高中数学三角函数解题技巧探析建议

甘肃省陇西县第二中学 谢克仁

高中三角函数是整个数学学习的重点以及难点，是历年高考试题的热门考点，它主要考查的是学生的逻辑分析能力、推理能力以及抽象思维能力，能帮助学生提高综合能力，为学生未来的发展打下坚实的基础。但在实际的教学中，一般这个部分的内容学习起来是比较吃力的，有的老师使用的是传统的教学方式，让学生对公式死记硬背，导致学生不会变通，当题目稍微变动一下就不会解题，在这样的教学方式下，学生的能力永远也不会得到提高，更无法适应当下的高考。所以，熟练掌握三角函数的解题技巧是很有必要的，对其他科目的学习也会有很大帮助。

一、当前高中三角函数教学过程中存在的主要问题

1.教师不注重学生能力的培养。

高中阶段的学习任务非常繁重，不仅学生面临着巨大的学习压力，教师也有很大的教学压力。由于我国还处于应试教育的阶段，所以一切的学习和教学都是为了提高学生的成绩，为将来的高考做准备。所以在平时的教学中，很多教师就不注重教学手段的使用，而采用的是灌输式的方式，在课上直接进入正题，学生的兴趣和积极性还没有被调动起来，无法理解公式是如何得来的。老师也不会去讲解公式具体的推导过程，学生只能死记硬背公式。虽然这的确是快速提高成绩的一个有效方法，但它不适合新课标下的教学，学生的各项能力都无法得到培养，只会限制学生综合能力的发展。高中三角函数是数学学习的重中之重，其中必须要掌握正弦函数、余弦函数以及正切函数的公式推导过程，知道它们的基本概念以及如何在综合题中运用。归根结底，学生在学习三角函数时比较吃力与老师的教学方式有很大的关系，当老师只关注学生成绩的提高，不关注学生的能力是否得到培养时，学生在学习模块时就尤其吃力。

2.学生缺少预习和复习。

高中学习任务重，这是毋庸置疑的，但想要靠课堂的四十五分钟完全掌握知识是几乎不可能的，三角函数这一章的内容比较复杂，涵盖的知识点比较多，学生需要花费大量的时间来学习。受初中学习习惯的影响，很多学生还没有适应高中的学习模式，没有养成课前预习和课后复习的习惯，同时课堂上学习的内容也不是单纯的数字计算，而是变成了逻辑思维和抽象思维的培养。很多学生还无法适应高中的学习节奏，课前没有做好充分的预习，等到了上课的时候就会一头雾水，稍不留意就会错过重要知识点。课上没听懂，课后做题的时候也无法进行针对性的训练，复习也没有计划，久而久之就会造成完全听不懂的后果。还有一部分学生喜欢做题的时候看答案解析，遇到难题时不去试着解决，而是寄希望于参考答案，学习态度不端正，学习习惯也没有培养好，自然在之后的学习中逐渐失去兴趣。

3.公式学习不求甚解。

高中三角函数这一模块有很多公式，很多学生在面对一道题的时候无从下手，不知道该用哪个公式，究其原因，还是没有真正掌握三角函数的本质。比如有一道三角函数的题是这样的：已知sin（390°）=sin（30°＋360°）=sin30°=1/2，tanβ=3/4，求sinβ 和cosβ。很多学生在看到这道题的时候，一般首先会想到同角的正余弦比就是要求的正切值，但他们却忽略了一个重要的知识点，即同角的正弦值的平方与余弦值的平方的和等于一，利用这个规律就可以轻松解答这道题。遇到这种题的时候，我们一般所用的方法就是简化求值，只需要将角化成诱导公式左边角的形式就可以轻松解决，但很多学生在做题的时候，由于对公式还没有掌握透彻，不清楚究竟该使用哪个公式，往往把一道简单的题复杂化，最后导致更不会解。这个问题的根本原因就是学生对公式的学习不求甚解，没有掌握透彻。

4.易忽略有字母的三角函数值的符号。

忽略三角函数值的符号是学生在做题过程中经常容易出现的一个问题。例如：已知sinα=-3/5，求cosα 和tanα 的值。很多学生在做这道题的时候会出现一个错误，即利用sin2α＋cos2α=1 的变式：sinα=1-cos2α，这种的解题方法是完全错误的，正确解法应该是将sinα 和cosα组成二元一次方程组，利用已知的条件判断出α 是第一象限角还是第三象限角，然后进行分情况讨论。很多学生在做题的过程中往往会忽略题目中给出的条件，在进行计算的时候也容易忽略掉符号，最终导致计算出现错误。

5.在运用诱导公式时，对符号的把握不到位。

在学习完三角函数的整个章节后就会发现，基本的公式一共有16个，相比其他章节的公式来说已经算非常多的了，而想要真正运用好这些公式也不是一件简单的事，有时稍不注意就会把公式的符号弄错，导致这道题的结果出错。有一个诱导公式是sin（л+α）=-sinα，这时应该把α 看作一个锐角，而л+α 就位于第三象限，根据学过的知识，正弦值如果在第三象限，那么结果就是负值，这才有了公式中的“-”，但很多学生在做题的时候不会考虑到这些，对符号的把握不到位，他们根据角的终边最终落在第几象限来确定公式后的符号，这样的解法会造成出错率很高，也错用了三角函数的公式。

二、提高高中学生三角函数解题技巧的有效对策

1.充分利用数形结合的方式来解题。

如果单纯地去解抽象的三角函数题可能会有些难度，尤其是对于正在学习中的学生来说，不是一件简单的事，我们在解三角函数的题的时候，往往运用的是常规思维，计算起来就非常吃力，但如果换一种思维方式，将三角函数的图形和坐标联系起来解题，就会变得容易得多，这种数形结合的解题方式是三角函数中使用最多的方法之一，它能将抽象的三角函数转换为具体的图形，解题的过程就会变得更加具体。例如，有一道题是这样的：求三角函数y=sinx/(2+cosx)的最值。这道题就是典型的运用数形结合的方式来解答的题。首先可以建立一个坐标系，设一个点O（cosx，sinx），已知点O 是一个单位圆上的一点，我们通过观察图形即可得知，函数y 所要表达的意义就是O 与已知定点之间的连线的斜率。而当连线与圆相切时，斜率会达到最值，并且有两个最值，最小值和最大值，通过计算即可得知，最小值为，最大值为。在三角函数中，数形结合是一种常用的解题技巧，可以解决很多抽象的问题，学生在学习这一模块的时候要尤其注意学会这种方法的运用。

2.投机取巧，掌握一些特殊的三角函数。

学会使用一些技巧会让解题过程变得简单很多，除了有数形结合的方式，适当的时候还可以“投机取巧”，利用特殊的规律进行解题。在学习这部分的内容时，教师可以给学生罗列出一些特殊的三角函数值和图形，要求学生把特殊的值记忆下 来 即 可。比 如sin30°=1/2=cos60°，sin90°=1，cos90°=0，这些都是特殊的三角函数值，记住这些将会对做题很有帮助。这种方法一般在做选择题的时候非常适用，可以直接利用一些特殊值代入选项来进行验证，这样大大提高了做题的效率，节省了很多时间，这样就不用对整个题目进行完整地计算，从而找出最便捷的解题方式，而且一般正确率会很高。这种方法需要学生多加练习。

3.夯实理论知识基础。

纵观近些年的高考数学题目，考查的基本都是基础知识，偏难的题很少出现，主要考查学生是否真正掌握基本概念，能否运用基础知识进行变通解题。所以要想真正掌握三角函数这一方面的知识，就必须吃透课本，牢牢掌握三角函数的基本概念，如正弦函数的图形、性质及公式的变化等，认真练习课本上的例题，然后再进行强化训练。很多学生在学习这部分的内容时，往往还没有真正掌握三角函数的基本概念，就急于求成，迫不及待地找题来做，导致做题过程中出现很多问题，既浪费时间又没有真正得到提高。所以只有对基础理论知识掌握透彻，才能轻松进行公式的推导，通过做一道题而学会做一类题的方法。例如有这样一道题：如果α 是第四象限的角，那么180°-α是第几象限的角？这道题的解题思路就是，已知α 在第四象限，那么就可以得出270°+k·360°＜α＜360°+k·360°，k∈Z，根据三角函数的性质又可以得到：-90°-k·360°＞180°-α＞-180°-k·360°，那么最终就可以得出180°-α 是第三象限的角。这道题实际上并不难解，它主要考查的是学生对基础概念和基础知识的运用，能熟练地进行角度制和弧度制的计算，区别象限角、区间角。所以说，在学习数学的过程中，尤其要注意基础知识的理解，才有可能做到举一反三、触类旁通，提高自身的综合运用能力，从而形成严密的数学思维。

4.解题期间注意对隐含条件的分析。

三角函数由于公式多，所以在出题时可以进行多方面的变换，尤其是一些带有图表的题目，其中多数含有隐性条件，需要学生们在做题时仔细把握，如果学生很难发现其中的隐性条件，那么这道题将很难做出来。例如：已知一个三角形ABC 是锐角三角形，sin∠C=，tan∠B＝2，问∠A 的余弦值是多少。我们知道，三角形的内角和是180°，所以∠A+∠B+∠C=180°，所以可以进一步得到cos∠A=cos (180°- ∠B- ∠C)=-cos(∠B+∠C)=sin∠Bsin∠C-cos∠Bcos∠C，再根据同角的正弦值的平方与余弦值的平方和是1，以及sinα/cosα=tanα,再加上题中隐含的锐角三角形的条件，可以得到。

5.利用托底法简化表达式。

上述所讲的方法是针对一些简单题型而言的，当面对一些复杂题型的时候，我们可以使用托底法将题型简化，进而求得结果。比如有这样一道题：已知tanα=3，求sinα-3cosα/2sinα+cosα 的值。在这道题中，只有把表达式化简为包含tanα 的形式，才能利用已知条件计算得出答案。根据求解表达式特点，可以将其分子和分母同时除以cosα，将其转化为tanα-3/2tanα+1，代入已知条件后，可以快速求解出，sinα-3cosα/2sinα+cosα=0. 这种方法是针对题型比较复杂的情况，解题的方法不是一成不变的，而是需要在具体的情况中进行变通，尽量做到化繁为简、化难为易，节省做题的时间。

6.建立运动观点体系。

在三角函数题目中有一种常见的出题形式，即函数图像中有一个点P，经过一定的运动时间后，求P 与另一个点Q之间的距离。有的时候也会要求解出两个函数终点的距离。若是遇到此类题目，教师可以引导学生们建立运动观点体系来解题。比如，函数f(x)=sin x，函数g(x)=x2，函数f (x) 图像上有点P，最初位置为（0，0），函数g(x)图像上有点Q，最初位置为（0，0），将PQ 两点连接起来。P 在f(x)图像上按照速率v 运动，Q 在g(x)图像上按照速率V 运动，要求解出经过一定运动后t 时段P、Q 两点之间的长度L 的值。拿到题目后，应首先进行仔细的分析，了解P、Q 两点的运行轨迹，并画出函数图像，再解出t 时的值。实际上，学生在求解这类题目时也可以通过设置假设点了解不同点之间的关系。除此之外，三角函数题目中还有一种较为常见的出题形式，即平移问题，也可以借助运动观点来解答。学生可以先设置函数图像的对称点或对称轴，可以选择坐标原点或y 轴，接着确定平移方向，将对称点或对称轴进行移动就可以得出结果。

7.注意总结方法规律。

数学学习注重习题的练习，但练习并不指的是采用题海战术，而是有针对性的选择有代表性的题型去练习，尤其是具有典型特征的题目应当多去练习，总结其中的规律，否则如果是盲目、没有针对性的练习不仅不会有所提高，还会增加学习的负担。其次，要进行针对性的练习，三角函数的题型分为很多种，每一种三角函数的题型都有一套独特的解题方式，学生在进行练习的时候，可以根据类型的不同进行分类型训练，发现并总结其中的方法规律，从而真正掌握其中的解题技巧，当以后再次面对这类型的题的时候就能轻松解决。三角函数的解题方法有很多种，除了上述所说的数形结合法、特殊值代入法、转化法等以外，还有简化法、排除法等多种方法，学生在平时做题的过程中一定要注意多去总结方法和规律，从而学习各种各样的解题技巧，这样有助于提升解题的效率。

结束语

综上所述，高中数学三角函数部分的知识是繁杂的，对高中生来说是有一定难度的，但是数学的学习是需要讲究方法的，它和其他科目不同的是，数学的学习需要学生有活跃的思维，有分析问题的能力，如果只是死记硬背公式，那么很难将数学学好。三角函数是高中数学中的重点和难点，也是高考必考内容，做题时可能会遇到一些“奇怪”的题型，但一定不要产生畏难心理，一定要冷静分析，运用所学的基础知识一步步分析，灵活运用各种公式，多去思考、多去探索，不仅学会分析问题，还要多去总结知识点，勤于练习，让自己的思维变得更加灵动。数学学习的过程就是一个培养学生思维和能力的过程，只有明白问题的本质，做起题来才能得心应手。