基于数字孪生模型的复杂电路系统潜在问题自动仿真推演方法

胡昌华， 马玉哲， 李天梅

(火箭军工程大学，陕西 西安 710025)

0 引 言

导弹武器的控制电路设计通常由众多的单位、专业、人员分工协作联合研制集成，相互之间存在复杂的交叉耦合关系，因此设计人员不可能在设计时就清楚地把握系统的所有电路通路及其行为结果，存在一些设计人员未曾预料的潜在电路通路[1]，这些潜在电路通路在特定的条件下一旦被导通，会抑制系统预期的设计功能，或激发系统非期望的设计功能，造成非设计预期行为，这类问题就是所谓的“潜在问题”。国内外近几十年的导弹及运载火箭发射及试验过程中，出现过许多由潜在问题引起的故障案例：有的引起点火中断造成发射失败，有的造成导弹自毁，有的造成试验设备损坏，有的引起火工品误爆造成发动机损坏，有的造成平台飞转，有些潜在问题侥幸在试验中被发现，否则一旦在飞行中被激发，也将会引起整个飞行任务失败。因此，若能事先分析出系统的潜在通路并采取改进措施，对提高诸如航天控制系统等关键系统的安全性与可靠性意义重大[2-3]。

已有的潜在问题分析识别技术主要依赖于两个基本原理和两个独特工具，即划分原理以及类似的电路排列表现出类似行为这两个基本原理，带注释的网络树与专家线索表这两个专用工具。在以上原理与工具的基础上，潜通路分析在定性仿真与分析方面取得了较大的进展，但已有技术与方法在导弹武器装备“复杂多样”电路背景下潜在问题“自动准确高效”识别这一核心问题，仍然没有系统有效的解决方法[4-5]。主要体现在：1)基于定性仿真的方法常将电路元件模型定性化或简单化，只考虑几种主要情况，且对电路系统的简化处理必将丢失许多有用的信息，难以保障潜在问题分析识别的高准确性[6-7]；2)基于相似拓扑结构具有相似的行为应用各种线索表进行潜在问题分析识别，其分析的思想是基于归纳法，因此在分析过程中需要专家参与，属于半自动潜在问题分析，因此其适用的电路对象主要对分系统而不是整个系统进行分析，且分析自动化程度难提高且周期长；3)利用专家多年收集的线索表分析潜在问题，意味着只有部分专家以人工的方式才能进行潜在问题分析，分析效率低[8]。

基于以上认识，本文提出了一种基于数字孪生模型的复杂电路系统潜在问题自动仿真推演方法。首先建立电路系统潜在通路分析数字孪生模型，进而基于电路基本定理自动建立并求解微分方程组，根据微分方程组的解判断电路系统是否存在潜在问题，最后以红石火箭发射点火电路为对象进行数字孪生建模及潜在通路自动仿真推演分析，以验证本文所提方法的可行性和有效性。

1 建立潜在通路分析数字孪生模型

数字孪生被定义为：充分利用物理模型、传感器更新、运行历史等数据源，集成多学科、多物理量、多尺度、多概率的仿真过程，在虚拟空间完成映射，从而反映相对应的实体装备的全生命周期过程[9-13]。本文研究的对象是导弹武器装备上的大型复杂控制电路系统，该电路系统规模庞大、元部件众多、层级结构复杂，以人工方式对该电路系统进行潜在问题定量分析周期长，效率低，实现该电路系统的潜在问题定量自动仿真推演分析可以有效缩短分析周期，提高分析效率。为实现导弹武器装备大型复杂控制电路系统的潜在问题定量自动仿真推演分析，建立电路系统数字孪生模型至关重要。针对导弹控制系统电路的特点，此处的数字孪生模型是指所建立的能反映实际电路系统图元模型、几何模型、物理模型、规则模型的电路系统定量仿真模型。

数字孪生模型（VE）主要包括图元模型（Dv）、几何模型（Gv）、物理模型（Pv） 、规则模型（Rv），即

其中Dv描述电路元件的图形显示所包含的一些因素的集合，Gv描述电路系统元器件之间的几何关系，使数字孪生体与实物样机具有一致的拓扑关系，Pv描述电路系统中各元器件的物理特性，Rv描述电路系统在拓扑模式约束下，节点/网孔的电压电流等所遵守的规则。

1.1 建立电路系统数字孪生图元模型

元件本身的图形信息是指元件类可作为图元类库中的一个派生于图元基类的子类，因此，对于一个元件对象，它将具有图形对象的基本属性，包括坐标位置、旋转状态、缩放比例及名称等信息。元件类确切地说是派生于组合图形类的一个子类，因此，其组成元素将是构成该元件的基本图元。另外，对于各种不同的元件，用户还可以定义有针对性的自定义属性，这些属性最终也将在原理图中显示出来。例如，对于电阻元件，用户可以自定义属性R，表示电阻的阻值。

除此之外，图元模型还包括了电路元器件的连接关系。连接关系是指连接到同一电势能对象连接点的集合。在设计电路连接关系的数字孪生模型时，可考虑两种模型：1）连接关系的物理模型即连接点的集合；2）其图形模型，该模型的视图即为用户直观的导线连接。

1.2 建立电路系统数字孪生几何模型

此处采用电路系统拓扑结构建立数字孪生几何模型Gv。节点、支路和网孔是电路分析及网络拓扑中的基本要素，具体建模方法如下：

1)支路。支路是由满足以下两种条件之一的两条管脚所构成对象：①同一元件的两条不同管脚；②具有电气连通关系的两个单端元件的两条管脚。

算法1：支路集合自动构造算法

步骤1：取得电路中所有元件集合U，置支路集合B为空，置单端元件集合US为空。

步骤2：取出U中第一个元件U1，如果U1为单端元件，将其添加入US，根据U1的元件类型确定元件的支路集合B1，将B1并入B。

步骤3：处理集合US中两两单端元件UA、UB，如果它们连通，则以UA、UB的管脚构造支路b，并将b加入B中。

依次搜索，得到电路支路集合B。

2)节点。节点是连接到同一导线的两个或多个管脚的虚拟连接点。

由节点和连接关系的定义可知：节点为连接关系的计算机模型，与电路图中的导线一一对应。原理图为元件与连接关系的集合，或元件与节点的集合。对于任意给定的电路原理图，其所有连接关系是已知的，可相应确定原理图中的所有节点集合，记为N。

3)网孔。网孔为电路中的闭合回路。对于电路中的支路集合B与节点集合N，每个网孔都对应于(B,N)的一个子集。

对于给定的电路图，可按前述方法确定支路集合与节点集合，并可借助图论中相关方法求出网孔集合。在图论中基于生成子树的概念生成最小回路，与之相对应，定义电路图中的最小生成树如下：若树T是n个节点的电路图G的一颗生成树，则T是G的一个生成子图且是一棵树，其中树T的描述形式可为：T连通且无网孔；T的任意两个节点之间有唯一的通路；T连通且有n-1条支路；T无网孔，且若T添加上任意一条支路后则恰有一个网孔；T连通，且若T去掉任意一条支路后不连通，则T为G的最小生成树。

算法2：网孔集合自动搜索算法

步骤1：置网孔集合M为空。

步骤2 ：基于克鲁斯尔算法，由电路图所有支路集合B与节点集合N求得一个最小生成树T及与之相对应的剩余支路集合BR。

步骤3 ：依次取出BR中的支路，添加到T中构成一个网孔，并将该网孔添加到M，则M为所求。

对于任意给定的电路原理图G=(U,C)，可根据C求得节点集合N，根据U与C求得支路集合B，并根据B与N求得网孔集合M。求得的节点集合N、支路集合B和网孔集合M及其相互连接关系即为电路系统数字孪生几何模型Gv。

如图1所示的电路系统，具有4个节点、6条支路，同时有（1,2,4,6）、（1,3,4,6）、（1,2,5,6）、（1,3,5,6）、（2,3）和（4,5）共 6 个网孔。

图1 支路、节点和网孔

1.3 建立电路系统数字孪生物理模型

Pv描述了电路系统中电子元件的物理属性。定义电压与电流属于元件的某一管脚，如电压是指元件某一管脚处的电压而非元件的电压，电流是流经元件某一管脚的电流而非元件的电流。为了简便起见，管脚以管脚号代替，电压与电流分别以U、I代替，如管脚1的电压与电流则分别表示为U1和I1，以此类推。基于以上电流、电压简化表示建立电路系统常见元器件数字孪生物理模型（Pv）。

1)电源。对于电源类元件，其物理模型为U1=V，U1为电源电压值。

2)地。其物理模型为U1=0，U1为地对应管脚处电压值。

3)电阻。对于电阻类元件，其物理模型为R·I1=U1-U2，R为 电阻阻值，I1为流经电阻的电流值，U1和U2为电阻元件管脚1、2处的电压值。

4)电感。对于电感类元件，其物理模型为L·d(I1)=U1-U2，L为电感感抗值，I1为流经电感的电流值，U1和U2为电感元件管脚1、2处的电压值。

5)电容。对于电容类元件，其物理模型为C·d(U1)-C·d(U2)=I1，C为电容容抗值，I1为流经电容的电流值，U1和U2为电容元件管脚1、2处的电压值。

6)二极管。对于二极管类元件，其物理模型为：如果U1≥U2,I1≥0，则U1=U2；否则I1=0，I1为流经二极管的电流值，U1和U2为二极管元件管脚1、2处的电压值。

7)开关。对于开关类元件，其物理模型为：如果C=on ，则U1=U2；否则I1=0。其中，C为布尔型逻辑变量，U1和U2为开关元件管脚1、2处的电压值。

对于电路中的其他元件，若有需要基于其机理亦可建立其物理模型，此处不再赘述。

1.4 建立电路系统数字孪生规则模型

数字孪生规则模型指的是电路系统领域的标准与准则等。电路领域熟知的约束有两类：1）电路中各节点电流受基尔霍夫电流定律（KCL）关系约束，各网孔支路电压受基尔霍夫电压定律（KVL）关系约束，这两种约束只与元件的连接方式有关，与元件特性无关，称为拓扑约束；2）电路的电压电流关系（VCR）受元件特性（如欧姆定律）约束，这类约束只与元件的电压、电流、阻抗有关，与元件连接方式无关，称为元件约束。建立电路系统数字孪生模型必须同时满足这两类约束。

对于具有b条支路n个节点的连通电路，可以列写出n-1个线性无关的KCL方程和b-n+1个线性无关的KVL方程，再加上b条支路的VCR方程，得到b个支路电压和b个支路电流为变量的电路方程，简称2b方 程。2b方 程是最原始的电路方程，是电路分析的基本依据。

定义所建立的方程组中包括节点电压或网孔电流求导项的电路为动态电路。不失讨论问题的一般性，考虑包括节点电压或网孔电流求导项的动态电路，即建立包含有节点电压和网孔电流求导项的动态电路系统数字孪生规则模型（Rv）。为便于计算求解，可将电路系统数字孪生规则模型写成矩阵方程的形式，与动态电路对应的矩阵方程组可表示为

其中A、B为常数矩阵，x向量中除包括各节点电压与网孔电流变量组成的向量x1，还有部分节点电压与网孔电流求导项组成的向量可记为其中，x2⊆x1，记x1为x1中非求导变量所组成的向量。A·x=B·y

矩阵方程 为微分方程组，按上面的符号可记为

式中：g(t)—已知量；

电路实现的功能取决于电路中功能元件的工作状态，即功能元件两端的电压和流过的电流，因此建立电路系统数字孪生规则模型的核心关键问题是求解高维微分方程组，求解功能元件电压和电流，即求解微分方程组式(3)。

算法3：高维微分方程组自动求解算法

1)正规化微分方程

从数学角度看，要求解该微分方程组，首先需要消去非求导向量x3，使之化成一个纯粹的微分方程组，即微分方程中的每个未知量都有微分形式存在于微分方程组：

消去x3可通过将x3用x2表示的方式完成，即有

对于式（5）的求解，后面将进行详细说明，求解式（4）后，x2为已知量，通过式（5）的求解表示出x3，进而各节点电压与网孔电流变量组成的向量x1为已知量，并以此计算出各元件管脚电压与电流信号，更新电路状态。

由式（3）产生式（4）的过程称为微分方程的正规化，表示为

式（6）是一个非齐次的微分方程组，接下来求取式（6）的通解。

2)特征方程法求通解

求矩阵A的伴随矩阵AB，AB可表示为

由伴随矩阵求得该矩阵的特征多项式f(x)，由式（7）可知：

求特征多项式f(x)的所有根的集合X。

对于n元微分方程组x′=A·x，若 λ为矩阵A的特征方程的一个特征根，则微分方程组的通解为：

若 λ为特征方程的单实根，则有

若 λ为特征方程的单虚根，且 λ =α+βi，则有

若 λ为特征方程的m重实根，则有

若 λ为特征方程的m重虚根，λ=α+βi， 则有

归纳上述4种情况可以看出，若已知特征根 λ，则可根据 λ的情况构造出一定已知向量 Λ，使得x=C·Λ，因此x′=C·Λ′。对于不同的特征根情况，求得C和Λ。

3)微分法求特解

列出F1(t)对应的(αi,βi)集合，处理 (αi,βi)集合中每一个 (αi,βi)对，根据复数 αi+βii与A1特征根的对应情况，即 (αi,βi)为A1的k重特征根（k为非负整数），列写出 Λcos与 Λsin及对应的系数阵C,S,D,E，求得特征秩r，并根据 αi与r，k求得Ψ 矩阵。

4)确定初值

利用初值条件，确定微分方程通解部分的待定系数。

2 潜在通路自动仿真推演分析

潜在通路是指在特定的条件下，导致系统出现非期望的功能或抑制所期望的功能实现的路径。

电路的功能取决于组成电路的功能元件所实现的功能，元件的功能取决于元件所处的工作状态，元件可能存在多个状态。

电路期望功能：可表示为{功能集合|电路状态}，即在某电路状态下出现的所有功能的集合。因此，确定系统的期望功能需要两方面的信息：电路状态与功能集合。

若严格按电路状态定义，电路状态将由电路中所有的元件的自定义属性组合而成，对于复杂的电路而言，状态的表示将十分冗长，且包含有许多对于功能并无影响的属性，如电阻的阻值等，因此称能影响电路功能的元件类型为状态相关类型。

常见的状态相关元件有开关、刀闸、继电器及其节点等，其状态将影响到电路的状态，定义期望功能中的电路状态为相关类型元件的自定义属性状态的组合，可用符号表示为S={Si|i=1,2,···}。作为功能类潜在通路分析的目的在于期望功能实现与否，功能集合可表示为F={Fi|i=1,2,···}。系统的期望功能可表示为E={F|S}。

设计系统的目的是完成某种特定的功能，而系统功能的完成往往又是由一系列功能的实现为前提的，因而将系统按功能划分为功能子网络就成为把握复杂系统行为的一种恰当选择。其具体技术路线如图2所示。

图2 基于数字孪生模型的潜在问题自动仿真推演流程图

基于图2所示的潜在问题自动仿真推演分析流程，其中的关键步骤是复杂电路系统功能网络树自动划分。

算法4：复杂电路系统功能网络树自动划分和生成算法

由一功能执行元件出发，搜索与该功能执行元件相关联的功能控制元件、功能执行元件和接续元件，再分别从这些功能控制元件（或功能执行元件）出发，按照接续元件提供的元件间的连接关系，向电源正端和电源负端（或地）寻找与之相关联的功能控制元件、功能执行元件与接续元件，在搜索的过程中，如果搜索到电源的正端或电源的负端（地），便终止该方向的搜索，直至所有的路径被终止搜索，这样便得到与某功能执行元件相关联的电路网络拓扑连接关系，把这种电路网络拓扑连接关系按照横平竖直的方法画成图形的形式，得到一片树形的网络，即为系统的功能网络树。

一种自动生成系统功能网络树的方法是电路原理图遍历方法，即：依据元件相互间的连接关系，以某一个功能元件为遍历的起点，访遍电原理图中其他元件，且使每个元件仅被访问一次。实现图的遍历有两种策略：深度优先和广度优先[9]。

在此基础上，围绕该功能网络树通过第1节的数字孪生自动建模方法建立其数字孪生模型，在功能网络树所包含开关、闸刀、继电器等布尔逻辑控制器件的穷举组合下，并自动求解得到功能元件的端电压和电流，通过求解期望功能和实际功能的差集判断是否存在期望功能被抑制或非期望功能被激发等潜在问题。

3 案例应用

为验证本文所提出的基于数字孪生模型的潜在问题自动仿真推演方法的可行性和有效性，以红石火箭关机点火电路为案例开展应用研究，其具体功能子电路原理图如图3所示。

图3 红石火箭关机点火功能子电路原理

设计的期望功能是点火线圈由点火开关控制，关机马达线圈由弹上关机开关控制，这两个线圈通过点火自保与关机马达自保这两个常开节点进行自保。按下点火开关，在脱落插头脱落前，点火指示灯亮；在点火开关闭合期间，点火线圈工作，点火成功，脱落插头脱落，火箭起飞。

首先建立红石火箭点火/关机电路数字孪生几何模型，按照节点、支路的定义，求得节点集合B、支路直接N还有网孔集合M。简化后的集合模型如图4所示，其中标黄的为功能元件，标蓝的为状态相关元件，标绿的为指示元件。

图4 红石火箭点火/关机节点、支路与网孔集合示意图

由图可知，该电路原理图共有14个节点，12条支路，同时有 14个网孔，如：（DH1，DH2）、（GJ1，GJ2）、（BD，GJL2），（DY，DH1，TC1，ZSD，TC3），（DY，DH2，DHL），（DY，GJ1，GJL1）、（DY，GJ2，GJL1）、（DHL，TC1，ZSD，TC3）、（GJL1，TC2，GJL2，TC3）、（GJL1，TC2，BD，TC3）、（DY，DH1，TC1，BD，TC2，GJL1）、（DY，DH1，TC1，ZSD，GJL2，TC2，GJL1）、（DY，DH1，DHL，TC2，GJL2，TC2，GJL2，TC3）、（DY，DH2，DHL，TC2，GJL2，TC2，GJL2，TC3）。在这14个网孔中，本文重点关注功能相关元件所涉及到的网孔，即包含有DHL、GJL1和GJL2的网孔。同时考虑到功能元件和状态元件的逻辑关系：当DHL通电时，DH1和DH2常开开关闭合，当GJL1通电时，GJ1和GJ2常开开关闭合，当GJL2通电时，ZSD亮，提示点火成功。

接下来，围绕功能元件DHL、GJL1和GJL2建立红石火箭点火/关机电路的数字孪生元件物理模型，具体为：

状态相关元件 DH1、DH2、GJ1、GJ2、TC1、TC2和TC3的状态为开或关，对应的电路系统数字孪生物理模型分别为：

通过分析红石火箭点火/关机电路原理可知，点火线圈DHL通电，点火开关DH1闭合，点火开关DH2自保，同时GJL2通电，点火指示灯ZSD亮，脱插TC1、TC2和TC3脱落，点火成功。而关机开关GJ1只有在GJL1通电的情况下闭合，同时GJ2自保，火箭关机。分析该火箭点火电路功能应为点火线圈DHL通电，点火开关DH1闭合，点火开关DH2自保，同时GJL2通电，点火指示灯ZSD亮，脱插TC1、TC2和TC3脱落，万万不能使关机线圈GJL2带电，进而导致弹上关机开关GJ1闭合，导致已经点火的火箭又异常关机。基于该功能，将图4电路简化处理后得到如图5所示电路原理图。

图5 简化后的红石火箭点火/关机节点、支路与网孔示意图

潜在通路分析假设电路系统中的元件都是正常的，对于图5中的元件，能引起潜在问题的是脱落插头TC1、TC2和TC3。脱落插头接收到脱落指令后到真正脱落需要一定的时间，如果3个脱落插头在DHL通电，DH1闭合时同时受到脱落指令，但其脱落时刻却不一定相同，从而有可能形成潜在通路。此处，假设脱落插头的反应延时量为随机数，且最大脱落延时量为1 s，即脱落延时量。脱落过程中，尾部脱落插头1、尾部脱落插头2、尾部接地插头3（简称 TC1、TC2、TC3）按先后顺序排列共有 8种次序，假定在t0=0 s时刻点火开关按下，而关机开关断开，而在t1=1 s时刻脱落插头脱落，则按时序类潜在通路识别判定算法可知，当TC3脱落而TC1和TC2仍未脱落的情况下，GJL1线圈通电，GJ1闭合，GJ2自保，触发弹上紧急关机开关，火箭关机，触发了非期望功能，报告存在时序类潜在问题。触发该时序类潜在问题的电路图如图6中红线所示。

图6 红石火箭点火/关机时序类潜在通路

进一步验证可得，当TC3脱落而TC1和TC2没有脱落的情况下，流过线圈GJL2的电流，因此GJ1闭合，GJ2自保，启动弹上紧急关机，导致潜在问题的发生。

这一分析结论与实际发生的潜在通路的分析结果一致，即TC3较TC1、TC2早脱落29 ms。同时也说明脱落插头的脱落具有一定的随机性，因此红石火箭在58次发射成功后，第59次因为脱落插头脱落时间的随机性导致异常关机，导通了时序类潜在通路。

4 结束语

本文针对大型复杂电路系统潜在问题分析存在的低准确率、低效率、难以实现自动化等问题，提出了基于数字孪生模型的潜在问题自动仿真推演方法。经理论分析和案例验证表明，本文方法在以下3个方面具一定的有效性：

1）建立的包含数字孪生图元模型、数字孪生几何模型、数字孪生物理模型和数字孪生规则模型的四维数字孪生模型可有效表征实际电路系统，为后续进行潜在问题仿真推演建立了定量电路基础。

2）功能网络树自动搜索算法、支路与网孔自动搜索算法，基于微分法的高维微分方程组自动求解算法，为潜在问题自动仿真推演提供了技术支持，同时有效解决了大型复杂电路潜在问题的“自动准确高效”识别难题。

3）红石火箭点火/关机电路应用实例进一步说明了数字孪生建模的可行性和准确性，以及潜在问题自动仿真推演的高效率和高准确性。