考虑变有效载荷的机械臂自适应PID控制*

丁荣乐,侯 旋,孙文建,3

(1.南京机电职业技术学院 自动化系,江苏 南京 211306;2.运城职业技术大学 印刷工程系,山西 运城 044000;3.太原理工大学 机械与运载工程学院,山西 太原 030024)

0 引 言

机械臂作为重要的末端执行器,在自动化装配、搬运、焊接等领域得到了广泛的应用[1]。在实际工程中,尤其是在执行物料搬运等任务时,机械臂的有效载荷往往随时间变化。因此,研究变有效载荷条件下,机械臂的高效、鲁棒控制方法具有重要意义[2,3]。

机械臂系统具有高非线性、强耦合性的特征。当考虑变有效载荷条件时,其动力学行为会发生显著改变,控制复杂度高。

由于结构简单,增益系数含义明确,PID控制在工业控制过程中得到了广泛应用。但是,对于非线性受控对象而言,传统的PID控制的控制效果较差[4]。目前,已有研究人员将PID控制与模糊逻辑、最优控制以及神经网络等技术相结合,以实现对机械臂末端轨迹进行精确控制[5-7]。

然而,上述方法通常需要机械臂的精确动力学模型,且其实施过程复杂,会在很大程度上削弱PID控制在结构简单性和模型独立性方面的优势,因而其难以在实际工程中得到有效利用。

同时,针对变有效载荷条件下的机械臂精确控制问题,研究人员也已提出了相应的自适应PID控制方法,以克服传统PID由于增益系数恒定而产生的控制性能劣化问题。

ZHANG D等人[8]4-6研究了基于模型参考自适应(model reference adaptive control,MRAC)的PID控制(PID+MRAC);但其需要采用自适应算法对机器人动力学响应进行估计,因而增加了其对控制结构和计算的复杂性,降低了其自适应的速率。KUMAR V等人[9]研究了基于分数阶算子的模糊PID控制方法;但模糊PID规则复杂,需要依靠专家经验,且其分数阶算子摒弃了PID控制的标准形式,因而也不利于工程应用。

可见,在变有效载荷情况下,采用具有恒定增益的传统PID方法的控制性能较差,而已有的多数自适应PID方法又存在实现困难的问题。为此,学术界提出了基于时延控制(TDC)的机械臂PID增益确定方法。

CHANG P H等人[10]研究了经典TDC和标准PID控制之间的等价关系,完成了对PID控制增益的高效选择;然而,在有效载荷变化较大的情况下,由于恒定增益PID控制存在局限性,导致该方法的控制精度明显下降。LEE J Y等人[11]研究了具有非线性阻尼项的TDC,并推导出了具有可变增益的PID控制方法;然而,阻尼项旨在解决非线性摩擦问题,并不适用于对有效载荷变化条件下的机械臂进行控制。JIN M等人[12]研究了PID控制的自动增益整定方法,并将其自适应规则和TDC技术相结合;然而,该方法并未考虑有效载荷的显著变化情况。

综上所述,针对变有效载荷条件下的机械臂鲁棒控制问题,笔者提出一种全新的自适应PID控制器,即首先建立变有效载荷条件下的n自由度(n-DOF)机械臂动力学模型;然后基于该模型,利用PID与TDC的等价关系,构建其自适应PID控制律,通过参数匹配确定PID控制器中相应的增益系数,并利用Lyapunov方法证明所提控制策略对于变有效载荷条件的鲁棒性;最后,利用仿真分析和物理实验,对所提方法的有效性进行验证。

1 变有效载荷条件下机械臂动力学模型

n-DOF机械臂动力学模型可表示为[13]:

(1)

在考虑有效载荷变化的情况下,笔者建立各关节驱动电机的动力学方程如下:

(2)

式中:下标“m”,“l”,“p”—电机、连杆及有效载荷的表征符号;I—转动惯量;Nratio—传动比;m—质量;g—重力加速度;l—连杆长度;Ff—摩擦项。

由于有效载荷的变化直接反映在转动惯量的变化中,并通过Nratio传输到τm,当末端执行器的实际惯性矩增加,或当Nratio减小时,考虑有效载荷的变化对于关节驱动电机的控制尤为重要。

此外,Ip是其自身关节以及其他关节的非线性函数,因此进一步增加了恒定增益PID控制处理大量有效载荷变化的难度。尽管经典PID控制中的各增益具有明确的物理意义,但通常会采用试错法将三者调整为恒定值。因此,在考虑有效载荷显著变化的前提下,自适应地确定上述各增益,是提高PID控制有效性的关键。

2 自适应PID控制器设计

在离散域中,PID控制和TDC之间存在等价关系,笔者基于该关系导出自适应PID控制律。

2.1 离散域中PID与TDC的等价性

离散域中的PID增量(速度)算法可表示为[14]3-4:

(3)

式中:下标“k”—离散时间指标;L—采样时间;K—n阶维比例增益矩阵;TD,TI—n阶微分、积分时间矩阵;e—n维关节位置误差向量,e=qd-q;qd—n维关节期望位置向量。

LEE J Y等人[15]提出了一种自适应时延控制(TDC)方法,并证明其能够充分应对显著的有效载荷变化。

TDC的离散形式如下:

(4)

(5)

(6)

对比式(5,6)可以看出,除某些参数不同外,两者具有完全相同的功能结构。因此,可通过参数集匹配使得上述两种控制律等效。

2.2 自适应PID控制方法

将式(5,6)中的参数进行匹配,可立即导出所需的PID增益,即:

(7)

(8)

(9)

图1 由式(7)及式(8)确定的闭环系统

(10)

其中:

ΔK(s)≜K(s)-K-≥0

(11)

笔者提出的控制律(10)可分为两部分:(1)名义PID控制,其实质为一个恒定增益的PID控制;(2)补偿有效载荷变化的自适应PID控制,其中,ΔK随着有效载荷的显著变化而进行自适应变化。

该PID控制的优势在于:

(1)基于式(7),该方法继承了TDC方法的无模型特性以及对有效载荷变化的鲁棒性,无需对机械臂动力学和有效载荷进行任何计算;

(2)由于保持了经典PID控制的结构,该PID控制可以应用于现有的PID控制器中。

为便于实际应用,该自适应PID控制的参数整定过程需要满足如下条件:

(1)PID增益TD和TI由误差动力学公式确定,即:

(12)

(2)采样周期L由控制硬件的计算能力决定,L越小,控制性能越好。由于L必须为常数,可以保证式(7);

(4)在无有效载荷情况下,仅需对参数αii进行试错调节,参数从一个较小的正值开始增大,直到系统出现振荡。

在实际工业控制过程中,可使用腕部传感器对机械臂有效载荷是否存在及其变化情况进行监测。当有效载荷变化时,需要将自适应增益和控制输入重置为初始值。

2.3 自适应PID控制方法稳定性验证

由于该自适应PID控制与自适应TDC相同,要采用等效方法对此进行证明。首先,笔者结合式(9),将闭环系统动力学方程重写为:

(13)

引入Lyapunov候选函数V为:

(14)

其中:

(15)

且当si和ΔKii非零时,有V>0。

取V的时间导数,并将式(5,6,13)代入,得到:

(16)

(17)

3 仿真分析与实验验证

3.1 仿真分析

为验证该控制方法在机械臂有效载荷显著变化时的自适应性能,笔者首先采用单自由度机械臂进行仿真分析。

Nratio=1的单自由度机械臂简图如图2所示。

图2 Nratio=1的单自由度机械臂简图

图2中,笔者设定系统所涉及的动力学参数值为:连杆质量ml=1.0 kg,l=1.0 m,g=9.8 m/s2,黏性摩擦系数fV=10.0 N·m·s,库仑摩擦系数fC=10.0 N·m。

机械臂的期望运行轨迹如图3所示。

图3 机械臂期望运行轨迹

由上述参数可得出跟踪误差动力学方程为:

(18)

在采样周期L=2 ms的条件下,笔者利用跟踪误差的均方根值来表征其跟踪精度。

该案例中,有效载荷mp的变化规律为:0～20 s内为0 kg,20 s时变为5 kg,40 s时变为1 kg,60 s时变为3 kg;并假设有效载荷的变化由腕部传感器检测,以便识别其瞬时变化。

笔者将该方法与两种具有恒定增益的PID控制方法进行比较:第一种为经典PID控制PIDconventional,其增益在无有效载荷变化的情况下通过试错方法进行调整;第二种为PIDretuned,通过将PIDconventional和所提方法进行比较,修改了PIDconventional的增益K和TD。

在本例中,PIDconventional的增益分别为K=70 000,TD=0.1,TI=0.2;而PIDretuned的增益分别为K=149 600,TD=0.05,TI=0.2。

该方法的自适应增益K及变量s的变化曲线如图4所示。

图4 所提方法的自适应增益K及变量s的变化曲线

图4(a)中,当机械臂有效载荷分别在20 s、40 s、60 s处发生变化时,增益K对应进行自适应变化;同时,在图4(c)中,根据式(7～9),增益K的自适应调节源于变量s的“驱动”。在本例中,即图4(b)中,K的自适应时间约为0.2 s。

该方法与PIDconventional及PIDretuned的控制效果对比如图5所示。

图5 所提方法与PIDconventional及PIDretuned的控制效果对比

图5(a)中,该方法的增益K依据有效负载变化而进行自适应变化,而PIDconventional和PIDretuned的增益为恒定值;

图5(b)中,经过自适应过程,该PID控制具有更加优良的跟踪精度。此外,该方法的控制误差在有效载荷变化瞬间具有较大的跳跃,这是由于自适应过程的初始化所导致,而初始化对于以自适应过程的速率和稳定性是必要的[17]。

进一步,笔者将所提方法与带MRAC的PID控制(PID+MRAC)进行对比。

在PID+MRAC中,笔者设置参考模型为100/(j2+20j+100),其中:j是拉普拉斯变量,PID增益分别为K=40、TD=0.05以及TI=4;MRAC的参数设置为Cv=20、Cp=100、Fv=20、Fp=100,自适应增益γ=8 000。

该方法与PID+MARC的控制效果对比如图6所示。

图6 所提方法与PID+MRAC的控制效果对比

图6中,在有效载荷变化条件下,尽管PID+MRAC也可保证其鲁棒性,但其跟踪误差该方法明显增大;同时,其瞬态相应相较于该方法过于缓慢,且在0 s时出现了较大幅度的振荡。

最后,笔者将该方法分别与文献[18]中的BP-神经网络PID(BP-PID)及文献[19]中的模糊PID(F-PID)控制方法进行对比。

对于BP神经网络PID控制[20],网络采用3-5-3型结构,输入节点分别为跟踪误差、超调量及调节时间,传递函数为tansig函数,输出节点为PID控制器的比例分量、积分时间、微分时间的单次调整量;

对于模糊PID控制,将关节位置误差与误差变化量(输入参数)、以及PID控制器3个增益(输出参数)量化至论域{-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6},论域和模糊子集相对应,用负大[NB]、负中[NM]、负小[NS]、零[ZO]、正小[PS]、正中[PM]、正大[PB]等7个档次的语言变量值进行表达,输入量和输出量的隶属度函数均选择为高斯函数。

该方法与BP-PID及F-PID控制器的控制效果对比如图7所示。

图7 所提方法与BP-PID及F-PID控制器的控制效果对比

由图7可以看出:在有效载荷发生较大变化条件下,由于BP-PID的梯度下降算法和数据及网络结构的依赖性,以及F-PID在隶属度函数及模糊准则方面的经验性依赖等缺陷,相较于BP-PID及F-PID,该方法在跟踪精度与位置误差收敛速度方面均有较大优势。

上述各方法的控制效果定量对比如表1所示。

表1 上述各方法的控制效果定量对比(×10-3deg)

综上所述,自适应PID控制方法的自适应速率较快,且一旦完成增益确定过程,其控制效果更为优良;同时,即使有效载荷发生显著变化,自适应PID控制的跟踪精度依然保持不变。

3.2 实验验证

为进一步验证该方法的实际应用效果,笔者利用了相应的实验设备,模拟实际工程中的有效载荷变化条件。

笔者选择WAM机械臂作为研究对象,其具有低传动比特性,机械臂末端装载有机械手(0.94 kg)和一支球棒(1.06 kg),并配有2 kg的有效载荷。

实验装置简图如图8所示。

图8 实验装置简图

图8中,机械臂关节J1～J3的传动比分别为42.0 ∶1、28.25 ∶1和18.0 ∶1,2 kg的点质量有效载荷可使关节J3的惯性增加59.4%,1.06 kg的球棒可使关节J3的惯性增加124.4%,球棒和点质量载荷的引入使得机械臂的有效载荷发生大幅度变动;机械臂关节电机由Barrett电机控制单元驱动,控制单元中集成有分辨率为4 096 pulse/r的旋转编码器、放大器、转矩控制器及电源;

由于控制回路在500 Hz下运行,采样周期L为0.002 s。

实验过程中采用的机械臂末端轨迹为:

qd=qinit+20·[1+sin(0.4πt+3π/2)]deg

(19)

其中:

qinit=[0.0 -115.6 90]Tdeg

(20)

误差动力学方程为:

(21)

从而可知:λ=diag(10.0,10.0,10.0)。

笔者利用两种实验条件对该控制方法的有效性进行验证:

(1)为研究PID控制对有效载荷变化的适应性,通过反复试验将增益α调整为α=diag(0.23,0.01,0.005)。参数M和δ分别选择为M=0.005 1和δ=0.000 1。TI和TD分别设置为TI=0.2I以及TD=0.05I(I—单位矩阵);

(2)将PID控制与文献[8]6所提出的PID控制(PIDAL)进行比较。可利用式(5,6)的等价性选择PIDAL增益:在无有效载荷条件下,选择K=diag(500,300,60),TI=0.2I,TD=0.05I,此时的PIDAL记为PIDAL-1;在有效载荷作用条件下,选择K=diag(650,440,183),TI=0.2I,TD=0.05I,此时的PIDAL记为PIDAL-2。

在有/无有效载荷条件下,该方法增益K及误差函数J的变化曲线如图9所示。

图9 所提方法在有/无有效载荷条件下增益K及误差函数J的变化曲线

图9(b,d,f)中,当引入有效载荷时,控制方法的跟踪误差就会随之增大,从而导致函数J(以跟踪误差为自变量的函数)也会变大。同时,在图9(a,c,e)中,式(7～9)的自适应过程提高了比例增益K;且当K经过自适应过程收敛后,跟踪误差与无有效载荷情况十分接近,表明了所提PID控制对有效载荷变化的鲁棒性。

该方法与PIDAL的控制效果对比[21]如图10所示。

图10(a,c,e)中,在无有效载荷的条件下,该方法与PIDAL-1的控制效果十分接近,此时由于PIDAL-2的增益K较高,控制稳定性无法保证,未在图中进行对比;另一方面,当引入有效载荷时,所提PID方法的控制效果变化不明显,而PIDAL-1的跟踪精度显著下降,此时必须通过调整(多次试错)增益矩阵K保证方法的跟踪精度,如图10(b,d,f)中PIDAL-2曲线所示。

该控制方法与PIDAL控制效果定量对比(有/无有效载荷)如表2所示。

综上所述,在有效载荷变化较大的条件下,PID方法能够自适应调节比例增益K且提供恒定增益TI和TD,从而在负载变化下保持跟踪精度;相比之下,PIDAL方法需要针对有效载荷的变化情况确定两个不同的增益集。

图10 所提方法与PIDAL的控制效果对比

表2 所提控制方法与PIDAL控制效果定量对比(有/无有效载荷)

因此,在保证跟踪精度的条件下,该控制方法的自适应性强,实施过程中无需针对有效载荷变化进行增益的人为试错调节。

4 结束语

笔者针对变有效载荷条件下的机械臂鲁棒控制问题,提出了一种自适应PID控制方法,即基于离散时域内TDC与PID的等价性,通过参数匹配确定了所提PID控制方法的增益,得出了相应的自适应控制律,最后通过仿真分析和物理实验,验证了所提方法的有效性。

研究结果表明:

(1)所提PID控制方法具有无模型性以及在变有效载荷条件下的鲁棒性两个特点,无需对机器人动力学和有效载荷变化进行任何计算;

(2)所提方法的自适应过程集中于比例增益,保证了在机械臂有效载荷变化条件下的控制鲁棒性,当有效载荷增大时,PID增益相应增大,反之亦然。该结果表明,在有效载荷显著变化的情况下,所提出的自适应PID控制相较于已有方法具有更好的跟踪精度;

(3)所提方法可以在不了解TDC的情况下进行实施,且由于其具有典型的PID结构,可以广泛适用于现有的PID控制器。

由于库仑摩擦和速度反向过程中的粘滞现象,跟踪误差可能出现周期性急剧增加。在后续的研究中,笔者将结合非线性阻尼、模糊逻辑、以及滑模控制等方法,以此来进一步提高所提自适应PID控制策略的鲁棒性。