基于L1最小范数法的波束形成方法参数研究

毛 锦，孙 健，刘 凯，刘 江

（西安理工大学 机械与精密仪器工程学院，西安 710048）

波束形成方法是一种基于传声器阵列测量技术的声学前沿技术，其利用阵列信号处理方法对噪声源进行识别、定位，并对空间声场进行可视化处理[1–2]。Donoho、Candès 及华裔数学家Tao 等提出并发展了压缩感知理论[3–7]，其原理在对稀疏信号进行线性测量时，进行次数较少的数据测量，利用重构算法精确恢复原始信号。将压缩感知重构算法应用到波束形成领域，可以准确识别声源的位置，比传统波束形成技术更具优越性。

一些基于压缩感知的波束形成方法已经被开发出来，用于声源识别问题。Zhong等[8]基于采样多变量矩阵，假设空间稀疏和非相干信号，然后使用模拟和气动声学测量进行检验，开发了一种压抑感测波束形成方法CSB-II（Compressive sensing beamforming method）。仿真结果表明，所提出的CSB-II方法对传感噪声具有高鲁棒性。此外对起落架模型的气动声学测试中分辨率和旁瓣抑制方面具有良好性能。Wei等[9]将压缩感知扩展到阵列波束形成应用，假设空间稀疏且稀疏的声源，提出了两种算法CSB-I和CSB-II。使用模拟和气动声学实验来验证两种算法。仿真实例表明，CSB-I算法受传感噪声影响较大，CSB-II算法对于噪声测量更具鲁棒性。此外，飞机模型的气动声学测试证明了CSB-II算法在分辨率和旁瓣抑制方面具有更好的效果。时洁等[10]针对噪声源近场定位识别问题，利用声源分布在空间域具有稀疏性的特性，在压缩感知理论框架下建立了新体系的矢量阵聚焦波束形成方法，用于解决同频相干声源的定位识别问题。新方法可在小快拍下准确获得噪声源的空间位置，且不损失对噪声源贡献相对大小的评价能力。通过详细的理论推导、仿真分析和试验验证，证明了基于压缩感知的矢量阵聚焦定位新方法本质上实现了L1 范数正则化求解下的波形恢复和空间谱估计，因此具有较高的定位精度、较强的相干声源分辨能力、准确的声源贡献相对大小评价能力以及较高的背景压制能力，可应用于水下复杂噪声源的定位识别。

利用L1范数法求解波束形成，既提高了波束形成方法的识别精度，又缩短了算法的运行时间。但由于L1范数法中约束参数需要根据经验取值，选取难度大，且需经过很长时间的试值才能取到合适的值。为解决此问题，建立声源识别模型，对基于L1最小范数法的波束成形方法进行详细的理论推导，分析不同声源距，声源频率，信噪比和阵列孔径对约束参数的取值影响。

1 理论分析

1.1 延时求和波束形成

延时求和波束形成就是选择不同的加权矢量，通过延迟操作处理每个麦克风阵列元件所测量的信号，以补偿每个阵列元件的传播延迟，并且使声源信号到达麦克风阵列方向相同，产生空间响应的最大值，从而实现声源的定位功能。式（1）为延时求和波束形成的表达式：

其中：B(jω)是波束成形的输出，ωm是各个麦克风信号的一组加权系数，M是麦克风的数量，k是平面波入射的波数矢量，rm是第m号传感器到声源点的距离。Pm(ω)是第m号传声器测量声压：

其中：P0是声源的声压，k0是入射方向与聚焦方向不同的平面波波数矢量。

将式（2）代入式（1），可得：

考虑多声源和噪声干扰的情况，式（3）可转化为：

其中：Bi是第i个传感器的测量值；Wik是第i个传感器和第k个声源之间的转向矩阵；Pk是第k个聚焦点的声源信息，Ni数据采集期间的外部干扰和电子噪声。

简化方程（4）可得：

其中：W∈ℜM×N是转向矢量矩阵；P∈N×1是声源信息向量；N∈M×1是噪声信息向量。

1.2 压缩感知重构算法

压缩感知理论打破了奈奎斯特采样定理，有效地弥补了传统采样定理在现实中的应用问题，使得信号在采集、传输及储存方面的压力大大减轻。压缩感知的原理主要由3 部分组成，首先是将所采集的信号进行稀疏表示，其次是构建出合适的感知矩阵，最后是能够恢复稀疏信号。信号重构算法是压缩感知理论的核心，是指由长度为M的测量向量y重构长度为N(M≪N)的稀疏信号x的过程。目前求最优解的常用算法包含最小L1 范数法[11–12]、贪婪算法[13–14]和迭代阈值[15–16]等。

信号的重构过程最早采用传统的L2 范数作为约束，利用此方法虽然能够得到这个优化问题的通解，但这个通解并不是我们所求的稀疏解。为得到优化问题的稀疏解，采用最小L0 范数来代替L2 范数，如式（6）所示：

其中：x是所求信号；ϕ是感知矩阵；y是测量数据；ε是约束参数；‖·‖i表示i范数。

利用L0范数法求解最优化问题，具有一定的复杂性和不稳定性，为避免L0范数法求解所带来的弊端，故采用L1范数法求解来代替L0范数法求解，得到另一种最优化方法L1 凸优化。通过范数最小化将稀疏信号表示问题定义为一类有约束的优化问题，进一步转化为线性规划问题求解，该方法的原理是在每一次的迭代过程中，寻找到最佳的匹配原子基。如果考虑重构误差，上述问题可以转化为最小L1范数问题，如式（7）所示：

2 模型建立

建立声源识别测量模型。如图1所示，声源面XOZ中分布了k个相干声源，测量平面X′O′Z′内分布M个传感器测量阵列。声源信号是自然的空间稀疏信号，将声源面划分为N(M≪N)个空间网格，声源信号与其空间位置一一对应，实现声源信号的稀疏表示。

图1 声源识别测量模型

将压缩感知重构算法的思想应用于波束形成方法的求解，利用测量平面X′O′Z′中M个测量数据重构出声源面XOZ中N个空间网格的声压信号。将L1范数法应用到延时求和波束形成方法中求解，即利用式（7）求解式（5），结果如式（8）：

本文采用CVX工具箱进行求解。

采用L1范数法求解波束形成方法，不仅能提高波束形成方法的识别精度，也能缩短算法的运行时间。

3 数值仿真

3.1 算法性能

为验证基于L1 范数法的波束形成方法声源识别性能，利用MATLAB软件对函数波束形成方法和基于L1范数法的波束形成方法进行对比仿真分析。对不同频率的单极子声源进行仿真，声源平面大小为1 m×1 m，将声源平面离散成点间距为0.012 5 m大小的离散平面，在声源平面内布置单极子声源，位置坐标为（-0.3，0，1）m，单极子声源有效声压为100 dB。在距声源平面1 m 处设置测量平面，测量面上布置7×7的正方形传声器阵列，间距为0.1 m。

分别绘制基于L1范数法的波束形成和文献[17]提出的函数波束形成算法在声源平面上的声压强度分布图。其中函数波束形成阶次取8。声源成像结果如图2所示。

图2可知两种声源识别方法均能够识别出目标声源，对比图2（a）和（b），1 500 Hz时，相对于函数波束形成，基于L1范数法的波束形成方法在抑制旁瓣的基础上缩减了主瓣宽度，提高了声源识别的精度，说明基于L1 范数法的波束形成方法在声源识别过程中具有较高的识别精度和良好的分辨率。

图2 声源识仿真图

分别统计函数波束形成方法和最小L1 范数法波束形成在精准定位前提下不同频率的运行时间，如表1所示。

表1 不同频率下两种算法运行时间表单位：t/s

结果表明最小L1 范数法比函数波束形成求解方法可以节约45%～65%的运行时间。

3.2 信噪比与约束参数的关系

研究信噪比与基于L1 范数法波束形成方法参数之间的关系。设定传感器阵列为7×7 均匀阵列，信噪比设定为0 dB、10 dB、20 dB、30 dB和40 dB，声源距离设定为1 m，声频率设定为500 Hz、1 000 Hz、1 500 Hz、2 000 Hz、2 500 Hz、3 000 Hz、3 500 Hz时，研究约束参数ε在不同信噪比和不同声源频率取值情况下的变化趋势。

图3所示为在精准定位时，不同信噪比下，随着声源频率的增加，约束参数的变化趋势。在信噪比相同的情况下，约束参数随着频率的增加而缓慢增加；相同的源频率下，信噪比越大，约束参数越小。信噪比在0 dB 到10 dB 之间时，声源频率变化导致约束参数变化范围较大，信噪比在15 dB到40 dB范围内，声源频率变化导致约束参数变化范围较小，取值集中，选择难度不大。

图3 约束参数与信噪比关系图

3.3 声源距离与约束参数的关系

研究声源距离与基于L1 范数法波束形成方法参数之间的关系。设定传感器阵列为7×7均匀阵列，信噪比设定为0 dB，声源距离设定为1 m，声源距离设定为0.2 m 到1 m，间隔为0.1 m，声源频率设置为500 Hz、1 500 Hz、2 500 Hz 和3 500 Hz，研究不同声源距离和不同声源频率下约束参数ε之间的关系。

图4所示为在精准定位时，不同声源距离下，随着声源频率的增加，约束参数的变化趋势。对于相同的声源频率，约束参数随着声源距离的增加而减小；对于相同的声源距离，随着声源频率的增加，约束参数趋于变小。当声源距离在0.5 m以内时，约束参数的值波动很大。使用L1 规范波束形成方法进行声源识别时，应将目标声源与测量阵列之间的距离设置为大于0.5 m。声源频率变化导致约束参数的变化范围较小，取值较为集中。

图4 声源距离与约束参数关系图

3.4 阵列孔径与约束参数的关系

研究阵列孔径与基于L1 范数法波束形成方法参数之间的关系。设定信噪比为0 dB，声源距离为1 m，传声器阵列阵元分别设置为8×8、7×7、6×6 和5×5 均匀阵列对目标声源进行测量，研究约束参数在不同阵元数目和不同声源频率的变化趋势。

图5显示了在精确定位过程中，不同声源频率下，随着阵列数目的变化，约束参数的变化趋势。对于相同数量的阵列，约束参数随着声源频率的增加而缓慢增加，对于相同数量的声源频率，约束参数趋于随着阵列数量的增加而变小。当使用L1 范数波束成形方法进行声源识别时，应选择阵元数目为49的测量阵列，增加阵列的数量，约束参数变化趋势并不明显，增加成本；减少数阵列数量，声源频率变化导致约束参数变化范围较大，难以取值。

图5 阵列数目与约束参数变化图

4 结语

本文建立了压缩感测波束形成的声源测量模型，并对该方法进行了详细的推导，结合MATLAB数值仿真，结果表明：基于L1 最小范数的波束形成方法具有比传统波束形成方法更高的识别精度、分辨率和更短的运行时间。使用L1 范数波束成形方法进行声源识别时，信噪比选取范围为10到40 dB，测量距离应大于0.5 m，测量阵列选取49阵元阵列，约束参数的变化范围小，取值较为容易。为基于L1范数法波束形成方法的参数选取提供了参考，减小了参数选取过程中的困难，为算法研究提供便利。