小学生数学关键能力评价模型构建与实践

■ 孙俊勇

长期以来，我们对小学生数学学习的评价（通俗地说，就是考试），常用的方式是纸笔考试，最后的评价结果是一个“分数”或“等级”。人们通常认为：“分数”或“等级”高的学生，数学学得就好。

然而，随着教育进入新时代——推进基于课程标准的教学，促进学生数学核心素养（关键能力）的发展，我们应该用新标准、新要求，去审视旧习惯、旧做法。于是，我们就会发现，原来的小学数学考试，存在着如下两个问题：一是，评价结果反映的并非学生数学关键能力的发展水平。传统的纸笔考试，试题的内容主要是数学知识，考查的是学生对数学“知识”的掌握和应用水平，这种“水平”与数学“关键能力”水平是不一样的。二是，评价结果无法告知更多用以改进教学的有效信息。传统的纸笔考试的结果能够告诉我们什么？即那个“分数”或“等级”能够说明什么？事实是，除了便于排名，我们无法获得更多有利于改进教学的信息。

所以，面对新时代教育发展的需要，我们必须改革传统的小学数学评价方式，构建指向小学生数学关键能力的新型评价模型。

一、小学生数学关键能力的评价内涵及维度

（一）小学生数学关键能力评价的内涵

《普通高中数学课程标准（2017年版）》中指出：数学核心素养是具有数学基本特征的思维品质、关键能力及情感、态度与价值观的综合体现[1]。由此可见，数学关键能力是数学核心素养的重要组成部分。那么，什么是小学生数学关键能力？按照刘晓萍的说法，它是一个比知识和技能包含范围更广的一种稳定的心理结构。作为一个心理学术语，它指潜在于个体身上并通过学习活动所表现出来的个体关键特征，显现于学生学习数学和运用数学的过程之中。[2]

从上述界定中可以延伸得出，数学关键能力具有三大特性：一是核心性。数学关键能力是数学素养的核心组成部分，是数学能力中最核心的能力。二是外显性。数学关键能力是学生在解决数学问题过程中表现出来的，是可以看得见的。三是稳定性。数学关键能力是学生在数学学习过程中形成并表现出来的较为稳定的行为状态。

课程标准是国家课程的基本纲领性文件，是国家对基础教育课程的基本规范和质量要求，是教材编写、教学、评估和考试命题的依据，是国家管理和评价课程的基础。所以，开展基于课程标准的教学和评价研究，是对基层学校和教师的基本要求。于是，重视并解决传统的小学数学评价中存在的问题（本文第一部分），突出小学生数学关键能力的评价研究与实践，就是当前和今后一项非常重要的研究课题。

（二）小学生数学关键能力评价维度

关于小学生数学关键能力的维度及内涵，业界虽无一致性结论，但下列六项能力还是高度认可的。它们分别是数学信息能力、提出问题能力、数学建模能力、逻辑推理能力、数学运算能力、数学表达能力等6个维度。笔者结合文献及自己的实践研究，对它们的内涵作出如下界定。见下表：

表1 小学生数学关键能力维度及内涵一览表

需要说明几点：

1.数学关键能力是一些较上位的、综合性能力，它们需要类似数学抽象、空间想象、思维广度及灵活性、语言运用等“子能力”的支撑。

2.数学关键能力之间存在着主次、交叉的关系，当某项能力为主能力时，其他能力可能成为支撑其表现的“次能力”或“子能力”。

3.强调“提出问题能力”，却没有把“分析并解决问题的能力”作为数学关键能力，一是因为提出问题非常重要，之前的教育教学没有很好地关注学生该能力的发展；二是因为“分析并解决问题的能力”其实就是“数学信息能力”“数学建模能力”“逻辑推理能力”“数学运算能力”“数学表达能力”等多项能力的综合体，由于太过综合，故没有单独列出。

4.强调“数学表达能力”是一种趋势，已经成为业界普遍共识。而“数学表达”的方式更趋多元化，则有利于丰富数学教与学方式的变革。

二、小学生数学关键能力评价模型构建

开展小学生数学关键能力评价，需要遵循如下三步思维逻辑，构建小学生数学六维关键能力评价模型：一是构建评价载体，让小学生表现出数学关键能力的相关行为；二是制定评价标准，根据评价标准厘定小学生数学关键能力的发展水平；三是分析评价结果，为改进教和学提供科学导向。

（一）构建评价载体

评价载体像一面“镜子”，可以“照出”小学生数学关键能力的“样子”。要做到这一点，需要我们精心思考两个问题：一是，六维数学关键能力在相应学段的小学生身上，应该表现出怎样的行为？二是，这些“行为”最适宜的载体（内容、方式）是怎样的？这两个“问题”的相关性越高，构建的评价载体的质量和有效性也就越高。

评价载体与六维数学关键能力的关系，可以是“一对一”，即一个评价任务只着眼于“表现”一维关键能力；也可以是“一对多”，即一个评价任务可以“表现”多维关键能力。

评价载体的类型，可以是纸笔型——以表现学生对数学知识的掌握与简单应用为主；也可以是操作型——以表现学生对数学知识的实际应用能力和创新能力为主；还可以是陈述型——以表现学生对问题解决过程中的内在思维为主，等等。

（二）制定评价标准

评价标准像一把“尺子”，可以“测量”小学生数学关键能力的“高低”。要做到这一点，需要我们用心做好两件事：一是结合具体评价载体，准确描述该载体中各维度数学关键能力的表现特征；二是以学生群体表现为参照，区分界定各维度数学关键能力不同水平的表现特征。

评价标准不应只是教师用来评价学生的工具，更应该是学生用来进行自我评价的工具。学生对评价标准应有知情权。

于是，评价标准的内容及陈述方式就需要格外注意，要从小学生的接受度出发，采取具体的、生动的、简明的方式。总之，要采取小学生“一看就懂”的方式去呈现评价标准，让评价标准这把“尺子”走进小学生的心里去。

（三）分析评价结果

评价结果像一束“光谱”，可以“折射”学校以及小学生数学关键能力的“色彩”。要实现这一点，需要我们精心做好两件事：一是要整理学生群体以及学生个体数学关键能力的多元信息，比如：总平均分、各维度关键能力平均分、总平均分排名、各维度关键能力平均分排名等；二是做好对这些信息的分析工作，解读信息背后包含的意义，从而为改进学校教学、促进学生发展开出“药方”。

要牢固树立多元关键能力评价观，转变传统的用一个“分数或等级”作为评价结果的观念和做法，通过分析评价结果，为学校和学生个体发展进行“体检”。

分析评价结果，不仅要区分关键能力的强弱属性，即回答好下面的两个问题：学生群体和个体在哪些关键能力上发展得比较好——强势能力？在哪些关键能力上发展得比较差——弱势能力？还要针对弱势能力，为学校和学生个体提出具体可行的发展建议。

三、小学生数学关键能力的评价路径

下面结合两个四年级的评价案例，分析小学生数学关键能力的评价路径。

（一）构建评价载体

怎样让学生表现出数学关键能力的相关行为？这就需要给学生提供相应的评价载体。这种评价载体与传统的考试题目有什么不同？下面举例说明。

例1：买门票

又到周末了，妈妈对刘星说：“明天，我们要去森林公园游玩。”刘星一听要去森林公园游玩，可乐坏了。妈妈说：“我们一共有9个大人，3个小孩。”

?

如果你是其中的一员，怎样购票最节约？写出你的结论，并阐述你的理由。（结论正确，理由充分，总分20分。）

例2：淘气狗

小明、小丽是好朋友，小明有一只小狗，小丽也非常喜欢这只小狗。一天，两人从相距1000 米的两地同时相向而行,小明每分钟走60米,小丽每分钟走40米。小明和他的小狗同时出发,小狗每分钟跑200米,遇到小丽后立刻返回去找小明,遇到小明后又立即返回去找小丽,如此往返直到两人相遇为止。

1.你能算出这只淘气的小狗一共跑了多少米吗？（思路严谨、计算正确，总分10分）

2.除了问题1，你还能提出哪些问题？怎么解决这些问题？只列式不计算。（能够提出至少2个问题，并正确地列出算式。总分10分）

上述评价载体，体现出如下四个共同的特点：一是，问题情境紧密联系现实生活，关联学生生活经验；二是，每个问题都包含较大的阅读量，需要学生自主获取并整理数学信息；三是，每个问题都不是平日熟悉的“老问题”，不能凭借记忆去解决，而必须独立进行思考和分析才能理出头绪的“新问题”；四是，每个问题都强调外显学生的数学思维、核心观点以及策略方法，这些都是学生多种数学关键能力的“行为表现”。

（二）制定评价标准

每个评价载体都有要考核的关键能力，有时是“一对一”，有时是“一对多”。把要考核的每个维度的关键能力，在该评价载体中的主要“表现”描述出来，并根据能力的重要性赋值，就构成了该评价载体的评价标准。

例1的评价标准如下：

能力维度 能力表现 分值数学建模能力 能够提出三种购票方案，并能用正确的算式表达每种方案。 8数学运算能力 能够正确计算出三种购买方案的结果。 6数学表达能力 思维严谨，表达清楚，结论正确，书写认真。 6

例2第1小题的评价标准如下：

能力维度 能力表现 分值逻辑推理能力能够从甲、乙两人和狗都是同时出发同时相遇，明确甲、乙相遇的时间和狗一共跑的时间相同。4数学建模能力 能够把小狗奔跑的距离问题转化成“速度×时间=距离”的数学问题。 3数学运算能力 列式、计算正确，表达无误。 3

例2第2小题的评价标准如下：

能力维度 能力表现 分值发现并提出问题的能力能够合理地选择并组织相关信息，正确地提出数学问题。 5数学建模能力 能够根据信息与问题的关系，列出正确的算式表达出问题解决的模型。 5

（三）分析评价结果

对小学生数学六维关键能力评价结果的分析，可以分为学生群体（学校）和学生个体两个层面进行。

1.学生群体（学校）

通过对学生群体（学校）数学六维关键能力评价结果的分析，可以明确：学校数学教学工作在哪些方面是好的？——即哪些维度关键能力发展得好；在哪些方面是有问题的？——即哪些维度关键能力发展得不够，从而为学校数学教学工作提供“发展参谋”。

比如：在由7个学校（可以任意多个）构成的一个评价样本中（见下图），选出2号学校进行分析。

图1 2号学校各项能力排名

2号学校的“数学运算”“数学表达”是强势能力（均排名第一）；“数学建模”“提出问题”和“数学信息”处于中游水平（分别排名第三、第三和第四）；而“逻辑推理”则相对较弱（排名第五）。所以，2号学校应该：总结两项强势能力的教学举措，把这些举措进行深化和保持；在3项中游能力领域，需要分析与之相关的教学举措中，哪些举措是有问题的，需要对它们进行改进，并在后面的实践中重点进行考查和反馈。对于“改进”效果显著的举措进行巩固和推广，反之，则进一步进行改进和提升；而对于弱势能力，就需要学校高度关注，进行专题诊断：深入分析问题的根源，尽快拿出问题整改方案，集中力量进行教学改进。

2.学生个体

通过对学生个体数学六维关键能力评价结果的分析，可以明确：该生哪些维度的数学关键能力发展得好？——即强势能力有哪些；哪些维度的数学关键能力发展得不好？——即弱势能力有哪些。这相当于为学生个体的数学学习进行“学习体检”。在此基础上，给学生个体的数学学习提供针对性的发展建议。

比如：以5号学校的一个班为评价样本（见下图），从中选取总分排名上（第4名）、中（第21名）、下（第43名）的三名学生进行分析。

图2 实验班5号学校第4名学生各项能力排名

第4名学生：该生属于班级的“尖子生”。但在六维关键能力视域下，他并非无懈可击。他的强势能力分别为“数学建模”“数学运算”和“提出问题”（均排名第1）；中游能力为“数学表达”（排名第9）；弱势能力为“数学信息”（排名第20）。说明：尖子生也有自己的“软肋”。那么，对于该生，他今后需要提升“数学表达”能力，特别是“数学信息”能力。要在老师的帮助下，深刻剖析自己两项能力不足的主要原因，进行有针对性的专项训练。

第21名学生：该生属于班级的“中间生”。在六维关键能力视域下，他的各维能力发展状况分别为：强势能力——“提出问题”（排名第1）、“数学运算”（排名第13）；中游能力——“数学表达”（排名第19）、“数学建模”（排名第21）；弱势能力——“数学信息”（排名第32）、“逻辑推理”（排名第36）。说明：中间生也有自己的骄傲与警惕。那么，对于该生，他今后需要继续保持两项强势能力，提升两项中游能力，反思两项弱势能力，让自己的学习拥有更明确的方向。

图3 实验班5号学校第21名学生各项能力排名

图4 实验班5号学校第43名学生各项能力排名

第43名学生：该生属于班级的“学困生”。在六维关键能力视域下，他的各维能力发展状况分别为：中游能力——“逻辑推理”（排名第20）、“提出问题”（排名第26）、“数学表达”（排名第28）；弱势能力——“数学信息”（排名第32）、“数学运算”（排名第37）、“数学建模”（排名第44）。说明：学困生也不是一无是处，也有发展的潜力。所以，该生不要悲观堕落、自暴自弃，要从三项中游能力上面，提升学习的信心，进一步巩固和提升三项中游能力；对于三项弱势能力，要逐项剖析自身存在的主要原因，搞清楚每项关键能力的突破措施，制订计划，持之以恒，积极投身到改进提高弱势能力的行动中去。