矩阵秩的定义教学设计新探

张凤霞，宋颖

（聊城大学 数学科学学院，山东聊城 252000）

矩阵的秩是线性代数中的一个基本概念，在线性代数中起着重要的作用。可以说矩阵的秩与线性代数中的所有内容有关，如：矩阵的秩可以刻画行列式是否为零，可以刻画矩阵的可逆性，可以刻画向量组的线性相关性，可以判断线性方程组是否有解以及有解时解的个数，可以决定二次型的标准形中非零项的项数，它也与矩阵的特征值有关联，并且在其他学科也有广泛的应用[1-2]。鉴于矩阵的秩在线性代数中的重要性以及概念本身的抽象性，因此如何在课堂上引入这个概念，这是值得任课教师认真思考的。正是基于这样的一种考虑，我们讨论如何以一种顺其自然、水到渠成的方式引入矩阵秩的概念，从而使学生更容易地理解这一抽象的概念，提高教学效果。

纵观对矩阵秩的概念的引入[3-6]，基本上是采用英国的数学家Sylvester 于1851年给出的定义，即矩阵的秩为矩阵中非零子式的最高阶数。该定义形式上非常简单，但是很难理解为什么这样定义，矩阵的非零子式的最高阶数到底具有什么样的特征，为什么要单单给它命名？ 下面我们给出一种引入矩阵秩的定义的新的教学设计，教学设计的前提是学习了矩阵的初等变换、矩阵的等价标准形，介绍了矩阵的k 阶子式的概念。

1 教学设计

1.1 提出问题，引出概念

1.1.1 提出问题

每一个矩阵作初等变换，都可以化为标准形

但是在化标准形的过程中，初等变换的过程却不尽相同。由此，提出问题：不同的变换形式下，所得的标准形唯一吗？

1.1.2 分析问题

标准形的形式取决于标准形中单位矩阵的阶数r，所以考虑r 有什么样的特征。k 阶子式是我们刚刚学习的内容，因此就从k 阶子式的角度考查r 的特征。经过分析，r 是标准形中非零子式的最高阶数，而标准形是矩阵A 作初等变换得到的。启发学生探讨r 与A 之间的关系：r 是否也是矩阵A 的非零子式的最高阶数？ A作初等变换化为标准形，如果初等变换不改变矩阵非零子式的最高阶数，那么就能保证r 是A 的非零子式的最高阶数，同时也能保证标准形由A 唯一确定，即如图1的关系。

图1 初等变换与标准形唯一性的关系图

当初等变换不改变矩阵非零子式的最高阶数时，r是A 的非零子式的最高阶数是显然的。为了使学生更好地理解标准形由A 唯一确定，下面做出分析，见图2。

图2 矩阵非零子式的最高阶数与标准形唯一性的关系图

1.1.3 问题转化

由上面的分析，所以标准形唯一性的问题，就转化为考查“初等变换是否改变矩阵非零子式的最高阶数”的问题。接下来针对该问题进行分析。

分析 初等变换分为初等行变换与初等列变换，先看行变换的情形。设矩阵A 经过一次初等行变换变为B，设A，B 的非零子式的最高阶数分别为hA与hB，下证hA=hB。

由于A 的非零子式的最高阶数为hA，所以A 中存在某个h 阶子式D≠0。

当A 对换i，j 两行得到B 或者A 的第i 行乘以k得到B 时，总能在B 中找到与D 对应的hA阶子式D1，并且D1=D 或D1=-D 或D1=kD，因此D1≠0，从而hA≤hB。

当A 的第J 行乘以l 加到第i 行得到B 时，因为对换i，j 两行时，hA≤hB成立，所以不妨考虑A 的第2 行乘以l 加到第1 行得到B 时这一特殊情形。下面分两种情况讨论：

（1）若A 的hA阶子式D 不包括A 的第1 行或者既包括第1 行也包括第2 行，此时B 中与D 对应的hA阶子式D1与D 相等，故hA≤hB。

（2）若A 的hA阶子式D 包含A 的第1 行不包含第2 行，此时把B 中与D 对应的hA阶子式D1，记作

D1==D+lD2，rk表示D 的第k 个行向量，此时D2也是B 的hA阶子式，由于D1-lD2=D≠0，所以D1与D2不同时为0，因此B 中存在hA阶非零子式D1或D2，故hA≤hB。

以上分析说明了，A 施行一次初等行变换变为B，有hA≤hB。由于B 亦可经过一次初等行变换变为A，所以，hB≤hA，因此hA≤hB。

经过一次初等行变换，非零子式的最高阶数不变，所以经过有限次初等变换非零子式的最高阶数也不变。

再看列变换的情形。设A 经过初等列变换变为B，则AT经过初等行变换为BT，由以上分析知hAT=hBT。而矩阵与其转置矩阵有相同的各阶子式，所以它们的非零子式的最高阶数相等，因此hA=hAT，hB=hBT，所以hA=hB。

综上分析，可以得到如下结论：

定理1 初等变换不改变非零子式的最高阶数。

因此，前面提出的转化后的问题解决了。

1.1.4 解决问题

根据前面的分析，由于初等变换不改变矩阵非零子式的最高阶数，所以标准形就是由矩阵A 唯一确定的，并且标准形中单位矩阵的阶数就是非零子式的最高阶数，问题解决。

设计意图 矩阵秩的定义为矩阵的非零子式的最高阶数，这一点在课本上看上去是非常突然的，为什么要这样定义？ 非零子式的最高阶数到底具有什么样的一个特征？我们通过探究标准形唯一性的问题，发现了非零子式的最高阶数是初等变换过程中的不变量，这种不变量，在数学上是非常重要、也是非常有意义的一个量，从而才会给它命名。

1.2 总结归纳，形成概念

初等变换不改变矩阵非零子式的最高阶数，也即非零子式的最高阶数是矩阵初等变换过程中的不变量。这种变换过程中的不变量，在数学上是很重要的，是数学中非常重要的研究对象，我们就可以给它命名，从而引出概念。

定义1 矩阵A 的非零子式的最高阶数，称为矩阵A 的秩，记为R(A)。

强调矩阵的秩关注的是矩阵非零子式的阶数，而且是阶数中最高的一个。也就是若R(A)=r，则A 至少有一个r 阶子式不为零(R(A)≥r)，而A 所有的高于r 阶的子式(如果存在的话)全为零（R(A)≤r)。

上面的秩的概念是由英国数学家西尔维斯特在1851年给出的，但是当时并没有“秩”这样的一种表述，一直到20 多年后的1879年，“秩”的表述由德国的数学家弗罗贝尼乌斯在他的一篇文章《On linear substitions and bilinear forms》中首次引入[7]。

设计意图 追寻秩的产生足迹，让学生了解数学史。

图3 西尔维斯特与弗罗贝尼乌斯

分析 按照定义，要计算矩阵的秩，就是要找矩阵非零子式的最高阶数。层层分析，求出矩阵A 的秩。解 由于

所以A 中存在2 阶非零子式。注意到A 的第3 行元素为前两行对应元素的和，根据行列式的性质，所以A 的3 阶子式全为零，因此R（A）=2。

设计意图 巩固对矩阵秩的概念的理解，同时也可以引申出按照定义来计算阶数较高的矩阵的秩往往是比较繁琐的，这在数学中是不可取的，从而提出问题：有没有简单的计算矩阵秩的方法？

在例1 中，我们看到用定义计算矩阵的秩，尤其是阶数较高的矩阵往往是比较繁琐的。这在数学上是不可取的，有没有简单的计算矩阵秩的方法？联系前面结论：初等变换不改变非零子式的最高阶数，矩阵的非零子式的最高阶数定义为矩阵的秩，所以初等变换不改变矩阵的秩，而每一个矩阵都可以化为标准形。

因此A 的标准形的秩就是A 的秩，即标准形含有1 的个数，就是A 的秩。因此求一个矩阵的秩就可以转化为求矩阵的标准形，从标准形中获得矩阵的秩。再回到例1，用初等变换的方法，求A 的秩。

解 对A 作初等变换得

所以R（A）=2。

设计意图 呼应例题1，给出求矩阵秩的另一方法，这通常是较简单的一种方法。同时引出矩阵的秩也可以从标准形的角度来定义。

既然标准形中1 的个数就为矩阵的秩，所以我们也可以从标准形的角度定义矩阵的秩。

定义2 矩阵A 的标准形中所含1 的个数，称为矩阵A 的秩。

设计意图 照应前面的结论：初等变换不改变非零子式的最高阶数，并且又从标准形的角度给出了矩阵秩的另一定义，也解决了矩阵秩的求解问题。

1.3 拓展延伸，回顾总结

矩阵的秩是刻画矩阵的一个数字特征，看上去比较简单，但却是线性代数中一个非常重要的概念，有诸多应用。比如后面的线性方程组理论中、向量组的线性相关性方面、矩阵的特征值方面以及二次型的理论中，秩的应用实际上早已超出了数学的范围，它在控制论、图像处理中都有应用。

前述，我们从解决矩阵的标准形唯一性的问题出发，给出了Sylvester 定义的矩阵的秩，之后，为了问题的需要与前后呼应，又从标准形的角度定义了矩阵的秩。除此之外，矩阵秩还有其他的定义方式，我们会在后面的学习中继续介绍。

2 教学总结

该教学设计以解决标准形唯一性问题为起点，通过对问题的分析、转化与解决，获得了初等变换过程中的不变量，同时也完成了矩阵秩的概念的建构，这种教学设计符合学生的认知规律，能够让学生更好地理解这个知识点，也能够培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。在引出矩阵秩的概念后，在计算矩阵的秩的问题中，又回到了前面在分析问题中所得到的结论——初等变换不改变矩阵非零子式的最高阶数，也就是初等变换不改变矩阵的秩。通过每个矩阵都可以化为标准形，再重新认识矩阵的秩，从而利用标准形又定义了矩阵的秩。这样的教学设计顺其自然、 水到渠成，更有助于学生理解矩阵的秩这一抽象概念。