晶体学实验——2020年国际物理奥林匹克竞赛实验试题解答

惠王伟 宋 峰

(南开大学物理科学学院 300071)

2020年国际物理奥林匹克竞赛实验试题为“晶体学”，试题分为四个部分，A部分主要研究一维晶体衍射的最基本规律，B部分研究二维晶体的相关参数，C部分研究晶体中的晶胞对称性，D部分研究相位问题。本文在大赛提供的参考答案基础上对本题进行了重新解答。

A部分：从狭缝到晶体(5.0分)

A.1(0.3分)

题目中提供了散射矢量q表达式

所以q≪ki

题目中也给出了光强I取决于光衍射角θ的公式[原文中为公式(4)，本文中重新编号为(A3)]

式中，I0是θ=0 时的光强，N是光栅狭缝数。

在θ很小时，

将(A2)代入(A4),可得I(θ)表达式为：

A.2(0.2分)

对于光栅常量为a的衍射光栅，光栅衍射方程为

将(A7)代入(A2)，可以得到第h个衍射极大的散射矢量表达式为：

A.3(0.2分)

利用式(A8)，可以推出：q1是1级衍射极大的散射矢量。

A.4(1.0分)

利用题目中提供的实验器材，搭建实验装置，利用激光器照射样品，分析观察屏上的衍射光斑。由于衍射角θ可认为其远小于1(题给条件)，利用A9和A10可以得到：

其中SN为0 级衍射极大到N级衍射极大的距离，L为样品DG 到观察屏的距离。利用公式A10和A11，通过测量SN和L可以得到：

A.5(1.5分)

利用A.1得到的公式A5可以推出：

I的极大值取决于h，通过测量两个不同的衍射极大值(如第1级和第2级)可以得到：

其中I(1)和I(2)为第1级和第2级衍射极大的光强，通过实验测得，将其测量值带入A13，可以求出a/b,结果如下：

A.6(0.7分)

题目中提供了结构因子的表达式：

通过题目中给出的图1 可以直接得到ρ(x)的表达式：

将ρ(x)代入结构因子的表达式中可以得到：

式中p=a/b，强度为0 的极大h满足：h=±pm，m∈N

A.7(0.7分)

采用A.6同样的方法可以得到图1中晶胞B的ρ(x)的表达式:

同样可以得到晶胞B的结构因子FB(h)：

强度为0的极大h满足：h=±pm，m∈N

A.8(0.4分)

用同样的光照射图1 中的两个光栅，利用公式A16和A18可以得到光强之比为：

图1 一维晶体的晶胞，黑色区域为不透光的区域

A部分评述

A 部分主要研究的是一维晶体衍射的最基本规律。本题通过观察衍射光栅的衍射现象，研究一维晶体的相关参数。题中涉及的实验操作并不复杂，但有较多的公式推导和计算，且后面题目中经常要用到前面题目的结果，如果前面题目出现错误就会导致后面题目推导结果错误。所以在解题过程中，一定要认真仔细，掌握题目中给出公式、定义和提醒性信息。

B部分：二维晶体(5.0分)

B.1(1.0分)

通过分析二维晶体结构(题目中提供图2)可以得到和的长度为：

图2 以 和 作为格矢的二维晶体，这些点表示晶体中原子的位置

q1和q2的夹角为β=α

B.2(0.5分)

根据公式A14和A16可知，如果透光区和非透光区互换，除中心衍射斑点(h=0，k=0)外的衍射结构因子的模相等，所以可以推出二维晶体A结构因子为：

晶体D的结构因子可以通过晶体A变换得来，将晶体A的结构因子表达式乘以就可得到。

B.3(0.6分)

题目要求分析样品衍射图，通过实验确定样品的晶格周期，这需要利用与A.4相同实验光路，观察样品衍射图，可以观察到类似图4的衍射图样，通过测量衍射图中斑点距离可以求出衍射矢量和晶体周期，求得样品的晶体周期为：

B.4(0.4分)

通过观察样品的衍射图样，通过观察衍射斑点的缺失、斑点强度及B.3中求得的晶体周期，可以判断出UC1-UC4对应的晶体结构为：

B.5(0.8分)

要想确定不透光区域的边长b，可以采用A.5类似的方法，利用样品UC1的实验结果，可以得到：b=10μm。

B.6(1.2分)

题目要求通过实验确定每个样品的参数a1,a2和角α(图2)，首先搭建实验装置，观察样品UC5、UC6、UC7的衍射图样。可以看到UC5衍射图样是矩形排布，UC6 和UC7 为平行四边形排布，如图3所示。测量并计算可以得到每个样品的参数a1,a2和角α为：

图3 样品UC6、UC7衍射图样

B部分评述

B部分主要研究的是二维晶体的相关参数。实验采用与A.4 相同的实验方案，观察不同样品的衍射图样。通过分析衍射图样，测量二维衍射斑点的距离等参数，可以确定多种未知样品的晶体参数，以及与题目给出的晶胞的对应关系。

C部分：晶体的对称性(5.0分)

C.1(0.3分)

根据题目中给出的旋转对称性的定义和二维晶体衍射图样(题目已给出，图4)，可以较容易地判断出旋转中心：h=0，k=0 。旋转对称阶m=1,2,4。所有对称轴在图4中都已经标注出。

图4 对称轴标注图

C.2(0.2分)

题目要求写出图4中绘制的每个镜像对称轴的直线方程，对称轴是一条直线，它可以表示为直线方程：c1∙qx+c2∙qy=d，图4中镜像对称轴的方程为：

C.3(0.4分)

通过分析衍射图样(图4)可得，每个旋转对称强度I(qx,qy)满足的方程：

每个镜像对称强度I(qx,qy)满足的方程：

C.4(0.2分)

因为ρ(x)∈R(题目中给出)，结构因子有如下关系：

这里的F*是F的复共轭，由C12可以推出：

对应的对称性为C2。

C.5(0.4分)

为了用晶体1的结构因子表示其他晶体的结构因子，可以先假设晶体1的结构因子为：

根据对称性，晶体2通过晶体1对x=0 轴做变换可以得到，ρ2(x，y)=ρ(-x，y)，晶体2的结构因子为：

晶体3 通过晶体1 对x=y轴做变换可以得到，ρ3(x，y)=ρ(y，x)，晶体3的结构因子为：

晶体4 通过晶体1 平移可以得到，假设平移矢量为(x1，y1)，ρ4(x'，y')=ρ(x+x1，y+y1)，晶体4的结构因子为：

C.6(0.5分)

n，cosθ，θ，m可能的值如表1所示：

表1 n，cos θ，θ，m 的取值

所以所有可能的旋转对称有：C1,C2,C3,C4,C6。

C.7(0.9分)

具有晶胞K、L、M、N、P、Q、R、S、T的晶体的对称性示意图如图6所示，旋转对称性在图中已经标注。

图5 对称旋转示意图

图6 晶胞的对称性示意图

C.8(0.8分)

样品PG1、2、5、8对应于图6晶胞K、L、M、N，要想确定对应关系，需要通过实验分析其衍射图样。表2 为观察到的样品PG1、2、5、8 的衍射图样对称性，表中“+”表示样品具有相应的对称性。对于样品PG1，理论上存在对称轴qx=0，但实际的衍射图样可能观察不到。

表2 样品PG1、2、5、8 的衍射图样对称性

PG1 因为具有qy=0 轴对称性，根据图6 判断其对应L，PG2 不具有上述对称性，所以对应于M，PG5具有两条对称轴，所以其对应于N，所有样品与晶胞的对应关系为：

C.9(1.0分)

样品PG3、4、6、7、9对应于图6晶胞P、Q、R、S、T。要想确定对应关系，需要通过实验分析其衍射图样。表3 为观察到的样品PG3、4、6、7、9 的衍射图样对称性，表中“+”表示样品具有相应的对称性。

表3 样品PG3、4、6、7、9的衍射图样对称性

PG4 和PG6 的衍射图样具有C4对称性(如晶胞R,T)，而其他的都不具有。在这组样品中，对称性不足以匹配晶胞和衍射图样。我们需要使用加法定则，并理解晶胞S和T的缺失。

对于S晶胞，将不透光元素进行标记，如图6所示。元素1 的结构因子用F(h,k) 表示，利用C.5 的解题方法可以得到其他元素结构因子的表达式为：

S晶胞的结构因子为上面之和，对于h=0 的衍射斑点有：

对于h=0 时，衍射斑点会在k为奇数时缺失，同样可以推出k=0 时，衍射斑点会在h为奇数时缺失。衍射图样具有这种特性的只有PG6 和PG9,因为PG6对应晶胞R或T，所以PG9对应S。

对晶胞T采用同样的方法，可以得到元素结构因子的表达式为：

对于h=0的衍射斑点有：

对于h=0时，衍射斑点会在k为奇数时缺失，同样可以推出k=0 时，衍射斑点会在h为奇数时缺失。PG6衍射图样具有这样的特性，所以PG6对应T,所以PG4 对应R。PG3 衍射图样具有对称轴，其对应于P，PG7对应Q。

C.10(0.3分)

要想判断样品UC8是不是晶体，需要通过实验观察UC8的衍射图样，判断其衍射图样具有的对称性。通过实验发现UC8具有C5对称，而根据C.6的结果，晶体所有可能的旋转对称有：C1,C2,C3,C4,C6，所以UC8不可能是晶体。

C部分评述

C部分主要研究的是晶体中的晶胞对称性。本题主要研究镜像对称和旋转对称，其中C.1～C.7 为衍射图样和晶体结构对称性分析和公式推导，并不涉及实验操作，解题过程中要利用题目中给出的对称性和结构因子的定义。C.8～C.10 是通过实验观察样品的衍射图样，通过分析衍射图样的对称性，确定样品对应的晶胞类型，解题过程中要利用晶胞的对称性导致的相互对称和系统性缺失以及加法定则。

D部分：相位问题(5.0分)

D.1(1.0分)

题目要求用强度I0的入射光照射晶体MR0 或MR2，求出0级衍射斑点的强度，因为0级衍射斑点的强度E与透光面积成正比，而光强I为场强的平方，可以得到下面两个公式：

其中Ntransparent和Nall分别为透光方块数和总的方块数。MR0 和MR2 透光方块数分别为5 和7，利用公式D2可以求出0级衍射斑点的强度分别为：

D.2(2.0分)

为了确定MR1的晶胞结构，需要通过实验测量MR1衍射斑点强度I(h,k),|h|≤2,|k|≤2，测量结果如图7所示，

图7 MR1衍射斑点强度

通过逆傅里叶变换可以得到：

因为ρ(χ,γ)是实数，所以只计算实部就足够了。

通过D6计算可以得到晶胞的振幅透射率如图8所示，透射率较小的地方为不透光区域，透射率较大的地方为透光区域，根据图8可以判断MR1的晶胞应为X。

图8 MR1透射率

图9 X晶胞

D.3(2.0分)

题目要求确定MR2的晶胞结构，解题时可以利用D.2同样的方法，可以得到MR2的衍射斑点强度和透射率，如图10和图11所示。

图10 MR2衍射斑点强度

图11 MR2透射率

题目中提示MR2 相比于MR0，只是两个不透明的方格变成透明的方格，通过与MRO对比，可以发现MR2 在(0，2)和(3，0)两个位置变成透光，所以MR2的结构如图12所示。

图12 MR2晶胞结构

D部分评述

D 部分主要研究的是相位问题。本题主要是利用已知的结构的MR0 晶胞，确定未知晶胞的结构。解题过程中，需要通过实验测量衍射斑点的强度分布，然后将其转化为透射率分布，并通过与已知晶胞结构对比就可以确定MR1和MR2的结构。

本次试题利用晶体的周期性，通过衍射的方法研究晶体结构。试题通过研究晶胞的参数、晶胞的对称性和相位，从而确定晶体的结构。试题有很多的理论分析和公式推导，试题题量大，考察的内容和知识点很全面，具有一定难度。