模型思想导向下的小学数学运算法则教学案例研究

齐小维

（沈阳大学 辽宁·沈阳 110044）

2011年版的《义务教育数学课程标准》提出了10个核心词汇，模型思想作为其中的一个，决定了它在小学数学教学中的重要地位。在小学数学教学中渗透模型思想旨在帮助学生理解数学与外部世界的联系。

2014年教育部提出要发展各学段学生的核心素养体系，以培养学生自主发展的能力。近年来，数学建模教学备受关注。国内外研究学者发现，数学建模能够将生活中零散的问题数学化、格式化，用模型思想作为理论指导，能够提高解决问题的效率，促进问题的合理解决。实践证明，将模型思想渗透于小学数学教学中，能够更好的培养小学生的数学核心素养。因此模型思想导向下的小学数学教学成为国内外教育界的热门话题。

1 模型思想概念界定

“为了描述一个实际现象更具科学性、逻辑性、客观性和可重复性，人们采用比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。用数学语言描述的事物就称为数学模型。”

通俗地说，数学模型就是将实际问题分类后，解决各类问题所固有的数学知识结构。而模型思想就是在提出数学问题，检索已有知识经验，经历一系列抽象、推理，将未知转化为已知，从而建立数学模型的过程中，所应用到的数学指导思想。

2 在小学数学教学中渗透模型思想的意义

2.1 形成重要的数学思想

数学是在模式化的过程中丰富和发展的。数学建模的思想可以引申出简化思想、函数思想、类比思想、抽样统计思想等。建立数学模型是数学学习的必要过程。例如：自然数“1”可以表示“1头牛”“一棵树”“一只鸟”等具体的事物；“部分数+部分数=总数”可以派生出“白鹅有一只，黑鹅有五只，一共有几只？”等。学生形成了模型思想等一系列重要的数学思想，不仅有利于记忆与理解数学知识，还有利于进行数学知识的迁移。

2.2 增强小学生的数学学习兴趣和学习欲望

数学模型是沟通数学与外界世界的重要桥梁。数学模型之所以能够激发学生的学习兴趣，就是因为数学模型能够把枯燥的数学问题趣味化、多元化。例如：在学习整数乘法时，学生可以按照自己喜欢的方式动手操作，通过摆小棒、折纸、画图等多种方式，进行观察、探究、学习，从而推导出整数乘法的计算法则，建立数学模型。

2.3 积累数学活动经验，培养创新意识

有些不同的数学问题却蕴含着类似的数学模型思想。例如：整数加法和整数减法都可以利用摆小棒的方式来进行探索；分数乘法和分数除法都可以利用折纸的方法来进行探究等。因此，只要掌握其中的一种探究方法，就可以举一反三。在小学数学教学中渗透模型思想有利于帮助学生积累数学活动经验。而学生通过自己喜欢的方式进行探究，这也有利于培养学生的理性思维和创新意识。

2.4 提高小学生独立解决数学问题的能力

将模型思想渗透于小学数学教学中，学生会逐渐形成严谨的、理性的数学思维。而良好的数学思维就能够支撑学生结合以往活动经验，独立的去探索、解决问题。例如：在学习完整数加、减、乘、除法之后，学生就会根据自己所掌握的方法，独立解决四则混合运算、简便运算等数学问题；也可以用这种模型思想去学习分数四则运算等。

2.5 增强小学生数学学习的应用意识

学习数学其实就是为了解决生活中的实际问题。而模型思想就是连接数学知识与实际生活之间的重要桥梁。北师大版小学数学教材基本每节课的导入都是创设生活中的情境，从中抽象出数学问题，然后引导学生利用数学知识去解决。而学生掌握了数学知识，也自然能够解决生活中的实际问题。例如：学习了整数加减法，学生就可以独立去买菜找零钱。因此，将模型思想渗透于小学数学教学，有利于增强小学生数学学习的应用意识。

2.6 改善小学生学习方式

模型思想的渗透，能够防止学生死记硬背。数学知识是灵活的，是互通的。因此只要形成了良好的数学思维，就会利用模型思想进行举一反三。例如，学生掌握了整数乘法，小数乘法也迎刃而解，只需注意小数点的位置即可。这不仅能够减轻小学生的学习压力，还能够改善小学生的学习方式，从而提高学习效率和学习质量。

3 建模模式下教学环节的设计——以分数除法（二）为例

3.1 复习检查，设疑激趣

PPT出示复习检查的问题，并强调分数除法（一）的意义、算理和算法。这节课就让我们一起来学习更有挑战性的知识：分数除法（二）——除数是分数的除法。（板书）

安排此环节的目的在于了解学生，夯实基础；在上课伊始便集中学生的注意力，使其产生求知诉求。

3.2 探索新知，体验发现

把教材中静态的问题串1搬到动态的大屏幕上！引导学生：

（1）每1张一份，可分成几份？

在学生轻易得出结果，列出算式之后，追问道理，使其说出：因为这是一个平均分的问题，所以要列成除法算式。对于想到：1张饼是1份，四张饼就是四个一份，可以用4×1=4表示的学生给予更高的评价：把除法转化成了更好算的乘法。

设置意图：由简答问题入手，进一步明确整数除法的意义，渗透转化思想，帮助学生建立学好本节课的信心，为后续探究分数除法（二）奠定基础。有了知识和经验储备之后，提出本课的关键问题，“除数是分数的除法”问题。

新课标指出：教学中，学生是发现者，要让学生亲身经历数学知识的形成过程，从中体验数学思想方法，积累活动经验。

这是学生初次接触除数是分数的除法，为了突出重点、突破难点，选择“探究发现教学法”，引导学生借助圆形纸片，看出，每张饼一份，就相当于把每张饼都平均分成2份，总共有4张这样的饼，就是4个2份，从而数出8份或4×2算出8份。然后要求学生以“小组合作”的学习方式，写出数学表达式并探究其意义和算理。在学生汇报的同时我强调：是把4张一样大的饼，按着每份都是张进行平均分的问题，同样是平均分的问题，所以用除法，点明算式意义，渗透类比思想，积累活动经验。

对于其他算法，如：

均给予肯定，提倡一题多解，培养学生的发散思维。在帮扶学生解决了除数是分数的除法问题后，出示：

设置意图：这一环节，主要让学生经历演绎推理的过程，通过语言和手势进行强化，逐步进行抽象概括，为学生独立建立模型奠定基础。

（5）小结。

引导学生观察这些算式，抽象出除数是分数的除法的计算方法。和分数除法（一）的计算方法一样，被除数没变，÷变成x，除数变成了它的倒数。

知识来源于生活，又应用于生活。引导学生列举生活中的例子来解释这种计算方法。

大家用生活中的例子又一次帮我们解释了除以一个几分之一的分数，就等于乘这个数的倒数。淘气想了个办法来验证，你能看懂么？（多媒体出示）想一想，填一填。

设置意图：借助学生已有知识经验，长方形的面积公式，解释除数是分数的除法的计算方法。帮助学生深入理解算理。

3.3 应用拓展，巩固练习

刚才我们的计算都是除以分数单位，那如果是除数不是分数单位也可以这么算吗？出示例题，由特殊推广到一般。最终引导学生进行抽象概括，得出数学模型：除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数。

设计意图：帮助学生理解算理，知道除以任意分数都可以用同样的计算方法，并强调计算时要注意：能约分的先约分。至此，实现一个完整的数学建模过程。

不计算直接比较大小是学生的易错点，因此出示练习题，进行讲解，再次强调分数除法的意义、算理和算法。

3.4 全课总结

通过上节课和这节课的学习，大家又有怎样的思考和收获呢？

设计意图：引导学生回顾本节课的知识和方法，从而提升学生的数学素养。

4 模型思想导向下的小学数学教学策略

4.1 联系生活，精选问题，引导学生感悟模型思想

小学生身心发展的年龄特征决定了他们很难理解抽象的数学问题，因此教师要联系小学生的生活实际创设数学情境，引导学生感悟并建立数学模型。“在小学数学运算法则教学中，教师创设的情境要有代表性和趣味性，将教学内容紧密联系生活实际，能够激发学生的思考和兴趣。”以加深学生对算理的理解和对运算法则的掌握。

例如在案例中，就精选了折纸的问题，首先贴近学生生活，激发学生的学习兴趣，其次渗透模型思想，引导学生根据数学信息，检索已有知识经验，建立数学模型，把未知问题转化为已知问题，并用算式补充建模过程，从而解决实际问题。

4.2 合理的运用辅助工具，在多元的数学操作中建构算法模型

要提高数学建模能力，学生必须先明白如何塑造数学模型。在培养小学生模型塑造能力的过程中，教师应该鼓励学生发散思维，在多元的数学操作中建构数学模型。以此帮助小学生养成敢于探索、勇于实践的精神。在教学中，要运用多种直观手段来帮助小学生建立数学模型，可以采用列表法、图形法、图像法等。“借助于摆弄学具到操作语言的有序过渡，或在操作语言中由直观的画图到抽象的列式等的逐层展开，可以高效地帮助学生跨越从具象到抽象的思维障碍，实现由直观算理到抽象算法的有效联结与及时提升。”

例如在案例中，就借助了面积模型，通过分一分，折一折，画一画等多元的数学操作中，根据直观观察，建立了分数除法与分数乘法的联系，建构数学模型。

4.3 丰富探索问题的过程，在口算与笔算对应联结中建构算法模型

“基础知识不应求全，而应求连；基本技能不应求全，而应求变。”教师应该丰富学生探索问题的过程，引导学生对已学知识进行延伸、拓展和综合。在运算法则教学中，“口算与笔算之间具有类似的算法结构，有较强的系统性和连贯性，通过经验方法及策略的正迁移，促进小学生数学知识与思维的自主发展，巧妙渗透类比、转化、数形结合、抽象推理、建模等数学思想。”

例如在案例中，教师引导学生根据提供的数学信息，检索已有知识经验，通过建立不同的数学模型，将分数除法问题转化成整数除法、分数乘法、分数与除法的关系、商不变规律等问题，在口算与笔算的对应联结中，推导出计算法则，理解算理，从而解决实际问题。

4.4 采用探究式教学，在有序表述中建构算法模型

在引导小学生建立数学模型的过程中，教师可以采用探究式教学策略，让小学生参与到问题的探索中，可以采用小组合作交流的教学策略。在数学学习中，一个善于运用完整的数学语言表达的学生，他的学习才是深刻的，数学思维才是丰富的。在运算法则学习中，应促成学生数学模型的迁移与运用，通过培养学生运用完整、有序的数学语言，来发展学生的数学思维能力，锻炼学生的语言表达能力，达到说、算、思的共赢共进。

5 结论

通过本论题的研究，笔者认为，关于模型思想导向下的小学数学运算法则教学必须思考和回答如下几个问题。第一：首先教师必须明确什么是模型思想、数学建模需要怎样的过程。第二：在小学数学运算法则教学中如何渗透模型思想。第三：在具体教学中的每一个环节中渗透到什么程度，应该如何去点拨和引导，鼓励学生利用已有知识经验经历抽象、推理，把数学模型建构起来。

实践证明在小学数学教学中渗透模型思想，确实能够培养小学生的建模意识和数学思维，从而提高数学核心素养，为小学生未来的学习与发展奠定良好的基础。

由此启示我们，未来的小学数学教学，模型思想的渗透力度必将加大。但在小学数学教学过程中渗透模型思想是一项崭新而复杂的工程，还有很多问题亟待解决。比如针对每一个情境，具体的渗透策略是怎样的？这就需要我们所有准教师、一线教师及广大教育研究人员继续有针对性的深入、具体的实践与研究。