考虑时间一致性的电力系统风险规避多阶段随机规划建模与求解

张 颖，韩 风

（天津大学数学学院，天津 300350）

电力系统规划是根据电源发展和负荷增长情况，保证电力系统可靠性的同时，以经济性为目标确定今后若干年电力系统结构的优化问题[1]。然而，电力系统规划中涉及的很多不确定因素给电力系统的合理规划带来了挑战[2]。

目前，在电力系统规划中处理不确定性的主要方法有鲁棒优化和随机规划。鲁棒优化[3]是将不确定信息表示为不确定集，通过优化得出最恶劣情况下的决策，以保证决策在任意不确定信息实现下都具有可行性。随机规划则是通过随机变量描述不确定信息，在电力系统领域常用的随机规划模型主要有三类[2]：第一类是期望值模型，是指所有状态变量在期望约束下，实现目标函数期望值最优的模型，较常用的是基于随机潮流的期望值模型；第二类是多场景模型，多场景构建本质上是对不确定因素采样，将每个采样场景作为确定性边界条件进行优化模拟，最终选择出能满足所有场景的规划方案，这种方法通过大量采样，将随机变量量化为确定性数值进行计算；第三类是机会约束模型[4-5]，允许规划方案在一定的情况下违反约束条件，但是违反概率要小于给定的置信水平。这种模型很好地平衡了规划方案经济性与安全可靠性之间的矛盾。为了平衡求解精度及效率的问题，有文献采用采用分布式鲁棒优化来处理机会约束[2]。尽管随机规划和鲁棒优化有着不同的建模思想，但在一定情况下，可以共同作用于所建模型[6]，兼顾随机规划和鲁棒优化的保守性。

传统的电力系统随机规划模型为两阶段模型，按照变量类型将问题划分为两个阶段：第一阶段是配置阶段，对应的变量为配置变量，不随随机参数的改变而改变；第二阶段为运行阶段，对应的变量为运行变量，随着随机参数的改变而调整。因此，在两阶段模型中，配置决策在不确定性发生之前就已经完全确定，并不会随着不确定信息的实现而逐步调整，往往会造成资源的浪费。针对这种不足，文献[1]在电力系统规划中，结合随机变量的多阶段场景树建立了三阶段随机规划模型，相比于两阶段模型，将“一成不变”的配置决策转变为可随不确定信息实现而调整的“观望”决策。但该模型以不同场景下的成本的期望最小为目标进行优化，最终得到“平均最优”的结果，存在一些恶劣场景下成本很高的风险。

在电力系统规划中，不确定因素的存在导致规划方案产生一定的风险，包括体现系统过负荷的安全风险和体现系统投资收益的经济风险。对于体现系统过负荷的安全风险，学者们提出了不同的安全风险评价指标，进而建立考虑安全风险的模型[7]；对于投资者而言，如何有效控制规划方案中不确定因素给系统投资带来的经济风险至关重要。为了实现经济风险可控，学者们引入不同的风险测度来量化经济风险。其中条件风险值CVaR（conditional-value-at-risk）由于是一个凸的一致风险测度，并且可以线性化表示而具有一定的优势。文献[8]首次将CVaR引入电力行业的市场环境风险评估中，验证了其有效性和优势。此后，CVaR被广泛用到基于两阶段随机规划的电力系统风险管理模型中[9]。随着电力系统规划建模朝着多阶段决策模型的趋势发展，如何在多阶段模型中引入合适的风险测度，实现有效的风险管理，逐渐受到关注。文献[10]在考虑经济风险规避的机组组合多阶段随机规划模型中，引入条件平均上半偏差风险测度，建立了保证“时间一致性”的风险规避模型。

所谓“时间一致性”，是指在任何一个阶段t(1＜t≤T)，基于到目前实现的信息和前t-1个阶段的决策，做出的关于这一阶段以及之后所有阶段的规划与在第一阶段时做出的关于t阶段以及之后所有阶段的规划是一致的。该性质保证了决策者关于未来所做的规划随着时间的推移依然是最优的。一般地，在两阶段随机规划中进行风险规避时，“时间一致性”自然成立，然而在多阶段随机规划中考虑风险规避时，容易破坏“时间一致性”[11]。

在模型求解方面，尽管电力系统规划模型按不同标准可分为多种类型，但由于其本质为优化模型，求解算法可大致分为数学优化方法和现代启发式算法这两类。当模型可以转化为确定性形式时，可以用数学优化方法求解，包括分支定界法、Benders分解法和列约束生成算法等，这类方法求解精度高，对于凸优化问题，还可以得到全局最优解。当模型无法转化为确定性问题时，可以用现代启发式算法求解，主要包括遗传算法、粒子群算法和贪婪随机自适应搜索算法等。

逐步对冲算法PHA（progressive hedging algorithm）是由Rockafellar等[12]在1991年提出的用于求解多阶段随机规划问题的算法。近几年来，该算法在理论分析和数值算法实现方面又取得了很多新的进展。PHA利用正交投影将非预期性约束转变为等式约束，进而将多阶段随机规划模型重构为增广拉格朗日形式的优化问题，然后对基于场景分解后的问题进行迭代求解，并且在每次迭代中将不同场景下的可行性决策投影到非预期子空间，作为下一次迭代的输入。随着迭代的进行，求得的解越来越能反映出决策不依赖于未实现的不确定信息的根本要求。并且处理凸优化问题时，PHA呈现全局收敛性。

本文将针对中长期电力系统扩展规划中，电需求和能源价格不确定性导致成本波动风险的问题，从多场景模型的角度，建立一种多阶段风险规避模型。首先通过多阶段场景树描述随机变量在规划周期内的不确定性，基于从根节点到叶节点的完整路径定义场景。考虑到不确定信息的顺序实现，要求决策满足非预期性。先以不同场景下的系统成本的期望最小为优化目标建立风险中立模型，在此基础上，通过引入具有“时间一致性”的多阶段风险测度构建新的目标函数，进而建立多阶段风险规避模型。通过调节置信水平，可改变模型的风险规避程度。利用逐步对冲算法对模型进行重构求解可得到全局最优解。最后以某区域电力系统扩展规划为算例，验证了所建模型和求解算法的有效性。

1 问题描述与场景生成

本文研究的是一个考虑燃料价格和电需求不确定性的中长期电力系统扩展规划问题，该问题的规划范围按时间可划分为3个阶段，每个阶段包含3年。采用6种发电技术作为系统扩展时的候选发电技术类型，分别为燃煤发电、天然气发电、柴油发电、水力发电、风力发电和生物质能发电，为方便叙述，将其分别编号为τ={1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}。

本文所考虑的燃料价格的不确定性是指煤、天然气和柴油的价格在规划周期内的不确定性，假定3种燃料以0.3、0.5和0.2的概率同时表现为低价、中价和高价。电需求的不确定性是指今后若干年用户峰需求和电力消耗量是不确定的，假定峰需求和电力消耗量逐阶段增长，并且以0.3、0.5和0.2的概率表现为低速、中速和高速增长模式，由此建立的多阶段场景树如图1所示。在第一阶段，燃料价格和电需求的低、中、高3种模式组合生成9个节点；到第二阶段时，第一阶段的每个节点又依据燃料价格和电需求的可能性派生出9个节点，共计在第二阶段生成81个节点，类似地，在第三阶段时，共计生成729个叶节点。将从初始节点到叶节点的一条完整路径定义为一个场景s∈S，其中S是场景集合，包含729个场景，每个场景发生的概率 ps为该场景所包含的多阶段不确定信息发生的概率乘积，并且所有场景的概率之和为1。每个节点的概率为包含该节点的所有场景的概率之和，而每个阶段的所有节点发生的概率和为1。为方便表示，将729个场景从左到右编号为s ={1 ,2,…,729}。当两个场景在某阶段具有相同的节点时，则这两个场景包含的该阶段不确定信息是相同的。

图1 多阶段场景树Fig.1 Multi-stage scenario tree

2 电力系统风险规避多阶段扩展规划建模

在电力系统规划中，通过一定的方式控制不确定因素给系统投资带来的经济风险至关重要。本文将为电力系统规划建立风险规避多阶段随机规划模型。由于风险规避模型可以视为是风险中立模型基础上的进一步提升和改进，因此，在给出风险规避模型之前，先建立电力系统的风险中立多阶段扩展规划模型。

2.1 风险中立多阶段随机规划模型

在两阶段随机规划中，配置决策一经确定，不再改变，而在多阶段随机规划中，配置决策体现为多阶段的顺序实现过程，可以随着随机因素的变化而变化。

由于在规划周期内，不确定信息是随阶段逐渐揭晓的，因此投资者也应该随阶段做出决策，所做决策满足“非预期性”，即当前决策只能依赖于到目前实现的信息和之前阶段所做的决策，不能依赖于任何尚未发生的情况。为了满足非预期性，要求如果两个场景在某个阶段时，依赖于当时所实现的信息尚不能区分的话，则这两个场景对应的该阶段决策必须是相同的。结合多阶段场景树，相当于若两个场景在某个阶段包含相同的节点，则这两个场景的该阶段决策是相同的。

下面依据上述思想构建考虑非预期性的风险中立多阶段随机规划模型。

2.1.1 目标函数

考虑到随着电需求逐阶段增加，发电系统处于扩容状态，每个阶段的成本包括该阶段新增设备带来的投资成本以及到目前所拥有的发电设备在该阶段的发电成本，总成本即各个阶段的成本之和。在风险中立模型中，投资者既不追求风险，也不规避风险，目标函数为不同场景对应的总成本的期望，即

式中：Iτ为发电技术τ的投资成本；为场景 s下技术类型τ在阶段t的燃料成本；Oτ为技术τ的非燃料运维成本；Nτ,t(s)和Pτ,t(s)为决策变量，表示各阶段新增技术容量和所有技术在各阶段的发电量。

2.1.2 系统可靠性运行约束

为了保证电力系统可靠运行，需满足一些约束。由于所有决策都与具体的场景有关，因此约束条件也要基于场景定义，具体如下。

（1）电力系统每个阶段的总发电技术容量要不少于考虑额外容量保证后的该阶段峰需求，即

（2）各阶段所有技术的发电量之和要不少于该阶段用户的需电量，而每种发电技术在各个阶段的发电量不超过该技术在该阶段的最大可能发电量，记nτ是技术τ的容量因子，则

2.2 风险规避多阶段随机规划模型

在多阶段随机规划模型中进行风险规避时，保证“时间一致性”是首要前提，文献[11]结合条件风险值CVaR提出了一个满足“时间一致性”的多阶段风险测度，如式（8）所示，以该风险测度为目标函数进行优化，得到的决策满足“时间一致性”。

式中：ξt为第t阶段包含的不确定信息；xt为第t阶段的决策变量；ft(xt,ξt)为决策变量xt带来的第t阶段成本；Eξ[t]为关于前t阶段所揭晓的不确定信息的期望；αt为第t阶段的置信水平，是一个事先给定的介于[0，1）的数；]为基于前t-1阶段的信息实现建立的第t阶段条件风险测度，表示(1-αt)×100%的“最恶劣”场景所对应的成本的条件期望，对其进行优化，相当于在所有可行的决策中找到使得(1-αt)×100%的“最恶劣”场景的条件期望成本最小的决策。因此，调节αt可改变模型的风险规避程度，是基于前t-1阶段的决策与前t阶段的信息实现给出的关于xt的可行集。

结合多阶段场景树，可将上述风险测度理解为在建立第t阶段的风险测度时，是基于第t-1阶段的节点进行的，凡是在第t-1阶段包含同一个节点的场景被视为一组，基于前t-1个阶段的信息实现，分组定义条件风险测度后，再基于第t-1阶段的节点发生概率求期望得到第t阶段的风险测度。

根据文献[13]给出的CVaR线性化公式，上述问题可进一步转化为

式中，ut和ηt为第t阶段风险测度的辅助变量，由于ηt不依赖于第t阶段以及之后所有阶段的不确定信息，所以ηt是“t-1阶段”变量。

上述优化问题（9）可基于场景分解为

在上述模型中，风险测度的第一项 f1(x1,ξ1)存在的意义在于，通常情况下假定第一阶段对不确定信息的掌握程度为零，第一阶段成本不依赖于任何不确定信息。而本文考虑的电力系统模型是在现有发电厂的基础上，根据电需求增长情况做出的多阶段扩展规划，在作第一阶段决策时，已经掌握了一定的信息，故电力系统模型中的第一、二、三阶段相当于风险测度中的第二、三、四阶段，因此对电力系统模型进行风险优化时，不存在 f1(x1,ξ1)这一项。由于η2(s)是真正意义上的第一阶段变量，不依赖于不确定信息，满足η2(s)=η2(s′)∀s,s′∈S ，所以风险规避电力系统规划模型实质上是一个四阶段的决策结构。考虑非预期性约束时，相当于在原场景树的基础上多了一个对不确定信息“一无所知”的根节点。

本文所研究的电力系统风险规避模型（简记为RAPS）如下：

式中：约束式（11）保证不同场景下的各技术新增容量和发电量满足系统可靠运行约束，其具体含义已在第2.1节给出；约束式（12）、（13）是风险测度的辅助变量约束；约束式（14）、（15）保证各阶段决策变量的非预期性。

3 求解算法

下面依据PHA的思想对上述风险规避模型RAPS进行重构，并给出求解重构问题的PHA算法实现。

3.1 模型重构

首先定义由场景到决策的映射构成的空间

然而，由的定义，的值依赖于所有场景下的决策，式（18）是无法直接求解的，于是PHA在每次迭代中，在求解场景子问题前，先利用投影J作用于前一次迭代计算出的X，得到的结果作为这次迭代的，同时，以一定的方式更新乘子W。虽然这样的处理方式使得每次迭代中使用的均是非精确输入，然而随着迭代的进行，由的非精确输入带来的误差将逐渐减小，求得的解越来越能反映出决策不依赖于未实现的不确定信息的根本要求。

3.2 求解风险规避模型的PHA算法实现

PHA对罚子r的选取无严格限制，但r对收敛快慢的影响是明显的，本文根据文献[14]的建议选择r。

4 算例分析

下面以某区域电力系统扩展规划为例来验证所建模型和求解算法的有效性，数值实验包含两部分：一是利用PHA分别求解风险中立情形下的两阶段、多阶段决策模型，从规划方案和系统成本两个方面对决策结果进行比较分析；二是通过PHA分别求解多阶段风险中立和不同置信水平下的多阶段风险规避模型，比较分析风险规避程度对系统配置、成本的影响。所需的相关参数以及系统可靠性约束指标如表1～表3所示。

表1 发电技术的相关参数Tab.1 Related parameters of power generation technology

表2 燃料价格Tab.2 Fuel prices 元·（MW·h）-1

表3 系统可靠性约束指标Tab.3 Indexes of system reliability constraint %

4.1 两阶段决策模型和多阶段决策模型的比较

首先利用PHA对风险中立情形下的两阶段（关于两阶段的建模思想已在引言给出）和多阶段决策模型分别进行求解，规划方案与成本的对比分别见表4和表5。

表4 两阶段模型和多阶段模型的规划方案Tab.4 Planning scheme for two-and multi-stage models

表5 两阶段模型和多阶段模型的成本Tab.5 Cost of two-and multi-stage models

两阶段模型和多阶段模型的规划方案如表4所示，可以看出，两阶段模型最终得到一个确定的规化方案，而多阶段模型最终得到一个与场景树相对应的决策树类型的规划方案，场景树的每一个节点都对应一个决策，投资者在每个阶段可根据具体的信息实现而选择对应的规划方案。可以说，多阶段模型相比于传统的两阶段模型，在系统配置上更具灵活性。

两阶段模型和多阶段模型的规划方案对应的成本如表5所示，其中两阶段模型的成本是配置成本与不同场景下的运行成本的期望之和，而多阶段模型由于不同的节点对应不同的决策，因此成本是不同场景下的配置成本与运行成本的期望。从表中可以看出，多阶段规划的成本明显低于两阶段规划的成本，这是因为两阶段模型没有考虑不确定信息的顺序实现，给出一个在所有场景下都有良好表现的规划方案，而多阶段模型考虑到了电力系统多阶段扩展的顺序实现，针对不同的信息实现，给出不同的规划方案。因此，多阶段规划得到的决策更加精准，从而降低了成本。

4.2 风险中立和不同置信水平下的风险规避模型比较

这部分利用PHA求解了多阶段风险中立和不同置信水平下（各阶段的置信水平可以不同）的多阶段风险规避模型的规划方案与成本。由于场景众多，无法将每个场景下的决策结果一一展示，仅利用场景概率对不同场景下的决策结果加权平均，通过期望配置和期望成本对求解结果加以说明，计算结果如表6与表7所示。

PHA求解风险中立模型和不同置信水平下的风险规避模型得到的各阶段期望配置结果如表6所示。根据对CVaR的分析，可知在风险规避模型中，事先设定的置信水平越高，表明投资者希望在所有可行的决策中找到使得“更尾部”的恶劣场景所对应的条件期望成本最小的决策，因此，置信水平越高，意味着模型的风险规避程度越高。从表6可以看出，当各阶段的置信水平为0，这时的期望配置与风险中立模型的期望配置是相同的，事实上，每个场景下的新增配置都是相同的，这是因为当置信水平为（0，0，0）时，风险规避模型相当于所有场景的期望成本最小化，与风险中立模型是一致的。置信水平从不规避风险的（0，0，0）上升到极度规避风险的（0.99，0.99，0.99）的过程中，各技术新增容量增加的明显比减少的多，即各阶段新增技术容量整体呈现上升趋势，这与预期是相符的，为了规避风险，在系统配置上必然会做出妥协。表6的最后3种情形中，只在某个阶段进行风险规避，在其他阶段是风险中立的，这在实际中是常遇到的情形，当几个阶段对决策者的重要程度不同时，可根据实际需要灵活设定置信水平。置信水平为（0，0，0.9）时，尽管只在最后阶段进行风险规避，但前两阶段的配置结果也与置信水平（0，0，0）的配置结果不同，这是因为各阶段之间并不完全独立，某一阶段的决策会直接影响后面的阶段，为了在后面阶段规避风险，前面阶段的决策也会受到影响。

表6 风险中立和风险规避模型的期望配置Tab.6 Expectation allocation of risk neutral and risk aversion models MW

风险中立和不同置信水平下的风险规避模型的各阶段期望成本与总成本如表7所示，可以看出，随着置信水平的提高，导致成本无一例外增加，这与预期是相符的，更大程度规避风险必然带来更大成本。

表7 风险中立和风险规避模型的期望成本Tab.7 Expectation cost of risk neutral and risk aversion models 亿元

5 结语

本文针对中长期电力系统扩展规划中，电需求和能源价格不确定性导致成本波动风险的问题，引入具有“时间一致性”的多阶段风险测度作为目标函数建立了决策具有非预期性的多阶段风险规避随机规划模型。通过调节置信水平，可改变模型的风险规避程度。依据逐步对冲算法的思想对风险规避模型进行重构，并给出了求解重构问题的逐步对冲算法。该方法可为每个场景求得一个满足非预期性的多阶段决策，本质上得到一个与场景树相对应的决策树。此外，模型的凸性保证了通过PHA求解得到的是全局最优解。最后分别通过两阶段与多阶段模型，以及多阶段风险中立模型与风险规避模型的数值实验对比，验证了所建模型和求解算法的有效性。