初中数学“结构教学”探索

□ 江苏省南通市如皋市下原镇下原初级中学 浦金才

著名教育家布鲁纳说，“学生进行学科学习的实质就是掌握该学科的基本知识结构”“学习就是学生认知结构的组织或重新组织”。初中数学“结构教学”，就是要立足学生已有“认知模块”，营造学生数学学习的“思维场”，用“问题串”等引导、启发学生。通过“结构教学”，能促进学生数学学习有效迁移，进而能有效提升学生数学学习力，发展学生数学“核心素养”。

一、把握“衔接点”，解读学习“认知块”

著名教育家奥苏贝尔曾经这样说，“假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么我将一言以蔽之：影响学生学习的唯一最重要的因素就是学生已经掌握了什么，并据此展开教学。”在初中数学教学中，教师要把握学生认知的“衔接点”，认识学生数学学习的“认知模块”。学生的认知模块是丰富的，它包括学生的已有核心知识、共享知识、境域知识、结构知识、隐性知识等。

在初中数学教学中，每一位学生的学习起点都是不同的，个体的情况千差万别，它包括学生的已有知识储备、已有经验和思维水平等。只有把握学生数学学习的“衔接点”，才能引导学生的数学学习步入“最近发展区”，从而让学生在数学学习中“跳一跳能摘到桃子”。作为教师，要引导学生基于自我的认知模块不断进阶。比如教学人教版八年级下册《特殊的平行四边形》这一部分内容，笔者在教学中从学生生活实际入手，展示学生生活中的平行四边形图片（如活动衣架、伸缩门等），引导学生感知、操作将平行四边形推拉成长方形、将长方形推拉成平行四边形的过程，从而为学生的数学学习提供一个生长性的情境；从学生已有知识经验—“平行四边形”“三角形”等相关知识入手，催生学生数学发现，让学生认识到矩形是一种特殊的长方形。在这个过程中，笔者及时介入、适度追问：矩形特殊在什么地方？怎样的平行四边形是矩形？怎样的四边形是矩形？通过这样的一种追问，能架设学生已有知识和未知的桥梁，从而促进学生展开从一般到特殊的思考，帮助学生从特殊性的视角给矩形下定义。在这个过程中，激活学生的已有认知。过去，我们研究三角形、平行四边形是从哪些角度展开研究的？研究矩形，你准备通过哪些元素去进行研究等。引导学生借助于研究三角形、平行四边形的经验，去思考研究矩形的方法。通过对学生的“认知模块”的激活，引导学生掌握系统性的数学思想方法，帮助学生形成一个线条清晰的学习思维轮廓。

把握学生数学学习的衔接点，不仅能让学生所学的新旧知识进行有效地衔接，促进学生新旧知识的有效迁移，更能引导学生形成结构化的学习方法、思想等。在初中数学教学中，只有把握学生数学学习的衔接点，把握学生的“认知模块”，才能让教师的教学富有挑战性，才能让教师的教学贴地而行。

二、激活“生长点”，构建学习“问题串”

结构教学要摒弃传统的碎片化的教学方式，通过“问题串”“问题群”等，让学生明确学习的指向，并能进行自主性、自能性的数学学习。要让问题具有整合性、开放性、研究性和建构性，促进问题对学生数学学习的积极导引。在初中数学教学中，教师不仅要把握学生数学认知的衔接点，更要通过构建“问题串”，激活学生数学学习的生长点。通过激活学生数学学习的生长点，为学生的数学知识理解、迁移搭建重要的平台。

一般来说，问题串往往是由几个核心问题、主问题等构成的。并且，这些问题往往是有层次性、结构性的，是逐步深化的。通过结构化的问题串，能引发学生的数学深度思维，推动学生的数学深度探究，从而能让学生主动建构数学知识。比如教学人教版九年级上册《根与系数的关系》这一部分内容时，为了助推学生自主发现，笔者精心设计了这样的“问题串”：一元二次方程中的“两根之和”与“系数”之间有没有关系？有怎样的关系？怎样证明？你还能提出怎样的问题？探讨根与系数的关系有什么作用？其中，“问题串”中的第一、第二个问题，有助于激发学生的数学猜想；第三个问题有助于激发学生进行数学验证、探究的兴趣，调动学生数学验证、探究的积极性；而第四个问题，则有助于发散学生的数学思维，催生学生提出新的问题，诸如两根之差与系数有没有关系？两根之积与系数有没有关系等。最后一个问题，有助于学生对自我的探究结果进行反思、审视，并能促进学生对根与系数关系的应用。通过这样的“问题串”，能引导学生的数学思维爬坡，让学生的数学思维、认知等逐步从低阶迈向高阶。如有学生在学习中，通过对几个一元二次方程的例子，探究根与系数之间的关系，形成自己的不完全归纳法；有学生根据求根公式求出一元二次方程的根之后，通过计算的方法发现了根与系数之间的关系。在这个过程中，有学生感悟到，根据一元二次方程中的根与系数的关系以及其中的一个根，可以求出另一个根、未知系数等，从而使学生认识到了学习“根与系数的关系”的意义、作用。

在结构教学中，教师一方面要引导学生进行新知建构，另一方面要引导学生进行旧知完善。为此，要引导学生的心理同化与顺应，让学生将新知纳入旧知结构之中，促进新旧知识的统整。结构教学，不仅要求学生的学习结果结构化，更要求学生的学习过程结构化。通过结构教学，促进学生知识创新，同时为学生的知识迁移应用奠定重要的基础。

三、了解“困惑点”，创设学习“思维场”

在初中结构教学中，教师要了解学生的“困惑点”，从而帮助学生及时疏导疑难杂症。美国著名教育家加涅认为，“学生的一个学习流程往往就是学生的信息输入输出流程”。在数学教学中，如果学生在学习中遭遇障碍、困难、困惑，就会堵塞正常的信息输入输出流程。为此，教师在教学中要充分调研，精心创设学生数学学习的“思维场”，帮助学生设计破解学生认知困惑、障碍等的招数，帮助学生打开思维、认知等的闸门，让学生在思维引力作用下，激发学生的有效认知。

“思维场”能激发学生的认知冲突，引发学生的积极参与。“思维场”可以助推学生的发现、探究。作为教师，要为学生创设积极主动参与的条件，为学生留足思维的空间，帮助学生建立起动态韵味的发现场、探究场、质疑场，鼓励学生发现、探究、质疑。比如教学人教版八年级上册的《平方差公式》，笔者呈现了一组“结构性习题”：（200-1）×（200+1）、（2a+1）(2a-1)、（x+y)（x-y）、（y+1）(y+1)。通过这样的一组结构化习题，构建了一种结构化的思维场，催生学生的结构化发现，引导学生的结构化思维，诱发学生的结构化猜想。通过这一组习题的计算，学生很快就自主发现了“平方差公式”。有学生说，前三个题目都是已知两个数的和与两个数的差，所以计算结果为两项；有学生说，应用多项式的乘法计算后发现，这些式子通过计算展开之后都是四项，其中中间的两项有可能被消去，也可能不能消去，前面三个题目中的计算结果中的中间两项都被抵消了，而最后一道题目中的计算结果的两项没有消去等。通过这样的结构化思考、探究，学生逐步领悟到了“平方差公式”的本质。在打造学生思维场的过程中，教师要充分发挥组织者、引导者等的作用，让思维场能融合学生的经验、思维等。置身于思维场之中，学生能展开积极的再创造，并能展开积极的反思，促进对自我认知的质疑与批判。

在打造学生数学学习思维场的过程中，教师要留有一定的时空，让学生自主建构、创造。基于学习思维场营建的数学教学，往往遵循着问题情境、观察探究、形成结论的过程。要让学生在发现、创造、质疑中走出传统的简单思维、认知的窠臼，帮助学生拓展自我的认知结构，从而引导学生再创造、再发展，助推学生提升自我的数学认知，深化学生的数学理解。

四、把握“关节点”，创造学习“生成器”

前苏联著名教育家苏霍姆林斯基认为，“教师的教学技巧不在于能预知课堂的所有细节，而在于能根据课堂当时的具体情况，巧妙地在学生学习过程中作出不知不觉的相关变化。”这种让学生在学习过程中发生不知不觉变化的过程，就是动态生成的过程。动态生长这一概念是相当于预设的，更需要教师的教学机智，同时还需要学生学习数学的眼光、审视科学世界的数学思维等，从而让学生达到事半功倍的效果。

比如教学人教版八年级下册《勾股定理》这一部分内容之后，笔者引导学生反思、总结，把握“勾股定理”学习过程中的相关的重要关节点，创造学生的数学学习生成。反思1：勾股定理揭示了哪一类三角形的什么元素之间的关联？反思2：在探索“勾股定理”的过程中，我们应用了哪些思想方法？反思3：应用“勾股定理”，我们应该注意什么？反思4：对于“勾股定理”，你还有什么要进行表达？通过这样的反思，引导学生回顾、总结勾股定理的猜想、验证等。通过反思、总结，不仅能让学生所学的数学知识结构化，更能让学生将数学知识探索过程以及思想方法结构化。这种结构化的总结，能让学生把握数学知识的关键节点，促进学生数学学习的精彩生成。学生在反思中互动、交流，呈现了对勾股定理探索过程的多个看法、观点，同时促进学生对数学知识的结构化应用，促进学生对相关数学知识的结构化迁移等。在初中数学教学中，引导学生把握数学知识的关键节点，培养了学生的个性和良好的思维品质。

把握学生数学认知的关键节点，要引导学生在学习过程中反思。通过反思，形成对相关知识的提炼和归纳。 在数学结构教学中，教师要关注学生的数学结构学习的参与度，提升学生数学结构学习的品质。在结构教学中，认知块是基础，问题链是线索，关节点是关键，而思维场则是载体。只有引导学生通过问题链，构筑认知块，把握数学学科知识关键节点，打造学生的数学思维场域，才能让学生感悟数学思想方法，形成学生的数学核心素养。