积累数学活动经验 提升数学思维深度

宋阳 王丹

摘 要 数学活动经验是数学课程标准强调的“四基”之一。有效的数学活动经验要充分蕴含具体的数学思想方法。典型数学问题常常蕴含转化思想方法和解决问题的通性通法，关于求点坐标的几何与代数综合题充分体现转化思想方法。利用题设条件寻找相似三角形问题是问题解决的难点，通过典型例题帮助学生积累相关经验，形成解题方法。

关键词 转化 相似三角形 数学活动经验

几何与代数综合题是初中数学覆盖广、难度高、信息量较大的一类题型，学生往往难以在短时间内找到切入点。其中的难点在于如何有效构造相似三角形。为此，教师常常引导学生构造“A”字型相似三角形或“8”字型相似三角形。本文以“奇妙的平行线”微专题设计为例，通过学生自主探究与教师点拨的方式，积累有效经验充分感受转化思想方法和构造相似三角形的通法，破解构造相似三角形的难点。

一、教学目标

1.通过亲历解题过程，学生进一步体会转化思想。（1）在直角坐标系中，会将点的坐标转化为线段问题;（2）会将求解线段长转化为相似三角形问题，即利用平行线构造相似三角形。

2.通过亲历解题过程和解题方法的反思，学生能够优化相似三角形的构造过程。即结合已知条件，选择或构造可求边长的相似三角形。

3.通过亲历解题过程，学生学会分类、整理和总结，培养学生的理性思维。

二、设计理念

《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调，基本数学活动经验是数学教学的重要目标之一。数学活动经验，既包括如何从数学角度观察客观世界并提出数学问题这类引领数学发展的经验，也包括解决数学问题的经验。对于初中生来说，解决问题经验是抽取数学思想方法不可或缺的基础，因此需要通过典型题目帮助学生积累经验[1]。

基于金字塔学习理论，数学活动经验的获取途径主要是通过学生独立与合作的方式，亲历问题解决过程，而不是教师直接告知[2]。因此，本节课主要以学生独立思考和合作探究的方式完成教师提出的典型问题。

三、教学过程

1.基础题目：获取初步经验，初步理清利用转化思想的解题思路。题目1：如图，A点坐标为（-2，0），直线y = 2x + 4与x轴、y轴分别交于A、C两点，若点P是线段AC上的一个动点.当[CPCA]=[13]时，则点P的坐标为              。

思路探求：依据点的坐标的概念，求点P坐标，需要知道点P到坐标轴的垂线段长。当作出点P到坐标轴的垂线段时，就会出现了图2或图3。此时，求点P坐标问题转化为在图2或图3中求垂线段PH或PK的长度问题。一般来说，求线段长度的方法很多，其中利用欲求线段所在三角形与其他三角形相似（全等）是重要方法之一。若利用该方法，需要找出满足下列条件的另一个三角形：一是欲求线段与另一三角形已知长度的边对应，且这两个三角形相似。

在寻找相似三角形过程中，其难点是结合充分已知条件去寻找，能说明欲求线段所在三角形和与之相似三角形。在图2中，欲求线段所在三角形为△CPH。由于PH∥x轴、[CPCA]=[13]，因此，容易发现与△CPH相似的三角形△CAO，且AO和CO都是可以求得的。至此，找到了符合要求的两个相似的三角形。

同理，可以在图3中寻找到两个相似三角形。

基于上述解题思路分析，求点P坐标的重要经验：一是将求点P坐标问题转化为求点P到坐标轴的线段长;二是将求线段长问题转化为三角形相似问题;三是寻找相似三角形。其中寻找合适的相似三角形是解决问题的难点。

2.合理变式：强化经验，充分结合已知条件破解关键性问题。题目2：若点P是线段AC上的一个动点，B点坐标为（1，0），直线BP交y轴于点E，当[PEBE]=[12]时，则点P的坐标为      。

思路探求：基于题目1的经验，首先要把点P坐标问题转化为求线段长问题（求PH、PK的长）;其次，寻找两个相似三角形，一个三角形是欲求线段所在三角形，另一个三角形要与之相似且与欲求线段对应边长度为已知或可以求得。以图4为例，图4中PH为欲求线段，其所在三角形有两个，分别是△CPH、△EPH。但究竟要选择哪一个三角形，并以此三角形去寻找另一个相似三角形，是问题解决的关键一步。由于已知条件给出了[PEBE]=[12]，因此确定△EPH为欲求线段PH所在三角形。又由于[PEBE]=[12]、PH∥x轴，且与PH对应线段OB长度可求，所以可以确定△EBO为另一个所要寻找的与之相似的三角形。

同理，在图5中，可以求得PK的长。

通过题目2的解决过程，再一次强化了题目中积累的活动经验：点的坐标问题可以转化为点到坐标轴垂线段的问题，进而又转化为三角形相似问题，即寻找含有欲求线段所在三角形和与之相似的三角形问题。在选择两个相似三角形的时候，要充分结合题目所给条件和隐含条件，比如本题中过点P的垂线段平行于坐标轴。

3.再度变式：丰富经验，探求多种思路深化对解题规律的认识。题目3：（1）已知抛物线y=ax2+bx+c（[y=-2x2-2x+4]）經过A、B、C三点，若点P是线段AC上方该抛物线上的一个动点，PB交AC于点F.当[PFBF]=[13]时，则点P的坐标为              。

思路探求：基于题目1和题目2积累的经验，首先还是将坐标问题转化为点P到坐标轴的垂线段;其次，寻找两个相似三角形。

寻找相似三角形有多种方法，每一种方法都展现出不同思路：

思路1：基于题目1和题目2中建构相似三角形的经验，确定PK所在三角形为△PKB，再结合题目条件：[PFBF]=[13]，可能联想到作点F到x轴垂线段（图6），从而构造出两个相似三角形△PKB和△FGB。但由于FG未知，所以不能直接求得PK。这一点与题目1和题目2的不同之处。不过进一步分析可知，由于在直角坐标系中，点P和点F分别在两个函数图像上，且[PFBF]=[13]，所以点F坐标可有点P坐标表示。又根据△PKB∽△FGB，可以借助[KGBG]=[13]列出一个二元一次方程组，从而问题得以解决。

思路2：与思路1相似，结合题目条件：[PFBF]=[13]，作PM∥x轴交直线AC于M，如图7，易得△PFM∽△BFA，导出[PMAB]=[PFFB]，AB易求，进而可求出PM。设出点P坐标，利用点平移的坐标规律表示出点M坐标，点M在直线y=2x+4上，从而点P坐标可求.

思路3：结合题目条件：[PFBF]=[13]，作PK∥y轴交x轴于K，容易找到PK所在三角形为△PKB。但如何寻找或构造另一个与之相似的三角形？基于思路二的经验，再一次结合题目条件：[PFBF]=[13]，可以联想到构造以BF为边的三角形，且构造的三角形中与PN对应的边长可求。由此进一步联想到，作BT∥y轴交直线AC于T，如图8，易得△PFN∽△BFT，导出[PNBT]=[PFFB]。由于BT可求，所以可求得PN，进而利用解析式，点P坐标可求.

思路4：作PQ∥AC交x轴于Q，如图9，易得[BQBA]=[PBFB]，AB可求，点Q坐标可求，PQ∥AC，PQ关系式可求，由PQ关系式和抛物线关系式联立可求出交点P坐标.

4.探讨交流：集思广益，归纳总结经验方法提升解题效率。通过以上四种方法的探索过程，我们不难发现，同样是借助平行线构造相似三角形，但对于后继解答的复杂程度却不尽相同，进而引发学生思考，是否能摸索出一种数学规律，使得我们在构造相似三角形时可以化繁为简、提高做题效率呢？于是学生开展小组内和组间的交流，总结出四种方法同样借助平行线构造相似三角形的原则，但仔细观察已构造的相似三角形，我们不难发现，相似三角形中利用的已知条件越多，后续的解法就越简单。进而教师可以总结出如下规律：在选择或构造相似三角形时，要让两个三角形中尽可能多包含已知顶点和已知线段，那么后继推演步骤就少，计算也会更加简便。

四、反馈训练：能够在不断变化中灵活运用

1.已知二次函数y=[12x2-3x-8]，其图象经过点A（-2，0），B（8，0），且经过点C（6，-8），点D（0，n）在y轴负半轴上，直线BD与OC相交于点E，当OD=OE时，求n的值.

设计意图：进一步理解构造相似三角形时添加平行线的巧妙之处，尤其是在解决灵活性较强的题目时，体会这种方法的巧妙之处，如图10。

2.如图11，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（6，0），点B（-4，0），点C（0，3）动点P由点B以每秒1个单位的速度向终点C匀速运动，同时，动点Q也从点B出发，沿x轴以每秒1个单位的速度向点A匀速运动，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t>0）当点C到直线PQ的距离等于2时，请直接写出t的值。

设计意图：将变式题型的训练持续融入复习课教学，学生对数学本质的理解需要在问题、条件的不断改变中灵活培养。题1相较前者取消了线段之比的条件，进一步减少学生“生搬硬套构三角”的现象，学生需通过一定思考方可作CQ∥AC交x轴于Q，进而证明△ODE∽△OQC，依靠关键条件“OD=OE”求出Q点坐标，最终利用平行关系解决问题，如图10。通过本题，既能为学生提供新的解题思路，也可以考察学生旧知识点的掌握程度。题2的动点由一个变为两个，同时引入物理中匀速运动的概念，进一步提升了试题难度，可以综合考察学生的核心素养和对知识点的掌握程度，在恰当的分层策略中达成教學目标。

五、教学反思：从经验积累到明晰方法

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维。借助代数与几何综合问题，使学生不仅通过数学问题积累解题经验，更重要的是从经验中提炼解决问题的通性通法，掌握数学思考的规律性，从而引导学生从繁重的题海中走出来，减轻课业负担。

此外，要让学生掌握恰当的数学学习方法，这就要求教师在教学组织方面充分重视过程与结果的关系，将层次性与多样性问题呈现在学生面前，给予学生足够的时间去猜测、计算、推理和验证。只有这样，学生才能在短时间内高效率积累经验并从经验上升到思想方法层面，把握典型问题的本质。

[参 考 文 献]

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012：46.

[2]桑孟娈.“学习金字塔”理论在高中数学教学过程中的应用[J].数学教学通讯，2021（27）：53-54.

（责任编辑：杨红波）

作者简介：宋 阳（1979—），女，辽宁沈阳人，沈阳第七中学高级教师，研究方向：数学教育;王 丹（1973—）女，辽宁沈阳人，沈阳市沈河区教育研究中心高级教师，研究方向：数学教育。

基金项目：本文系辽宁省教育厅2019年度科学研究项目“‘U-R-S’协同下的中小学校本研修”（课题编号：WZD201902）实证研究成果，2020年度辽宁省经济社会发展研究课题“新时代辽宁省中学理科教师教研能力发展研究”（课题编号：2020lslktqn-063）的阶段性研究成果。

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