问题驱动教学的内在逻辑思考——以“正方体截面的形状”课题为例

■江西师范大学数学与统计学院 任琛琛 杨梦欢 杨苏丹

高中数学立体几何初步的学习要求有：运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质，并建立空间观念。在“正方体截面的形状”的教学过程中，可以利用问题驱动教学，培养学生的逻辑推理能力；通过教学模具的活动式探究，培养学生的操作实践能力；结合教育技术中“几何画板”，培养学生的直观想象能力。基于此，本文通过案例探究如何在高中数学教学中应用问题驱动法。

问题驱动教学法即基于问题的教学方法(Prob⁃lem-Based Learning，PBL)。问题驱动教学法是一种以学生为主体、以专业领域内的各种问题为学习起点，以问题为核心规划学习内容，让学生围绕问题寻求解决方案的一种学习方法，这种方法不像传统教学那样先学习理论知识再解决问题。教师在教学过程中的角色是问题的提出者、课程的设计者以及结果的评估者。传统的高中数学立体几何的教学比较重视定理的推理过程，即使在强调发展学生核心素养的新课程标准下，高中立体几何教学在操作上还是容易出现“满堂灌”的形式，教师对立体几何的推导过程做好了应有的设问，学生不必要也难以提出自己的思考和问题。学生在这样的立体几何学习过程中容易产生思维定式，不利于培养学生发现和提出问题的逻辑推理能力。史宁中先生曾言：“引导学生用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界。”基于此，笔者以章节起始课“正方体截面的形状”为例，结合问题驱动教学和活动式课堂，关注和培养学生提出问题的能力。

一、了解学生，对“症”下“药”

在学习“正方体截面的形状”之前，学生已经学习了“立体几何初步”，对三维空间有初步的认识；对简单的几何体的基本特性和直观图、三视图有基本了解；对空间的点、线、面的位置关系有了一定的理解，并初步学会用数学语言来描述和论证某些位置关系（特别是平行和垂直关系）；对直观感知、操作确认、思辨论证和度量计算等方法有了一定的体验；有一定的空间想象能力、初步有了推理论证和运用图形语言进行交流的能力。但是学生对几何体截面的概念不明晰，学生的抽象能力也处于初步发展的状态。因此，笔者认为在教学过程中要关注学生对截面的概念学习，培养学生对立体几何的截面空间想象能力。

二、把握目标，有“的”放“矢”

《普通高中数学课程标准》（2017年版2020年修订）中立体几何初步的学习要求有：运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质，并建立空间观念。基于“正方体截面的形状”的教学，利用问题驱动教学设置问题串，培养学生的逻辑推理能力；通过教学模具的活动式探究，培养学生的操作实践能力；结合现代教育技术“几何画板”，弥补学生不便于操作难以得到较全的复杂模型的遗憾，为培养学生的直观想象能力提供教学支点。学生通过“正方体截面的形状”的课题学习，在利用小组讨论、借助道具以及利用软件的探究正方体截面实际操作过程中，体会“关注如何获得知识，比关注得到别人给予的知识更重要”；体会到“问题是思考的结果，是深入思考的开始”；从而培养学生提出问题、分析问题、解决问题的数学学习能力。

三、设计教学，“层”层递进

（一）创设情境、提出问题

通过视频的展示，让学生了解生活中有各种各样几何体截面的形状。

【设计意图】基于学生学情出发，大多数学生在学习立体几何初步之前，对立体几何的截面了解甚少，单独讲述什么是截面过于枯燥，由此笔者进行视频导入，让学生直观感受截面形状，得到截面的概念；抛出问题1：正方体的截面有哪些类型？

在学生的探究过程中，可以预设到学生容易得出的正方体截面为正方形和三角形的两种情形。

（二）实验探究、分析问题

探究活动1：教师明确给定实验器材的标准，通过转动装有水的正方体，利用平静的水面更好地反映正方体截面的形成及其变化特征。教师做示范展示，学生分小组利用实验器材探究正方体的截面形状类型。

【设计意图】传统的正方体截面教学是教师通过作图向学生展示，这对学生的想象能力要求较高，而这阶段的学生很难全部达到较高的抽象想象能力，因此笔者结合教具让学生直观感知正方体截面的形状。活动预测大多数学生实验探究将得到正方体截面结果可能是三角形、四边形，个别同学也许会实验得出六边形截面。

探究活动2：教师用几何画板课件演示学生在活动1的探究结果。演示的过程中师生研讨交流，讨论问题2：会不会出现七边形和八边形？

【设计意图】利用现代教育技术佐证实验结果，弥补教具实验中的客观局限性，更清晰地模拟出正方体截面的形状。通过截面概念的辨析，得到正方体截面多边形的边数上限为6，开启对正方体截面形状特征探究。

探究活动3：关于正方体三角形截面的探究。利用教具以及现代教育技术，小组探究正方体三角形截面形状，抛出问题3：正方体有几类三角形截面？小组派代表展示，教师点评，研究的过程中教师可以引导学生按角、按边进行分类研究。

探究结果：按边分类：等腰三角形（等边三角形）、非等腰三角形。按角分类：锐角三角形，不会出现直角三角形和钝角三角形。在此基础上将利用余弦定理等方法对探究结果给予证明。

【设计意图】根据分类原则先确定研究的路径，通过直观想象、数学建模和演算等逻辑推理的数学思考探究结论，利用分类讨论融入分类思想。

探究活动4：关于正方体四边形截面的探究。同样利用教具、几何画板对正方体四边形截面探究，引导学生利用边、角分类进行探究。抛出问题4：正方体可以截出几类不同的四边形？会有正四边形吗？并且让学生小组讨论如何利用立体几何公理、定理证明四边形不可能出现直角梯形。

探究结果：两组对边分别平行；只有一组对边平行；不会出现直角梯形。（如图1）

图1

【设计意图】通过观察四边形截面形状，找出共性，从而引导学生能从截面定义解释为什么四边形截面一定有一组对边平行，探究过程中分类讨论再次融入分类思想。

探究活动5：关于正方体五边形截面的探究。利用关于对正方体的四边形截面的探究活动的方法对正方体五边形截面探究，按照之前探究活动提出问题5：正方体五边形截面会有怎样的性质？会有正五边形吗？

探究结果：两组边分别平行。

【设计意图】利用四边形讨论的方法，类比探究正方体截面五边形的特征，融入类比思想，并探究得出不会出现正五边形。

探究活动6:关于正方体六边形截面的探究。类比四、五边形截面的探究方式，得到六边形截面的特征。

探究结果：三组边分别平行。

【设计意图】通过问题“正方体中,试画出其中三条棱的中点P,Q,R的平面截得正方体的截面形状”的解决；实现探究：正方体会出现正六边形截面。

探究活动7：根据活动的探究进程，自然抛出问题6：正方体的截面最多有多少种？归纳有哪有几种正多边形？师生共同归纳总结：正方体截面最多会出现正三角形、正方形、正六边形。

（三）小试牛刀，解决问题

习题1：一个棱长为3的正方体给定三个点M、N、P(如图2)，若

图2

试一试，如何沿着这三个点做出一个截面？

活动重点：准备一个道具和彩笔。各组的同学共同讨论，看哪一组画得好，画得快，说得清。

【设计意图】通过画图训练，让学生结合探究活动的直观感知，抽象出截面形状，落实从直观想象到抽象思维的转化，同时小组探究也有助于解决学生在训练过程中遇到的难点，教师可以分组进行点拨，提高课堂效率。

（四）课堂小结，归纳问题

教师在这个环节可以从学习的主要内容以及探究的方法两方面展开，渗透教知识、学经验的新课程标准教学理念。

归纳问题：主要用到立体几何中的哪些公理与定理（师生共同进行建构知识系统）以及探究的步骤？回顾我们是怎样研究正方体的三角形截面的？我们在数学建模、演算、推理验证时，感悟到什么数学思想，应用了那些数学知识，沿用了什么活动经验？

【设计意图】课堂不应只关注知识的发生发展，也应关注学生的思维生长，注重学习、活动经验的积累，让学生总结，让学生学会用“数学的语言表达问题”。

（五）课后思考、延伸问题

学习不仅发生在课堂上，非常有必要把空间和时间延续到课外，教师应根据学生的学情布置相应的课后思考题，供学有余力的同学深度学习。笔者基于学生的基础能力，布置了如下思考题：

(1)通过对正方体截面形状的探究方法，能否类比到其他几何体？（如圆锥、圆柱、正四面体等。）

(2)与正方体的棱平行的截面有何特征？与正方体体对角线垂直的截面有何特征？

四、设计反思，追“本”溯源

立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系。高中“立体几何初步”的教学重点是帮助学生逐步形成空间观念，应遵循从整体到局部、从具体到抽象的原则，提供丰富的实物模型或利用计算机软件呈现空间几何体，帮助学生认识空间几何体的结构特征，进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能。“正方体截面的形状”在立体几何的教学中属于较为抽象以及较难的知识点，笔者的教学设计利用上述七个探究活动和六个问题串，通过活动的层层递进，问题的逐步深入，让学生体会数学的基础知识、基本技能、数学的思想方法和活动经验在探究活动中的运用。从简单的截面形状——三角形出发到多边形，自然引导学生由一般到特殊思考：截面正多边形的类型。在活动探究的过程，活动3到活动6这四个活动让学生利用已有的互动探究经验，反复利用分类、类比思想解决问题，最后通过立体几何定理让学生从理论的高度上验证猜想，得出结论，提供了严密的逻辑推理范式，学生可以养成严谨的逻辑思维。众所周知，逻辑推理能力是高中立体几何非常重要的一种能力，其中合情推理（分类、类比）占有非常大的比例。因此本节课的设计即是新知的探究，也是促进立体几何能力的培养和提升的实践设计。

五、结语

问题驱动教学法能提高学生学习的主动性，提高学生在教学过程中的参与程度，容易激起学生的求知欲，活跃思维，能达到训练学生主动探求知识、自主创新思维的学习目的。通过设计探究活动，利用问题层层递进引导学生探究正方体的截面，可有效帮助学生掌握相关知识。在问题串的引导下，学生对探究活动和动手实践验证充满兴趣，学习积极性得到极大激发，可有效提高探究能力和思维能力，逻辑思维与学习效果也能得到有效提升。