实验操作让思维看得见，数字才能符号化

吴国庆

[摘 要]根据皮亚杰等人的研究，儿童直到具体运算阶段后期（11-12岁）才会形成一定的逆向思维和平衡观念，即代数思维要等到这个时候才能成熟。然而，通过设计数学实验，可以将抽象的思维于操作流程中外显，让低年段学生也能够运用数学视角思考问题，形成初级的代数思维。

[关键词]代数思维;同化;思维可视化;符号化

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2022）02-0030-03

在一次家长开放日中，一位一年级的家长反映，自己的孩子对“20以内加减法”早已手到擒来，但是遇到变形算式“□=2+4”时，孩子居然束手无策。她的言下之意是，既然孩子会做“2+4=□”，那调换等号左右两边的内容后也应该会做。那么，“2+4=□”“□=2+4”这两个式子真的一模一样吗？其实，虽然两个式子的字符一样，但是解题的思路却是互逆的。对于“2+4=□”，就是将两个数字通过加法合并成一个数，这是典型的加法运算，是顺向思维;对于“□=2+4”，则是将一个未知数拆成两个数的和的形式，运用的是加法的逆向思维，这对一年级学生来说是有难度的。

一、追根溯源，理论研究

等式左右平衡的观念其实就是代数思想。学生从具体的算术思维跨度到抽象的代数思维困难重重。一方面，具体数字的表象根深蒂固;另一方面，代数思维的体验和情境太少。代数思维的教学应从何时开始？按教材设计，学生要等到五年级学习用字母表示数时，为了顺利学习方程才开始初步接触代数思维。那么，可否在低年级学习数字运算时交织渗透代数思维？

路易斯·拉弗德研究发现，低年级学生可以部分理解以及表层接受非符号化的代数思维。可惜，他只提出这种可能性的设想，却没有找到可靠的措施去实现学生的代数思维的发展。国内学者张丹则从另一个角度给了我们提示：学生排斥代数思维的原因，主要在于他们习惯将等号看成是导出结果的流程性符号，而不是连接相等关系的连接符号。换言之，我们不妨从等式的意义着手来开发学生的代数思维。等号的意义究竟是什么？它具有什么功能？大多數学生觉得等号只是导出计算结果的流程性符号，如加、减、乘、除运算的结果都用等号导出。其实，等号的价值远不止于此。首先，等号是没有方向性的，既可以从左看到右，也可以从右看到左。其次，等号两边的性质都是一样的，如方程里的等号、化学方程式里的等号都是等价的意思，也就是左右两边具有同等效应。但是这种观念在学生心目中很难根植，学生一见到等号就会联想到左边是运算、右边是结果，这样一来，遇到分解数字的题目就束手无策了。另外，“2+4=□”“□=2+4”这两个式子里的等号还涉及集合映射概念，如“2+4=□”，左边的算式集合具有多个元素，右边的数字集合只有一个元素，学生容易接受这样多对一的聚合状映射。反过来，如“□=2+4”，左边的数字集合只有一个元素，右边的算式集合有多个元素，一对多的离散状映射呈现不确定性，学生接受起来有难度。

二、实验过程

等式的理解对低年级学生来说是难点，教师的教学需要生动有趣，并以直观的实验探究为主。本校开发了《数学实验》的校本课程，正好为本次研究带来了契机。结合家长的反馈，本校数学教研组开展了“玩转数字天平”的数学实验课。

1.实验前测

5+3=2+□    1+□=6+3        □=5+5

7+2=□+4    9=□+□+□    □+□=□+□

2.数学实验课

时长：60分钟。

实验目的：渗透和培植等式的平衡意义。

实验材料：模拟数字天平、若干金属螺栓。

【实验一】认识天平，记录“平衡”。

（1）教师可以先隐去数字，从生活中的跷跷板引入，让学生了解天平的功能和工作原理。教师出示实验材料，并提问：“用2个相同的螺栓，怎么配置可以让天平稳定在平衡状态？”学生操作后得知，只要2个螺栓离支点距离相等，天平就能稳定在平衡状态。学生根据总结出的规律，将螺栓数量用数字代替。教师再次引导提问：“这时天平怎样可以稳定在平衡状态呢？”学生经过数字推演，发现只要左右两边数字相等，天平就能达到平衡状态。

（2）教师提问：“天平平衡时，如何描述和记录这个摆放情形？”学生尝试用各种图标、符号表示。果然如路易斯·拉弗德所说，低年级学生仅可以部分理解以及表层接受非符号化的代数思维。

（3）教师介绍“=”，用等号可以表示左右两端的平衡关系，如1=1，2=2，3=3，…，10=10。

【实验二】当天平左边放置6个螺栓时，右边怎么放螺栓，天平才会达到平衡状态？

（1）教师边操作边引导：“若左边放置6个螺栓，右边放置2个螺栓，要使天平稳定在平衡状态，接下来该怎么放？”实验探究的长处展露无遗。如果仅仅纸上谈兵让学生思考6=□+□，学生容易浅尝辄止，而实验游戏就不同，学生可以不断尝试、反思和调整策略。实验中，有学生这样做，左边放置6个螺栓，右边已有2个螺栓，尝试在右边添加6个螺栓，发现天平向右倾斜，于是下调到5个、4个，直到平衡。在反复的操作、记录、对比、推理、猜想和验证中，学生发现了只要天平两边的螺栓总数相等，即都为6个，天平就能稳定在平衡状态，可以用“=”连接。式子6=2+4，左边的数字“6”和右边的数字“2”“4”表示两种承重意义，等号在此处表示达到左右平衡，而不是导出计算结果的作用。

（2）交流与反馈。通过交流与反馈，学生厘清了思绪，并找出了其他平衡状态：6=1+5，6=2+4，6=3+3。

【实验三】假设有20个螺栓，应该怎么放置，天平才会达到平衡状态？

通过前两轮实验，学生渐渐摸出规律：只要天平左右两边的螺栓总数相等，天平就会平衡。现在一共有20个螺栓，怎么分配，天平才会平衡呢？这一轮实验有附加要求：①先设想左右各放多少个螺栓，天平才会平衡;②把设计的数字分左右两侧记录下来;③在模拟平衡实验中，如果数字天平平衡，就在中间画“=”。将20个螺栓放到天平两端，可以形成多少个等式？这个实验在三个班级试点，课堂氛围超出预设。有学生在天平左边放10个螺栓，右边分两堆放入（3+7）个、（4+6）个、（5+5）个;有学生在天平两边各放10个;还有学生在天平左边分两堆放入（3+7）个、（8+2）个，右边分三堆放入（3+3+4）个、（3+5+2）个……60分钟的实验课结束，学生意犹未尽。

回归本源，学生在理论和心理上难以接受等式的平衡性，那么就只能返璞归真，从基本的平衡工具——天平的平衡实验出发，让学生直观感受天平的平衡原理以及操作技巧：无论放置的是何种物品，无论是何种码放形态，只要两边等重，就可以让天平平衡。这就最大程度地揭示出等式的性质以及等号的真谛。特别是通过固定一端的物品，而不断调整另一端的物品数量组合情况，甚至同时调整两端的物品数量，让天平从倾斜状态逐渐调整到平衡状态。在这个过程中，学生再次体会到，左右两边谁也不是主导，谁也不能主宰谁，谁也不是固定的“秤砣”，谁也不是谁的数值之和，二者在性质、身份、本质上均是平等的。类比到等式中，所有左右两边相等且用等号连接的式子都是等式，不论有没有实际意义，如1=1，3+7=2×5，20÷5=2×2，9=3+6，这些都是合格的等式。只要学生严格遵循这一条，那么任何拆数分解的题就可以迎刃而解。

三、实验反思

1.数据收集

随后，我们开展后测，试题与前测相同。全班36人，前、后测数据对比如下。

数据显示，通过实验操作后，学生的认知水平直线上升。

2.反思分析

小学生和成人在思维上存在较大差别，反复讲解并不利于学生接受和理解知识，原因是他们头脑中的思维表象太少，可用的假想材料寥寥无几。按照皮亚杰的理论，儿童的思维是在与周围现实环境的互动中不断积累的，外部世界直观投射的映像塑造着学生的认知结构。儿童思维与环境映像的相互作用有两大基本环节：同化与顺应。

当儿童能用现有思维同化异质信息时，就是内外平衡的状态（同化）;反之则代表内外平衡被打破，此时就需要建立新思维构架来容纳外部刺激，以达到新的平衡（顺应）。儿童的思维水平就是在不断同化和顺应的良性循环中逐步建立的。那么，实验中如何催動思维的顺应与同化呢？无疑，数学实验是首选。在实验操作中，学生会不断让实验结果朝着自己的固有认知方向发展（同化），假如实验结果出人意料，学生就会调整思维，重新预设结果（顺应），直到结果符合自己的构想为止。

在实验中，学生的第一层意识是“同数即等式”，如1=1，2=2，3=3……一般常见的天平是等臂杠杆，只需在天平左右两边各放一堆物品，就能达到“一对一”平衡。而上面的实验，物品是分堆放置的，需重新建立“一对二”“二对二”“二对三”形式的平衡。用天平做这个实验有两个优势：一是维持总量持平;二是非常直观，左右两边谁也不是谁的结果，它们只是一种对等关系。平衡的状态可以用等式表示，直观现象直接数字化。

学生的第二层意识是“等量即等式”。当天平左边放置一堆6个螺栓，右边的两堆螺栓各设置多少个，天平才会平衡呢？原先“放同一个数”的固有认知被打破，学生尝试实验，先确定一堆有5个，另一堆通过调试：4→3→2→1，天平的倾斜角度逐渐缩小，直到放置1个时，天平平衡了！学生记下第一个等式：6=5+1。在实验中，学生通过观察、预估、思考和操作，成功记录第一个等式。整个过程，由于不断调整思路与修改操作，抽象思维外显为操作步骤，认知过程的同化与顺应不断交迭，学生的思维能力得到了内化。

学生的第三层意识是突破“总和相等即等式”。当实验增加到用20个螺栓时，要求两边均不少于一堆，怎么放天平才会平衡呢？新的异质信息出现，学生的潜能被激发出来。有学生在左边放两堆，在右边也放两堆，如2+8=4+6，1+9=3+7;有学生在左边放两堆，在右边放三堆，如2+8=1+3+6，3+7=2+5+3，等等。学生发现只要左右两边螺栓的总数相等，天平就会平衡，其结果就能数字化为等式。在这样的数学实验课中，学生意识到每个数字都可以自由变动，结果不是唯一的，只要两边各堆加起来的和相等即可，数值并不重要，它只是一个抽象的符号，要淡化数字的“绝对值”，突显其“符号化”。

实验操作永远是掌握真知的康庄大道，但是，如果仅仅通过单调的操作，就对新知识、新规律、新概念进行直观演示与赤裸披露，这样对学生产生的冲击力过大、过猛。学生接受暴风雨式的洗礼，一时难以适应，导致新知进入原有认知结构产生排异反应，这就是所谓的异质结构。学生习惯将等号看成是计算结果的导出标志，如果突然来个180°大转弯，不由分说地证明等号是平衡的标志，学生在遇到相关题目后，不知如何是好，就会产生激烈的思想冲突，说不定原有的偏执会报复性反弹，他们会更加顽固地认定，等号就是计算结果的导出标志，只是算式和得数调换了位置。只有在学生原有的认知结构中找到同质成分，将外来观念一步步同化，才能被学生顺利接受，且毫无违和感。要做到这种理想的同化吸收，还得依靠天平的演示类比，只不过此时的操作已经不是彼时的操作，而是带有理性思考的求证性操作。

这样的数学实验课叫好又叫座。教师不用多费唇舌，可以放手让学生尝试。只有在实验中才有同化与顺应的机会，思维才能得到发展与提升。实验的优势在于操作步骤可以直观反映思维过程，操作有直观、确定、权威的结果，而操作的结果又可以反馈给思维，得到检验，如此不断循环往复，思维层层攀升，把儿童代数思维的发展变得切实可行。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 梁春梅.数学实验“数学化”途径探索[J].基础教育研究，2021（05）.

[2] 陈燕.浅谈小学数学实验工具的开发和利用[J].小学教学研究，2021（10）.

[3] 糜红玲.浅谈小学数学实验材料的开发和应用[J].新教育，2021（23）.

[4] 李国敏.数学实验教学在小学数学课堂中的应用[J].天津教育，2021（27）.

[5] 刘怡.数学实验助力小学数学课堂教学[J].新教育，2021（29）.

（责编 李琪琦）