2021年高考数学上海卷第16题的多角度探究

安徽省肥东城关中学 (231600) 王东海

1 引言

2021 年高考数学上海卷第16题的题干简洁，没有繁冗的文字，和以往的选择题的最后一题比较，学生易想到使用构造函数和图像法，即它相对容易入题.但此题融入了众多数学思想与方法的考查，体现了对学生数学核心素养应用水平的较高要求，因而完成正确的求解并非易事．就笔者所进行的调查结果而言，本题的区分度好，不失为一道比较成功的选择压轴题．波利亚说：掌握数学就意味着解题，本文尝试从不同的切入点来分析解题思路，并给出几点启示.

2 问题呈现

已知x1、y1、x2、y2、x3、y3为六个不同的实数，满足①x1

A.2x2x1+x3,

3 解法赏析

分析1：由x1+y1=x2+y2=x3+y3知和为常数，设为k，再结合①、③两条件去推理.

评注：在代入③式后，使用基本不等式是解题的破冰之处.

分析2：不用基本不等式，也可通过作商比较大小的方法去处理.

分析3:考虑到x1+y1=x2+y2=x3+y3，也可换一个角度去假设.

评注：假设比较巧妙，解法简洁高效.

分析4：此题通过分析后，可根据其结构特点，通过构造函数去处理此题.

解法4：前同解法1，∵x1y1+x3y3=2x2y2,∴x1(k-x1)+x3(k-x3)=2x2(k-x2)，构造函数f(x)=x(k-x)，则上式

图1

评注:结合函数的图像去研究，显得直观易懂，体现了数形结合的解题思想.

分析5:此题如能同高数中函数凸凹性联系起来，则解题比较迅速.

评注：抓住函数的凸凹性去解题，简洁明了，比较节约时间.

分析6：选择题用特殊值法去解题，也可得到答案.

4 几点启示

4.1高数背景

解法5用到了高数中的部分知识，是六种解法中较简单的.事实上近年来的高考题往往有高数的背景，如高数中的泰勒级数、等价无穷小、洛必达法则、拉格朗日中值定理等时有出现，掌握了这部分知识可以很快给出解答，比如下列这两道新课标高考题.

A.a

C.b

例2(2010新课标理解题)设f(x)=ex-1-x-ax2≥0对x∈[0,+∞)恒成立，求a的范围.

4.2追本溯源

本题求解对思维有较高要求，其命题背景也与教材有着紧密的联系，贯彻了高考命题源于教材高于教材的理念.一般地，本题的通法是构造函数，再结合函数的图像观察即可得.其来源于人教版数学选修2-2第32页B组第1题：证明下面不等式：(1)sinx0,x∈(0,1).

5 结语

总之，加强“一题多解”的教学，既能培养学生的解题能力，又能使学生的核心素养的培养落地生根，且避免了学生陷入题海战术，从而收到良好的教学效果.正如罗增儒教授所言：“一个数学问题，如果我们只有一个解法，不管是自己想出来的还是翻答案看到的，都肯定会存在认识上的局限性，只有在得出二个或更多个解法之后，才会对问题的本质有真正的了解，通过解题而培养能力的目的也才有可能实现.”