一些特殊子群是TI-子群或次正规子群的有限群

刘 琳，卢家宽，张博儒，易 倩

(广西师范大学 数学与统计学院，广西 桂林 541006)

近几年来,众多学者研究了自中心化子群满足特定性质的有限群,并得到了一系列的结论.郭秀云等[1]举例说明了TI-子群不一定是次正规子群,次正规子群不一定是TI-子群，并且刻画了每个子群是次正规子群或TI-子群的有限群.Mahmoud Hassanzadeh[2]推广研究了所有非交换子群是TI-子群或次正规子群的有限群.

SUN Y等[3]研究了所有非交换自中心化子群是TI-子群或次正规子群的有限群的结构以及所有非循环自中心化子群是TI-子群或次正规子群的有限群的结构,且已知非亚循环群必为非循环群,所以本文将子群的范围缩小,从非亚循环子群是TI-子群或次正规子群以及非p-幂零子群是TI-子群或次正规子群的角度来研究有限群的结构.

本文考虑的群都是有限群,使用的符号都是标准的.

1 预备知识

为了方便读者阅读,本节列举一些本文将要用到的定义及引理.

定义1[1]设G是有限群,H≤G.若对任意g∈G有H∩Hg=1或H,则称H为G的TI-子群.

定义2[3]设G是有限群,H≤G.若CG(H)≤H,则称H是G的自中心化子群.显然,若H是G的自中心化子群,则对任意的K≤G满足H

引理1[2]设G是群,H≤G.若K是H的自中心化子群,则K1=〈K,CG(K)〉是G的自中心化子群,且

(1)K1∩H=K;

(2)NG(K1)∩H≤NH(K).

引理2[4]Frobenius群的所有Frobenius补共轭.

引理3[4]设G是关于子群H的Frobenius群,而N是G的Frobenius核.若LG,则L≤N或N

引理4[4]设G是关于子群H的Frobenius群,而K是G的Frobenius核,则

(1)K幂零;

(2)若p>2,则H的Sylowp-子群循环;若p=2,则H的Sylowp-子群循环或为广义四元数群.

引理5[4]设G是非幂零群,而G的每个真子群是幂零群,则G可解.

引理6[5]设G是群,则下述结论等价:

(1)G是幂零群;

(2)若H

(3)G的每个极大子群MG(这时|G:M|是素数);

(4)G的每个Sylow子群都是正规的,因而G是它的诸Sylow子群的直积.

引理7[5]设G是非循环p-群,则下述结论等价：

(1)G是广义四元数2-群;

(2)G的每个交换子群均循环;

(3)G只有一个p阶子群.

引理8[5]设G是p-群,且G的每个交换正规子群均循环,则

(1)若p>2,则G循环;

(2)若p=2,则G有循环极大子群.

引理9[6]设G的每个真子群均是p-幂零群,但G非p-幂零,则G的每个真子群是幂零群.

引理10 设G的每个非p-幂零子群自中心化子群是TI-子群或次正规子群.若H≤G,则H的每个非p-幂零自中心化子群是TI-子群或次正规子群.

证明令K是H的非p-幂零自中心化子群,则K1=〈K,CG(K)〉是G的自中心化子群.因为K1非p-幂零,所以根据假设可知K1◁◁G或K1是G的TI-子群.

若K1◁◁G,则KK1◁◁G,从而K◁◁G,因此K◁◁H.

若K1是G的TI-子群,则对任意的g∈G有K1∩K1g=1或K1.于是对任意的h∈H有K1∩K1h=1或K1,由引理1可知K1∩H=K.若K1∩K1g=1,则

从而K是H的TI-子群.

故H的每个非p-幂零自中心化子群是TI-子群或次正规子群.

2 主要结论

定理1 假设G的每个非亚循环子群是TI-子群或次正规子群当且仅当G的每个非亚循环子群皆次正规于G.

证明定理的充分性显然成立,因此我们只需证明定理的必要性成立.

设R是G的任一非亚循环子群.若R◁◁G,则结论成立.下面考虑R是G的非次正规子群的情况.选取R是G的极大非次正规且非亚循环子群,即∀H≤G,若R

假设R

(1)假设R不是G的极大子群.令M是满足R

(i)若m=1,则N=Zp为p阶循环群.由N/C-定理可知R≅G/N=NG(N)/CG(N)Aut(N)=Zp-1,从而R循环,矛盾.

(ii)若m>1,则N非循环.令K≠1是R的任一极大子群.显然NK也是Frobenius群.若NK亚循环,则NK存在一个循环正规子群L使得NK/L循环.因为NK是Frobenius群,所以L≤N或N

若NK非正规于G,则NK非次正规于G,从而NK=NG(NK).因此NK是G的TI-子群.因为∀g∈G有(NK)∩(NK)g=(NK)∩(NKg)≥N≠1,与NK非正规于G矛盾.故(NK)◁G.

因为根据子群的模律有K=(N∩R)K=NK∩R◁R,所以由引理6知R幂零,从而R=P1×P2×…×PS,其中Pi∈Sylpi(H),i=1,2,,,s.

若R循环,则与R亚循环矛盾,从而R非循环.由引理4可知R必为广义四元数2-群Q2n与奇数阶循环群的直积A,即R=Q2n×A.由引理7可知Q2n的每个交换子群均循环,所以再根据引理8可知Q2n有一个循环极大子群B,从而|Q2n:B|=2且B◁Q2n.故B×A是R=Q2n×A的循环正规子群.又因为B×A是R=Q2n×A的极大子群,所以R/(B×A)是素数阶循环群,这与R为非亚循环矛盾.

综上,满足假设的R不存在,故G的每个非亚循环子群皆次正规于G.

定理2 假设G的每个非亚循环子群是TI-子群或次正规子群,则G可解.

证明如果结论不成立,设G为极小阶反例且H≤G,则由引理10及G的极小性知H是可解的.若G的每个极大子群亚循环,则G可解,矛盾,从而存在G的极大子群是非亚循环的.不妨设M为G的非亚循环极大子群.若M◁G,则G/M为素数阶循环群,从而G/M可解.又因为M可解,所以G可解,矛盾,故MG,因此M是G的非次正规子群,从而M是G的TI-子群.由M的极大性及MG知M=NG(M),所以G是关于子群M的Frobenius群.令N为G的Frobenius核,则由引理4知N幂零,从而N可解.又因为G/N≅M,所以G/N可解,从而G可解,矛盾.故G可解.

注意3 群S4仅有两个非亚循环子群S4和A4且A4正规于S4,则S4的所有非亚循环群是TI-子群或次正规子群.这个例子是为了证明满足定理2的群不一定是超可解群.

定理4 假设G的每个非亚循环子群是TI-子群或次正规子群,则G必有正规的Sylow子群.

注意5 当G的每个非亚循环子群是TI-子群或次正规子群时,G可解,但G中不一定会存在一个正规的Sylow子群,如S4.S4中有且仅有两个非亚循环子群S4和A4,且S4和A4皆正规于S4,但是S4的Sylow子群不是正规的.

定理6 假设G的每个自中心化子群是TI-子群或次正规子群或p-幂零子群,则G的每个子群是次正规子群或p-可解子群.

证明设H是G的任一非p-可解子群.若H◁◁G,则结论成立.下面考虑H是G的非次正规子群的情况.令H是G的极大非次正规且非p-可解子群.

假设CG(H)H,则H

假设H

令K≠1是H的任一极大子群,则NK是G的极大子群.假设NK是p-幂零群,那么K是p-幂零的,从而由引理9知H的真子群幂零,再由引理5推出H可解,矛盾.因此NK是非p-幂零群.若NKG,则NK非次正规于G,从而NK=NG(NK).于是由假设知NK是G的TI-子群.又因为∀g∈G有(NK)∩(NK)g=(NK)∩(NKg)≥N≠1,这与NKG矛盾,所以NK◁G.因为根据子群的模律有K=(N∩H)K=NK∩H◁H,所以由引理6知H幂零,这与H为非p-可解矛盾.

综上,满足假设的H不存在,故G的每个子群是次正规子群或p-可解子群.

定理7 假设G的每个自中心化子群是TI-子群或p-幂零子群,则G的每个自中心化子群是正规子群或p-可解子群.

证明假设H是G的任一非p-可解自中心化子群.若HG,则结论成立.下面考虑H是G的非正规子群的情况.令H是G的极大非正规且非p-可解子群.

令N满足H

综上,满足假设的H不存在,故G的每个自中心化子群是正规子群或p-可解子群.

3 小结

通过研究非亚循环子群是TI-子群或次正规子群的有限群,得到子群皆次正规于有限群以及群的可解性.又通过研究非p-幂零子群是TI-子群或次正规子群的有限群,得到有限群子群的性质以及群的p-可解性.因为非亚交换群必为非亚循环群,所以研究非亚循环群也为之后研究非亚交换群提供了基础.