从“价值”入手学习“数对”

周维娜

“位置”的内容属于“图形与几何”领域，是对应学段目标“探索一些图形的位置关系，了解确定物体位置的方法”的要求而设计编排的，是数学课程改革新增的内容，主要学习在具体情境中根据行与列这两个因素确定物体的位置，继而学习用数对表示具体情境中物体的位置，同时学会在方格纸上根据数对确定物体的位置。这一内容的学习是基于生活实际与现实的需要，以学生的学习经验为抓手，培养学生的空间观念，同时为沟通六年级上册“位置与方向”及第三学段“图形与坐标”的学习打下良好的基础。

一、课前追问、整理与思考

（一）课前追问

学生在日常生活中已有丰富的用数表示位置的经验，而且第几排第几个、第几列第几行已经够简洁了，也能确定位置，那么为什么还要引入用数对确定位置呢？这种经验对学习数对是一种促进还是干扰？教学中，经常用“哪种表示法比较简洁”“还有更简洁的表示方法吗”引入数对，强调用数对表示位置的简洁性。从学生的思维角度看，真的是这样吗？在平面图和现实空间中确定位置，哪个更重要呢？

（二）整理与思考

1.学习用数对确定位置是数学内部发展的需求

2011年版课标对“位置”教学做了如下规定：

在具体情境中，能在方格纸上用数对（限于正整数）表示位置，知道数对与方格纸上点的对应。例如：小青坐在教室的第3行第4列，请用数对表示，并在方格纸上描出来。在同样的规则下，小明坐在教室的第1行第3列应当怎样表示？

【说明】需要先在方格纸上标明正整数刻度，希望学生能够把握数对与方格纸上点（行列或者列行）的对应关系，并且知道不同的数对之间可以进行比较。这個过程有利于学生将来直观理解直角坐标系。

按照2011年版课标的要求，其教学目标主要不在于用“数对”找位置，而是要为日后的平面直角坐标系提供直观的认识，用数对分析几何图形，为“数”与图形中的“点”架起一座桥梁。可见学习数对确定位置不是为了解决生活问题，而是数学内部发展的需求：建立平面直角坐标系，在平面内描述点的位置。

2.日常生活经验会干扰学生用数对表示位置

数对这一内容的学习是基于生活实际与现实沟通的需要，以学生的学习经验为抓手。数对是一个整体，是有序的、不可调换的。学生用数对表示位置时，首先，要克服自己已有生活经验的负迁移；其次，要理顺数对表示位置的有序性：从左往右观察第几列，从下往上观察第几行。而现实教室空间中描述位置的规定又和平面图上不一样。现实空间中遵循方便原则，只要大家都明白，“数”与“位置”就建立了一一对应的关系。可见学生的现实经验和现实空间情境给学生造成了一定的干扰。数对表示位置的简单、简洁，只是书写上的简单、简洁，对初学的学生来说在思维上反而更复杂。

3.平面图上确定位置是学习重点

2011年版课标中说明，学习“有序数对”的目的是“为进一步学习平面直角坐标系做好铺垫”。也就是说，“有序数对”的价值更多地体现在表示平面中点的位置。在实际的教室中，学生用第几排第几个完全能说得清楚，为什么非要用数对表示位置呢？鉴于此，我们不能花大量时间在现实空间实际教室中学习用数对确定某位同学的位置，在平面图上确定位置才是学习的重点。

那么要不要适当在实际教室中确定位置呢？我觉得是有必要的。现实教室中确定同学的位置，观察方向和平面图上不同，为了能正向引导学生在平面图上用数对确定位置，不受现实教室的干扰，教学中，有必要经历将平面图转化为现实空间、将现实空间转化为平面图的过程。如果只是在平面图上用数对确定某个点的位置，形式单一，学生会觉得枯燥，会降低学习的兴趣和积极性。

二、教学实践思考

基于上述课前追问、整理与思考，我从数对本身的特性、价值入手进行了课堂教学实践。

（一）经历数对表示位置的统一性、结构性和唯一性

1.自主建构用数对确定位置：体会数对的统一性、结构性

用数对确定位置，更为重要的是：数对表示方法的统一性、结构性。也就是说，所有人都这样表示，不会产生分歧和异议，便于沟通和交流。在课堂教学中，如何体现这种统一性和结构性呢？主要通过“激发生活经验，制造矛盾冲突，加入统一规定，引入数对表示，介绍数对各部分组成”实现。

对在生活中已具有一定找位置经验的五年级学生来说，本节内容没有太大难度。那么为什么要安排学生自主探索呢？因为学生在生活中已经能用“第几”描述物体的位置，还经历了类似用“第几排第几个”的方法找到物体的位置，如教室里的座位、电影院的座位等，已初步积累了在二维空间中用2个数表示位置的经验。为了不让学生的生活经验对数对学习造成干扰，教学时，充分肯定、利用学生的这些已有经验，同时让每个学生感受到：如果每个人都用自己的经验、自己的标准确定位置，每一次都需要做说明，若不说明别人不一定看得懂。此时，学生的数学学习经验被调出来：这样不方便沟通和交流，需要做统一规定。这个统一规定是怎样的？

2.多种形式体会数对的唯一性

用数对确定位置的本质是数与点的一一对应性：一个具体的有序数对只能表示一个位置，平面内的任意一个点都可以用一个有序数对表示。课堂教学中，如何让学生体会这种一一对应的唯一性呢？我是通过三个层次的任务设计实现的。

任务设计1：游戏形式体会数对的唯一性。

师：我们玩一个难度大一点儿的。周老师写一个数对，请符合的同学站起来。

数对（3，x）让第3列的学生站起来，数对（x，4）让第4行的学生站起来，而数对（5，4）只让1个学生站起来。通过这样的游戏形式，学生感受到同列数对只确定了列数，行数不确定；同行数对只确定了行数，列数不确定，所以数对（3，x）、（x，4）可以表示多个学生的位置，又由于现实班级人数原因，这里的x不能表示任意数，只是正整数，还是有范围的，是根据现实中教室座位确定的。数对（5，4）是列数、行数都确定的具体的数对，它只能确定1个学生的位置。一个有序数对确定位置的唯一性通过游戏形式在不知不觉中完成。

任务设计2：体会数对和点一一对应。

师：请用数对写出自己的位置。

反馈时，指明学生到黑板上点着图汇报。

层次反馈：

第一层次：直接能在方格图上找到；

第二层次：在方格图上找不到自己的位置，需要扩大方格图。

这幅座位图故意不按班级实际人数设计。如果班里学生正好40人，我会追问：班里又来了1个同学，坐在数对（5，6），你能找到他的位置吗？如果班里学生超出了40人，肯定有学生不能直接找到自己的位置。这时，引发学生思考：我的座位还能在这幅座位图上找到吗？如果可以，怎么确定呢？增加1行，扩大方格图，就可以找到自己的位置。看来，表示位置的数对都可以在方格图上找到对应的位置，如果方格图不够，就增加行或列扩大方格图，埋下一个有序数对表示位置唯一性的种子。

任务设计3：体会点和数对一一对应。

“平面内任意一个点都可以用数对表示”看起来挺深奥的，不容易理解。“如果点在方格外，你怎么确定它的位置”？这么一问，学生想起来可以增加行或列，扩大方格图，这样点就能用数对表示。如果点在方格图的左下方，其实也是增加行或列，只是增加的是-1这行、-2这行或-1这列、-2这列而已。小学阶段“用数对确定位置”只表示第一象限，现在扩展到四个象限都有，初步建立了平面直角坐标系。尽管这个环节考试时不会考，和学生的成绩也无关，但是我觉得非常有必要，符合學生的学习认知。既然方格上的点都可以用数对表示位置，那方格外的点呢？这是学生自然会想到的问题，所以不妨拿出来讨论一下。同时让学生更好地体会到：平面内的任意一个点都可以和一个有序数对一一对应，更好地体会数对的唯一性。

用“数对确定位置的方法”是人为规定的，但是这种“人为规定性”方法方便沟通和交流，给我们带来便利，更为重要的是体会到这种表示法的价值。

（二）经历抽象化过程，初步体会直角坐标思想

用“数对确定位置”的学习重点是在平面内描述点的位置，而“平面图”是需要逐级抽象的，在这个抽象的过程中，让学生初步体会直角坐标思想。

数对其实就是坐标的原型，是点的位置的抽象。因此，从座位图引入数对后，及时把座位图抽象成点子图。

任务设计：

师：为了看得更清楚，我们可以把全班学生的座位用一个个小圆点表示。

确定学生的位置，其实质是：把学生的位置看成一个点，在平面图上确定点的位置。以学生座位表为依托，引入数对表示位置的过程中，具体的学生座位平面图已具有直角坐标系的雏形，此时用小圆点表示学生的座位，从具体的座位平面图中抽象出点子图，学生是可以接受的。这样可以避免生活经验干扰学生用数对确定位置，更多的是从统一规定出发确定点的位置，更接近学习数对的本质：在平面图上确定点的位置，同时为后面“0”起点的方格图做了必要的铺垫。

（三）经历分析数对，体会数对的价值

为什么要在平面内描述点的位置呢？为什么要建立“数对”和格点之间的一一对应关系呢？2011年版课标给出的答案是：为了以后建立坐标系，数形结合，用“数”表示几何对象，研究直线和曲线。课堂教学中，让学生经历数形结合、位置关系推导、分析数对等过程，发展学生的空间观念，进一步认识到学习数对的价值。

如列数相同的数对如（6，x）表示竖着的直线，行数相同的数对如（x，6）表示横着的直线。根据数对的某种特性，在几何上可以表示许多不同的直线，此时可以想象，学生内心的震动是非常强烈的。

任务设计：以AB边为底，顶点C与顶点A、B组成等腰三角形，想一想，顶点C会在哪儿移动呢？把你找的点连接起来，说说你发现了什么。

找顶点C的过程中，有的学生只是零散地找到顶点C的位置；有的学生顶点C（正整数点）都找到了，还主动排除了数对（6，3）；还有的学生发现（6，0）、（6，1）、（6，2）、（6，4）、（6，5）、（6，6）、（6，7）、（6，8）这些数对都是第6列，但是行数不同，可以用数对（6，x）表示，把这些点连接起来是一条竖着的直线，不过学生心中x代表的数是1、2、4、5、6、7、8。这时，教师可以指着图上“x=1.5、9、-1”的点追问：顶点C在这里可以吗？学生发现也可以，思路被打开，x可以表示除3外的任何数，也知道数对（6，x）表示顶点C在第6列这条竖着的直线上移动。

尽管当顶点C在方格外时或者表示类似数对（6，1.5）这样的点时，学生理解起来有一定的难度；尽管学生的理解反馈层次不一，但是不影响学生更进一步认识、体会数对的价值：当列数确定、行数不确定时，数对表示竖着放的直线；数对可以表示点的移动，数和图形建立起联系。

学习用数对确定位置的价值，绝不仅仅是为了确定生活中诸如公园景点、教室中某个学生的位置确定等问题，更为重要的是体会这种“表示”的价值。数对是人为规定的，具有结构性、统一性和唯一性；在经历抽象化的过程中，初步感知平面直角坐标系的思想和方法；数对可以用来分析图形。可见，数对本身的“特性”“价值”是“用数对确定位置”这节课的“魂”。