解答数列最值问题的三种措施

王丽君

数列最值问题往往具有较强的综合性，常与函数、不等式、平面几何、向量等知识相结合.求解数列最值问题，需先运用等差和等比数列的通项公式、性质、前 n 项和公式求得并化简目标式，然后采用合适的措施求其最值.那么，有哪些措施呢？下面结合实例予以介绍.

一、利用数列的单调性

数列作为一种特殊的函数，具有单调性.如同求函数最值问题的思路一样，可以先判断出数列的单调性，然后根据数列的单调性来求最值.判断数列的单调性，往往要将数列的前后项 an 、an +1相减或相除，以比较前后项之间的大小关系，若 an > an +1 ，则函数单调递减；若an < an +1 ，则函数单调递增.

解答本题，要先根据等比数列的前 n 项和公式求得 bn 的表达式；然后将 bn +1、bn 作商，从而判断出数列的单调性；再根据n 的取值情况和数列的单调性，找出数列的最大项.利用数列的单调性是求解数列最值问题的简便方法之一.

二、运用基本不等式

基本不等式是解答最值问题的一种重要方法.在求解数列最值问题时，可将目标式化为两项之和或积的形式，并使其中之一为定值，便可根据基本不等式求得目标式的最值.在運用基本不等式求最值时，还需要确保“一正”“二定”“三相等”的条件成立.

例2.设 bn =2n ，试求 f（n）=（n ∈ N ）?的最大值.

变形后的目标式的分母中含有 n、两式的和，且其积为定值，而两式都为正数，可以运用基本不等式求最值.需要注意的是，在求得最值后，还要检验等号成立的条件是否满足题目要求.

三、数形结合

由于数列是一种较为特殊的函数，而函数有数与形的双重特征，所以在求解数列最值问题时，可画出数列的图形，通过数形结合来求最值.值得说明的是，数列的图形是由一些孤立的点构成的，因为其定义域为 N .在图形上找到一些临界的位置，如最高点、最低点、切点、交点等，据此建立关系式，即可解题.

解答数列最值问题，要仔细研究数列的特点、规律、性质，从不同方向与角度进行思考，力求寻找到最简便的方法，以达到高效解题的目的.

（作者单位：江苏省包场高级中学）