“整体性教学”与“结构化教学”

郑毓信

摘  要：数学教学必须超越“碎片化教学”，帮助学生建构起整体性的认识，包括很好地掌握知识的整体性结构，并能逐步学会从层次的角度进行分析和思考.“分清主次，突出重点，以主带次”和“分清層次，居高临下，走向深刻”可以被看成这方面工作的关键;我们还应特别重视“总结、反思与再认识”的工作.

关键词：整体性教学;“辨”与“带”;“统整”与“提升”;结构化教学

强调“整体性教学”与“结构化教学”，主要是因为我们的教学是一节课一节课地进行的，但数学学习显然不应被等同于各个具体数学知识和基本技能的简单积累（这是“碎片化教学”的主要特征和最大弊端），而应超越细节建构起整体性的认识，包括很好地掌握知识的整体性结构，并能逐步学会从层次的角度进行分析和思考.

依据数学与数学学习的特点我们可以更好地认识“整体性教学”与“结构化教学”的重要性.

具体地说，“由少到多，由简单到复杂”，可以被看成数学发展（包括数学学习）十分明显的一个特点;但这又应看成认识发展的关键所在，即我们如何能够很好地实现“化多为少，化复杂为简单”. 再者，这显然也就直接关系到了数学抽象的基本性质：不同于一般所谓的“经验抽象”，数学抽象主要应被看成是一种“自反抽象”，也即如何能以已建立的概念或命题为对象实现更高层次的抽象，从而达到更大的认识深度. 显然，后者也可被看成为前面所提到的思维的“层次性”或“结构性”提供了具体说明.

进而，又如华罗庚先生的以下论述所表明的，所说的认识活动具有超出数学学习的普遍意义，尽管他使用的词语并不完全相同：由薄到厚是学习、接受的过程，由厚到薄是消化、提炼的过程;经过“由薄到厚”和“由厚到薄”的过程，对所学的东西做到懂，彻底懂，经过消化的懂，我们的基础就算是真正打好了.

还应强调的是，所说的工作具有重要的现实意义，特别是我们如何能够真正做好“减负增效”，而不是单纯地强调“减少课程深度，拓宽课程广度”，或是仅仅从“应试”的角度对此做出不恰当的解读.

以下则是这一方面的教学工作所应特别重视的一些问题.

一、“辨”与“带”

所谓“辨”，就是指我们应当跳出细节（也即各个具体的学习内容与每一节课），从更大的范围进行分析、思考，从而很好地弄清什么是重要的和不那么重要的，并在教学中真正做好“分清主次，突出重点”.

这就是我们应当特别重视“研读教材”的主要原因：教学要有“长远的眼光”，应该把教学过程的每个环节看作是这节课的一个局部，把每节课看作是整个单元或者教学阶段的一个局部，把每个教学单元或者教学阶段看作是整个小学阶段的一个局部. 我们给教师发整套教材，让每位教师先把整套教材的逻辑编排体系和编者的意图弄清楚，然后以章节为单位进行备课，逐步树立教师的整体观念，最后具体到每一节的备课.

与单纯地强调“减”不同，我们又应十分重视“带”这样一个关键字，即应当用“重点内容”带动“非重点内容”的教学，而不是简单地“一放了之”.

应当指出，小学教师在这一方面也已积累起了很多很好的经验. 例如，由于小学数学有很多内容十分相似或密切相关. 因此，我们就应很好地确定何者可以被看成这一方面的“种子课”，并应通过“种子课”的教学带动其他内容的教学，而不应将它们看成互不相干的，乃至一再地重复相应的过程. 进一步说，我们还应努力做到“以发展代替重复，以深刻促成简约”（俞正强语）. 后者也正是我们要强调的第二组关键词.

二、“统整”与“提升”

“统整”与“提升”的主要含义是：我们应当帮助学生超出各个具体内容建立起整体性、结构性的认识，从而不仅能够真正做到“化多为少，化复杂为简单”，而且能超越具体知识的学习，在思想方法与情感、态度和价值观的提升上都能有较大的收获. 显然，这意味着我们已经超出单纯的“减负”，走向了更高层次的“增效”.

由于学生在这一方面显然具有很大的局限性（这可被看成诸多“以学为主”的教学模式的主要局限性），因此，这也就是教师发挥引领作用十分重要的一个方面. 就中学数学教学而言，笔者以为，我们应特别重视帮助学生建立结构性的认识.

但应强调的是，对于所说的“结构性认识”我们不应从纯数学的角度去理解. 特别地，即是认为我们应当完全切断相关内容与现实世界之间的联系，并从纯形式的角度进行分析，乃至从更高层面揭示各种数学理论的整体性结构，因为这显然已经超出了中小学学生的认知水平. 总之，所谓的“教结构，用结构”应当被看成一个过高的要求;与此相对照，我们应当更加重视“结构性观念”的指导与渗透，也即应当切实做好这样一个工作：分清层次，居高临下，走向深刻.

例如，从实践的角度来看，这是特别重要的一项工作，即“特殊化方法”与“一般化方法”的学习和应用. 特别地，我们应从这一角度帮助学生很好地认识不同对象（包括结论和理论等）之间的联系，特别是如何对此做出必要的层次区分.

由以下分析，读者即可更好地认识切实做好上述工作的重要性：由于现行的数学教材采取了“混编”的方法，因此，有不少内容之间的联系被完全切断了，如各种方程（组）之间、方程与不等式之间的层次关系，以及各种三角形之间、三角形与四边形之间的重要联系，等等.

进而，从同一角度相信读者也可以很好地理解以下建议的重要性：我们不仅应当在教学中很好地使用“画图”这样一个方法，也应要求学生在学习数学的过程中积极地画图——画出自己的想法，画出自己的理解……（刘善娜语）. 当然，相对于一般所谓的“直观图形”而言，我们又应更加重视“流程图”与“概念图”的学习和应用，因为，借助于后者我们可清楚地认识不同对象之间的联系，包括如何对此做出一定的层次区分.

三、对于“总结、反思与再认识”的高度重视

无论先前所谈及的“自反抽象”，或是由“局部性认识”向“整体性认识、结构化认识”的过渡，都不可能单纯依靠知识或经验的简单积累就能实现，而是主要依赖“总结、反思与再认识”的工作. 对此，我们在教学中也应当予以特别重视.

当然，从教学实践的角度来看，相关工作又可说涉及更多的方面. 以下就是相关的两项研究.

案例1：“统整式单元教学”之简析.

所说的“统整式单元教学”，共包括这样六个相继的步骤或环节.

（1）单元开启课：以“陌生的情境任务”开启新单元的学习，让学生从内容、学法上“鸟瞰”整个单元，激发单元学习兴趣，进行整体架构，形成基本学法.

（2）主题活动课：将学习内容精心设计为活动主题，学生以小组形式学习，各自担当一定的角色，共同完成某一任务或解决某一问题.

（3）史料交流课：利用课前收集到的数学史料，在课堂上共享学习资料，重新进行意义建构，获得对数学史料的重新认知和对新问题的思考.

（4）专题练习课：设计新颖、有趣、富有挑战性的专题性练习任务，启发学生反思的练习过程和方法，变换问题角度与方式，将结论迁移运用于不同的场合，以达到更完整的认知结构.

（5）自主整理课：指导学生有序地整理学习任务，自主地预习、复习、巩固，建立符合数学学科特点的学习习惯与整理方法.

（6）长作业：建立在大跨度时间基础上的，能够体现知识与技能、思想与方法的综合的“长周期作业”，学生需要经历一段时间去完成.

笔者的看法是：如果集中于“整体性教学”和“结构化教学”，那么，在上述六个环节中，我们就应特别重视“自主整理”这个环节. 当然，相对于由学生自己进行整理和总结而言，我们又应更加重视教师在这方面的引领作用，这就对教师的专业水平提出了更高的要求. 其次，尽管“单元开启课”也很重要，但要真正实现“让学生从内容、学法上‘鸟瞰整个单元……进行整体架构，形成基本学法”恐怕并不容易. 毋宁说，在“单元教学”的开始阶段我们应当更加重视通过“核心问题的提炼与加工”很好地激发学生的“单元学习兴趣”，包括通过“种子课”的适当选择与教学为后续教学做好必要的准备. 最后，这是“单元教学”在中间阶段应当特别重视的一个问题，即我们应当如何做好“以发展代替重复”，也即应当集中通过新的学习促进学生认识的发展和深化.

案例2：聚焦“学习路径研究”.

“学习路径研究”是近年来在数学教育乃至整个教育领域中出现的一个新的研究方向. 例如，由全美数学教师理事会（NCTM）组织出版的《数学教育研究手册》（人民教育出版社，2021）就曾用了整整一章对此进行分析介绍，国内也有学者以此为指导开展了相应的教学实践：基于学习路径分析的数学教学.

我们应当如何看待上述工作？笔者的看法：相关研究有一定的合理性，特别是，从总体上说，这可被看成对于先前的一些片面性认识的必要纠正. 这也就是指，我们不仅应由单纯强调“过程”转向“目标为本”，也应清楚地认识到这样一点：除去对教学目标的清楚界定以外，我们也应注意研究在学习过程中什么是学生为了达到相应目标必须经历的实际“路径”.

进而，这里所说的“整体性认识”与“结构化认识”又可被看成为我们很好地把握“学习路径”提供了必要的理论工具. 相对于一般所谓的“学习路径”，特别是这一方面的细化分析而言，我们应当更加强调这样一点：学生的数学学习必定有一个逐步发展、不断深化的过程，对此往往还可区分出一定的“层次”或“阶段”，后者可被看成强调“学习路径研究”的主要意义所在，也即“对学生在学习或探索一个长时间跨度的主题过程中逐渐形成复杂思维方式的描述”（NRC）.

最后，相对于单纯强调理论学习和应用而言，我们又应清楚地认识到相关理论的假设性质，从而事实上也可被看成从又一角度更清楚地表明了加强“总结、反思与再认识”的重要性. 尽管在此所涉及的主要是教师和相关的研究者：先验学习轨迹总是假设性的……在儿童参与数学活动时，教师必须根据他们的互动创建儿童数学的新模型. 这也就是指，在教学和分析之前，教师或者研究者已经计划了一个假定的学习轨迹. 然而，实际学习轨迹就是在教学中共同产生的数学知识或者是研究人员回顾性分析的结果.

综上可见，“整体性教学”与“结构化教学”可被看成对数学教学提出了更高的要求，特别是，我们应努力做好这样几个工作.

第一，理清发展线索，突出“核心问题”. 应当强调的是，我们既不应将数学的历史发展等同于学生的认知发展，也不应将“日常认知”混同于逻辑分析，而应更加重视“数学史的理性重建”，以及由“日常认知”向逻辑分析的过渡.

第二，概念的梳理与“核心概念”的提炼. 例如，小学数学就应很好地突出“比较”和“度量”这样两个核心概念. 当然，正如前面所提及的，概念的梳理事实上也可被看成我们帮助学生建立“结构化认识”的关键.

第三，重要数学思想的梳理，即与学习内容密切相关的“概念上很强大的思想”与普遍性的数学思想方法. 正如中国旅美学者马立平博士所指出的，这意味着达到了更大的认识深度.

第四，突出“大道理”，真正做好“以大驭小”. 相对于前面所提到的核心问题、核心概念与重要数学思想，这里所说的“大道理”应当更加突出“大”这样一个关键字，也即应从更广泛的视角、更高的层面进行分析思考.

以下就是小学数学教学最基本的两个“大道理”.

小学关于“数的认识与运算”的教学不仅应当突出“比较”这样一个核心概念，从而帮助学生很好地掌握大小、倍数、分数、比等概念，也应帮助学生初步建立关于“数学结构”的整体性认识，特别是清楚地认识它的丰富性与层次性、开放性与统一性，并能真正做好“化多为少、化復杂为简单”，包括很好地认识数学与现实世界之间的关系.

小学几何的教学不仅应当突出“度量”这一核心概念，很好地发挥直观认知的作用，也应努力实现对于“度量几何”与“直观几何”的必要超越，即应当对图形的特征、性质及其相互关系的逻辑分析予以足够重视.

显然，我们也应对中学数学的学习内容做出相应的分析.

参考文献：

[1]张奠宙. 张奠宙数学教育随想集[M]. 上海：华东师范大学出版社，2013.

[2]赖配根，钱丽欣. 重建课堂：广东省佛山市第九小学教学变革侧记[J]. 人民教育，2011（20）：35-40.

[3]马立平. 小学数学的掌握与教学[M]. 李士锜，吴颖康，等译. 上海：华东师范大学出版社，2011.

[4]袁晓萍. 让数学学习成为儿童真实的探究与创造[J]. 小学数学教师，2019（12）：11-15，2.