和“性质”的传递，也就是要有条理、有根据地运用数学语言表达数学思考，而非“正确性”。所谓推理，强调的是“有效”，也就是要推出其他命题或结果。因此，作为高中新课标提出的六大数学核心素养之一的逻辑推理素养，在保证学生思维严谨性的同时，也为学生在数学活动中进行有效交流提供了基本保障。因此，培养学生的逻辑推理素养，在数学教育中占据着十分重要的地位。

逻辑推理活动实质上反映的是学生的逻辑思维水平和理解水平。不同学生的逻辑思维水平是有差异的，而SOLO分类理论对于分析学生的不同逻辑思维水平有着较好的适用性。SOLO分类理论是对皮亚杰认知发展理论的进一步深化和具体化，适用于对学生不同思维水平的诊断和分析。具体而言，SOLO分类理论将学生的思维水平分为五个层次（详见表1）翟凤琦.基于SOLO分类理论的数学逻辑推理素养水平划分研究[D].大连：辽宁师范大学，2019：23。：

从表1可以看出，学生的思维结构会经历一个由简单到复杂的发展过程，具体来说，就是从点、线、面、体到系统的发展过程。思维结构越复杂，思维水平的层次就越高。这五个层次分别代表了学生对某项具体知识掌握的五个水平。从学生对某个问题的回答中，教师可以参照上述标准就学生对该项知识内容的掌握情况作出判断。因此，这种评价方式可以帮助教师诊断教学，同时，也可以向学生提供有效的学习反馈。

二、 基于SOLO分类理论，分析学生的逻辑推理素养表现

（一） 整体分析

本次义务教育学业质量监测试题严格依据课程标准，遵循国际上有关教育质量科学测试的要求而命制，全面呈现“质量”的内涵。本次监测在能力维度上，主要考查学生学习数学过程中表现出来的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等六个素养。图1所示是本区域五年级学生（实际上考查的是四年级学生的水平）在各个素养维度的得分情况（根据学生作答情况，采用项目反应理论模型估计学生的能力分数，转换得到测试标准分数，即量尺分数），下页图2所示是本区域不同群体（本区域参与监测的学校全为公办学校，因此无民办学校数据）学生在逻辑推理素养方面的具体表现。

由这两张图我们可以发现：（1） 本区域学生整体逻辑推理素养水平不高，在六个能力维度中平均得分最低（和数据分析素养相同）;（2） 不同群体学生的逻辑推理素养水平存在差异，城区和乡村学生的逻辑推理素养水平高于镇区学生;（3） 男、女生的逻辑推理素养水平相当。

（二） 测试题分析

我们还进一步分析了本次监测中涉及逻辑推理素养的6道测试题的得分情况（如表2所示）。

首先是试题合理性、均匀度分析。从能力考查维度来看，这6道测试题厘定了合情推理和演绎推理两大关键能力的具体表现。其中，合情推理题有1道题，演绎推理题有5道题。从题型来看，6道题中选择题、填空题、解答题各有2道，整体比例均衡。从课程内容来看，涉及“图形的认识”“常见的量”“测量”“数的运算”等，具有较好的覆盖性，体现了逻辑推理素养的发展贯穿于数学学习过程的理念。

其次是试题难易程度分析。（1） 学生在这6道题上的得分率有明显差异：考查单点结构层次的得分率最高，达84.0%;考查关联结构层次的得分率最低，最低仅有41.0%;考查多点结构层次的得分率处于中间水平。这说明，试题有明显的难易区分度，同时也说明，学生在关联结构水平层次上的思维发展比较薄弱。（2） 合情推理1道题的平均得分率为84.0%，演绎推理5道题的平均得分率低于60.0%。这说明，本区域学生在两大关键能力的发展上有显著差异。

以下通过对3道测试题的具体作答情况，分析学生在逻辑推理素养方面存在的问题。

1. 对试题M4SS161的分析

M4SS161 找规律，在图3中的后两个正方形的空格中填入合适的数。

（1） 试题难度分析

本题旨在考查学生能否发现数的排列规律，属于单点结构层次——从提供的信息来看，无论是横着看还是竖着看，都可以解决问题：横着看加5即可，竖着看加6即可。学生只需要从单个条件出发即可解决，而不需要从多个线索来解决。从得分率达到80.0%以上可以看出，题目难度较低，符合预期。

（2） 学生回答情况

错误作答和没有作答的学生，其思维水平显然处于前结构层次。具体来讲就是，未能从题中所给的数据观察、归纳出简单的规律。只回答正确1空的学生，则非常明显地属于单点结构层次中的较低层次。而全部回答正确的学生，则达到了单点结构及以上的层次。处于多点结构层次的学生，不仅能从一个角度看出规律，还能从多个角度（横着、竖着、斜着）发现规律，但可能只是将各个角度独立处理，没有形成联系。而如果具备了关联结构层次的思维水平，则可以将横着、竖着、斜着等角度联系起来，相互验证，确认答案。

（3） 学习问题诊断

通过以上分析，可以看出，不能正确回答的学生，缺乏有效观察数据的视角，导致未能发现其中的规律。如果学生能正确解读题目中的信息，相信他们都能够发现和归纳出规律。所以，结合这道题的难度与学生的实际归纳水平来综合分析，学生错误的原因不在于不会归纳，而在于不知道从哪些角度觀察和思考。换句话说，试题的表征形式对于部分学生来讲可能存在障碍。

2. 对试题M4SO071的分析

M4SO071 作家格拉德威尔在《异类》中写道：“人们眼中的天才之所以卓越非凡，并非天资超人一等，而是付出了持续不断的努力。”他提出，只要在一个领域持续作出1万小时的努力，就能成为这方面的专家。如果一天练习8小时，练习1万小时需要（  ）年多。

A. 0

B. 2

C. 3

D. 4

（1） 试题难度分析

本题属于关联结构层次，难度比较大。要想正确解答，需要从多个条件出发，思考年、日、时之间的关系，并且能将这些关系建立联系——这个联系的过程实质上就是推理的过程。具体来讲，首先需要知道1年等于多少天、1天等于多少小时;然后，需要根据题目中的条件推理出1万小时包含多少个8小时，也就是相当于多少个练习日（天），再推理出这么多练习日（天）大概是多少年。要得出本题的结论，需要把多个条件建立逻辑联系，并进行逻辑推理。从结果来看，这道题的正确率较低，只有46.3%，符合预期。

（2） 学生回答情况

对于刚升入五年级的学生来说，思维水平达到关联结构层次是一个比较高的要求。所以，学生回答的正确率偏低是在预期之中的。46.3%的学生正确回答，能够达到关联结构层次。7.5%的学生错选了A，因为他们算出1万小时大约是1年多（400多天），即忽视了“一天练习8小时”这个条件，其思维水平极有可能处于单点结构层次。32.6%的学生错选了D，因为他们算出1万小时大约是400多天后，直接凭感觉给出了“400多天大约是4年多”的结论。这部分学生关注了主题或问题，但只使用一个相关线索，就立即跳到结论上去，没有意识到内部可能出现的矛盾，其思维水平主要集中在多点结构层次，或处于关联结构层次的较低层次，导致不能很好地建立联系、展开推理。

（3） 学习问题诊断

根据以上分析及学生实际情况，可以判断，学生的问题在于推理能力不足，有一定比例的学生并没有养成逻辑推理的意识。心理学研究告诉我们，小学中高年级学生的逻辑思维发展，还和感性经验有较大的联系。因而，学生的这种表现可能是心理发展阶段性的体现。

3. 对试题M4SS232的分析

M4SS232 小红每次用两个不同的数字组成两个两位数，并用大数减去小数，她发现差都是9的倍数。例如：

用4和2组成42和24，

42-24=18→18=2×9=（4-2）×9;

用6和1组成61和16，

61-16=45→45=5×9=（6-1）×9;

用7和3组成73和37，

73-37=36→36=4×9=（7-3）×9。

选择两个合适的数字组成两个两位数，填在下面的□里。

□□-□□=3×9=27。

（1） 试题难度分析

本题属于关联结构层次，难度比较大。要想正确理解题意或发现规律，需要建立一系列的联系，即进行一系列的逻辑推理。比如，需要求出两个两位数的差，还要将差和两个数字之差以及9建立联系等。这显然需要学生达到关联结构层次的思维水平。此外，发现规律后还要运用规律解决问题，也要求学生具备从发现规律到运用规律的关联结构层次的思维水平。从结果来看，不到一半的学生做对，难度符合预期。

（2） 学生回答情况

本题有41.0%的学生回答正确，其思维水平可能已达到关联结构层次。而如果学生能将所有答案都填上的话，则其对规律的理解和掌握超出了具体的数字，达到了抽象概括层次。29.9%的学生填写的数字完全没有规律，表明他们和2.6%未作答的学生一样，未能理解题意，处于前结构层次。26.5%的学生发现的规律不全面，有“两个两位数的差是27，但不是自反数”（如图4所示）和“两个两位数是自反数，但差不是27”（如图5所示）两种情况，反映出他们只考虑了各个线索，但未建立正确的联系，未形成有效的逻辑推理，其思维水平处于多点结构层次。

（3） 学习问题诊断

从学生的整体作答情况（特别是从错误的作答）来看，学生的推理能力有所欠缺，特别是较高层次（较为复杂）的推理能力不足。此外，通过这道测试题，我们能看出，有些学生能做到“归纳”，但不能做到“演绎”。

通过上述数据及分析可以发现，本区域学生的逻辑推理素养存在这样一些问题：（1） 整体逻辑推理素养不高，在六大核心素养中处于最低水平;（2） 处于单点结构层次的学生最多，处于关联结构层次的学生最少，处于多点结构层次的学生正值发展时期;（3） 不同层次的学生在逻辑推理素养水平上存在显著差异;（4） 在理解题意、掌握推理基本形式和规则、有逻辑地表达与交流、探索论证过程、发现问题和提出问题等几个维度上，学生之间的水平有一定差异。

依据相关研究，推测影响学生逻辑推理素养及其表现的主要因素有：（1） 儿童身体成熟、心理发展的阶段性;（2） 学生“面对问题”的经验（这是重要动机因素）;（3） 相关基础知识的积累或前一种思维结构水平的发展;（4） 其他的内部因素，如以前的学习策略、工作记忆的容量和信息加工的能力等;（5） 试题本身的表征形式，以及由此带来的学生对内容和背景的熟悉程度等。此外，通过问卷调查发现，学生情感、认知、学习习惯的差异以及教师和教学环境因素都会影响学生的逻辑推理素养水平。

三、 相关教学建议

根据上述分析，我们可以得到一些思考和启示：虽然学生逻辑推理素养的发展表现出了一定的规律，尤其是年龄规律，但是教师仍然要着眼长效目标，把逻辑推理素养的培养渗透在日常的教学中，在学生发展的关键阶段施以合适的引导。对此，提出以下教学建议：

（一） 立足逻辑推理的基本形式和规则

从某种程度上讲，学生的素养能否真正得到发展，取决于教师对教学内容理解与把握的深度与广度，取决于教师是否掌握了逻辑推理的基本形式和规则。教师可以引导学生发现问题情境中的差异性元素，来不断拓展逻辑推理的一般性。以本次监测中的一道测试题为例。

M4SS252 图6中每个小方格的边长表示1cm，像图中这样，从每个图形中分别剪去一个正方形。

（1） 计算每个图形中剩余部分图形的周长，填在表3中。

（2） 照这样，第8个图形中剩余部分图形的周长是（  ）cm。

问题（1）中，填写3个图形的周长是归纳推理的基础依据，学生可以结合具体图形直接数出周长。在此基础上，还需要归纳出前3个图形周长计算的共同点：将不规则图形（剩余图形）转化为规则图形（原来的正方形）后，可以直接用边长乘4求出图形的周长。但是对于图形变化前后周长的算法，学生或许会存在疑问。

问题（2）帮助学生把这一推理拓展到了更为一般的范围。与问题（1）相比，问题（2）从图形、表格表征变成了文字表征，从有序的边长分别为2 cm、3 cm、4 cm的正方形直接跳到了第8个图形。学生需要在前3个图形的基础上，寻找这一组图形排列的第8项是怎样的图形。学生要能通过发现新的共同点，建立新的逻辑关联：第8项是边长为9cm的正方形，按照题目要求操作后，图形前后的变化跟前3个图形一样。这样，就能实现更高层次上的一般化，这是问题（2）希望学生实现的。

在解答问题（1）时，部分学生的思维停留在结合图形直观数出3个图形的周长，即对表面特征的关注上，使得演绎推理没有被触发。只有当学生意识到两个问题内部关系上的相似性——即图形变化前后的周长关系，才能完成演绎推理，才有可能主动把这一思想运用到更多的情境中。

（二） 重視基础知识的教学

思维能力的突破，离不开基础知识的积累。这要求教师不仅要了解学生基础知识的掌握情况，也要在平时的教学中促进学生基础知识的掌握。

要正确解答上述测试题，学生需要有一定的基础知识储备：理解“周长”这一概念，会求不规则图形的周长，会利用公式求正方形的周长。需要有相关的策略储备：会把不规则图形转化为规则图形后计算周长，寻找边长分别是2 cm、3 cm、4 cm……的正方形排列的第8项是边长为多少的正方形。帮助学生扎实掌握基础知识，努力实现思维能力的突破，是数学教育工作者义不容辞的职责。而这样的思想与意识，应该贯穿于日常的教学行为中。因为，逻辑推理素养的培养只有通过扎扎实实的知识积淀，才有可能成长为生动活泼的数学本领。

（三） 运用恰当的问题引领

逻辑推理素养发展过程中一个关键的转换就是由依据事物表面的特征转向依据事物内部的关系或结构，这一点对于数学学习来说格外重要。数学的抽象性使其脱离了事物表面的特征，在更深的层次上将不同事物联系在一起。要促进这种转换的发生，可以通过恰当的问题引领。

对于问题（1），可以引导学生思考：原来图形的周长指什么？剩余图形的周长指什么？这两个图形的周长是否有关系？对于问题（2），可以引导学生思考：图①和图②有什么相似的地方？第8个图形会是一个怎样的图形？合理的问题情境可以培养学生对事物中蕴含的数量关系的关注以及对表面特征背后的数学联系的认识，这正是发展学生的逻辑推理素养所需要的。需要注意的是，教师应该避免给出过多提示，以防题目探索过程价值的丧失。

（四） 引导有逻辑地表达与交流

根据已有研究，学前时期的儿童就已经能够进行简单的演绎推理，但是演绎推理对小学生来说仍然是难点。究其原因，除了推理对象是抽象的数学知识外，数学中的演绎推理往往需要对前提条件进行变换，推理的步骤更多。因此，我们要立足情境素材，突出关系特征，让学生对问题的思考和回答有一定的材料容量，进行有逻辑的表达与交流。

讲评这道题时，师生可以一起归纳总结解题方法，进行有逻辑地表达与交流：我们先进行了纵向观察——分析原来的图形和剪了以后的图形之间的异同;又进行了横向观察——分析几个图形之间的异同……长期坚持范例式积累，可以帮助学生掌握逻辑推理的表达思路，锻炼学生有意识地寻找共性和差异的能力，启发学生不断尝试更高层次上的一般化，从而发展逻辑推理素养。

（苏 瑜，江苏省溧阳市教师发展中心，特级教师。江苏省“333高层次人才培养工程”第三层次培养对象，江苏省“国培计划”授课专家。）