平面应变条件下基于Lade-Duncan强度准则中主应力条件的土压力及其适用性

孟天一，张玉,2，刘瑾，赵阳，杨倩，丁潇，范特佳

(1.西安工业大学 建筑工程学院，西安 710032； 2.西安理工大学 陕西省黄土力学与工程重点实验室，西安 710048)

挡土墙、基坑开挖等问题常可简化为平面应变问题，在平面应变条件下，中主应力对土压力有显著影响。Rankine土压力理论是基于Mohr-Coulomb 强度准则提出的，二者沿用至今，但均未考虑中主应力对土体本身强度的影响，与实测结果相比，计算出的主动土压力偏大，被动土压力偏小，这已被众多试验结果证实[1]。学者们通过不断的试验和研究已取得一定成果[2-4]：通过广义虎克定律计算出了中主应力表达式，结合双剪统一强度理论主应力型表达式推导出了Rankine主、被动土压力计算式；在平面应变条件下，结合Lade-Duncan强度准则和等效内摩擦角求解出了土体的主动土压力，提出了计算土压力的新公式；基于SMP强度准则中主应力条件，计算出了各强度准则下的主、被动土压力。SMP强度准则、Lade-Duncan强度准则、AC-SMP强度准则、广义Mises强度准则等考虑到中主应力对土强度的贡献[5-8]，在描述同一土体强度时，各种强度准则均能在其各自的适用范围内有效描述土的强度大小，但选取的中主应力表达式不同，计算结果与实测数据存在一定差异[9]。根据以上研究发现，SMP强度准则适用于无黏性土，Lade-Duncan强度准则是根据砂土真三轴试验成果的曲线拟合得到的，AC-SMP强度准则和广义Mises强度准则更适用于黄土[10]。Lade-Duncan强度准则中主应力条件与实际情况最为相符，笔者依据Lade-Duncan强度准则下的中主应力条件推导了几种平面应变强度准则，提出了无黏性土和黏性土平面应力状态下的主、被动土压力计算公式，并将其与实测数据进行对比分析，验证了基于各个平面应变强度准则所推导的主、被动土压力计算公式的适用范围及准确性。

1 土的常用强度准则

土的强度准则实质上反映的是土单元在破坏时的应力条件与土性参数之间所满足的关系。目前，针对土建立的强度准则包括Mohr-Coulomb准则、SMP准则、Lade-Duncan准则、广义Mises准则、轴对称压缩空间滑动面(AC-SMP)准则[11]。

1)Mohr-Coulomb强度准则

σ1=Kpσ3

(1)

式中：Kp=tan2(45°+φ/2)。

2)SMP强度准则

(2)

3)Lade-Duncan强度准则

(3)

4)广义Mises准则

(4)

5)AC-SMP强度准则

(5)

2 平面应变条件下基于各强度准则的无黏性土主动与被动土压力

各强度准则在描述同一种土体强度时存在差异，本质上是各强度准则条件所隐含的中主应力发挥程度的差别。平面应变条件下的中主应力表达式及适用性研究已取得了众多成果[12-14]。平面应变条件下，基于各种理论得到的中主应力表达式计算结果与实测数据的对比分析表明，基于Lade-Duncan强度准则的中主应力表达式能较为准确地描述土体破坏时的中主应力变化情况[10]，其表达式为

(6)

因此，将Lade-Duncan强度准则下的中主应力 表达式(6)代入式(2)～式(5)中，即可得到基于不同强度准则的大、小主应力关系表达式。计算主动土压力时，令σ1=γz(式中γ为土的容重，z为水平地面到单元的深度)，并代入不同强度准则下大、小主应力的关系表达式中，解得主动土压力Pa=σ3=σ1/Kp。同理，令σ3=γz，求解出被动土压力Pp=σ1=Kpσ3。平面应变条件下，基于不同强度准则得到的主、被动土压力表达式如式(7)～式(20)所示。

2.1 基于Mohr-Coulomb强度准则的平面应变土压力

主动土压力

Pa=σ3=σ1/Kp=γz/Kp

(7)

被动土压力

Pp=σ1=Kpσ3=Kpγz

(8)

2.2 基于SMP强度准则的平面应变土压力

将式(6)代入式(2)中可得

(9)

式中：KSMP=(2Kp+1)(Kp+2)/Kp。

同理，可以得到基于SMP强度准则的平面应变土压力。

主动土压力

Pa=σ3=σ1/Kp-SMP=γz/Kp-SMP

(10)

被动土压力

Pp=σ1=Kp-SMPσ3=Kp-SMPγz

(11)

2.3 基于Lade-Duncan强度准则的平面应变土压力

将式(6)代入式(3)中可得

(12)

式中：KLD=(Kp+2)3/Kp。

主动土压力

Pa=σ3=σ1/Kp-LD=γz/Kp-LD

(13)

被动土压力

Pp=σ1=Kp-LDσ3=Kp-LDγz

(14)

2.4 基于广义Mises强度准则的平面应变土压力

将式(6)代入式(4)中可得

(15)

式中：KMIS=2(Kp-1)2/(Kp+2)2。

主动土压力

Pa=σ3=σ1/Kp-MIS=γz/Kp-MIS

(16)

被动土压力

Pp=σ1=Kp-MISσ3=Kp-MISγz

(17)

2.5 基于AC-SMP强度准则的平面应变土压力

将式(6)代入式(5)中可得

(18)

主动土压力

Pa=σ3=σ1/Kp-AC=γz/Kp-AC

(19)

被动土压力

Pp=σ1=Kp-ACσ3=Kp-ACγz

(20)

3 基于各强度准则的无黏性土主、被动土压力系数分析

3.1 主动土压力系数分析

依据将Lade-Duncan强度准则下的中主应力代入不同强度准则得到的大、小主应力关系，可以得出基于各强度准则的主动土压力系数Ka。整理各强度准则得到的主动土压力系数Ka随内摩擦角φ的变化规律，如图1所示。

图1 主动土压力系数与内摩擦角的关系

由图1可以看出，依据平面应变条件下各强度准则得到的主动土压力系数随着内摩擦角的增大呈非线性减小趋势，主动土压力系数从小到大依次为AC-SMP强度准则、广义Mises强度准则、Lade-Duncan 强度准则、 SMP强度准则、Mohr-Coulomb 强度准则，基于各强度准则得到的主动土压力系数均小于 Mohr-Coulomb强度准则计算得到的主动土压力系数。当φ>40°时，广义Mises强度准则所计算出的主动土压力系数趋近于0，且随着内摩擦角的增大，主动土压力系数会有小于0的情况出现，此时该强度准则不适用于计算土压力。当0<φ<20°时，AC-SMP强度准则能够有效描述土压力大小。当φ>20°时，AC-SMP强度准则所计算出的主动土压力系数变化速率较大，且随着内摩擦角的增大，主动土压力系数会有趋于0的情况出现，此时该强度准则不适用于计算土压力。由此可以看出，各强度准则在考虑了中主应力影响的条件下计算出的主动土压力系数均小于Mohr-Coulomb强度准则。这表明Mohr-Coulomb强度准则在应用中趋于保守，未完全发挥出土体自身的强度特性。其余准则在其各自的适用范围内更趋近于实际情况，土体自身强度得到了有效的发挥。

3.2 被动土压力系数分析

与主动土压力系数计算方法相同，可得出基于各强度准则的被动土压力系数Kp。整理各强度准则得到的被动土压力系数Kp随内摩擦角φ的变化规律，如图2所示。

图2 被动土压力系数与内摩擦角的关系

由图2可以看出，依据平面应变条件下各强度准则得到的被动土压力系数随着内摩擦角的增大呈非线性增大趋势，基于各强度准则得到的被动土压力系数均大于Mohr-Coulomb强度准则计算的被动土压力系数，被动土压力系数从小到大依次为Mohr-Coulomb 强度准则、SMP强度准则、Lade-Duncan强度准则、广义Mises强度准则、AC-SMP强度准则。当φ>30°时，广义Mises强度准则所计算出的被动土压力系数随着内摩擦角的增大而快速增大，此时该强度准则不适用于计算土压力。当0<φ<20°时，AC-SMP强度准则能够有效描述土压力大小。当φ>20°时，AC-SMP强度准则所计算出的被动土压力系数随着内摩擦角的增大而快速增大，显然，AC-SMP强度准则在φ>20°时不适用于计算土压力。其余各强度准则的被动土压力系数计算结果增长速度均较为平缓，且未出现明显偏差，能较好地反映出被动土压力。

根据主、被动土压力系数与内摩擦角的关系可以看出，Mohr-Coulomb强度准则、SMP强度准则、Lade-Duncan强度准则均能较好地描述挡土结构上土压力的大小；当φ>30°时，广义Mises准则所计算的主、被动土压力系数已出现较大偏差，不再适用于文中条件下的土压力计算；当φ>20°时，AC-SMP强度准则所计算出的主动土压力系数已出现较大偏差，且被动土压力系数随着内摩擦角变化的斜率发生转折，显然已偏离实际情况，不再能准确反映该条件下的土压力。

4 平面应变条件下基于各强度准则的黏性土主动与被动土压力

基于以上各强度准则得到的无黏性土的平面应变主、被动土压力公式，其主应力状态经式(21)的变换，即可将不同平面应变土压力从无黏性土推广至黏性土，建立黏性土的土压力计算公式。

(21)

4.1 基于Mohr-Coulomb强度准则的黏性土平面应变土压力

主动土压力

Pa=σ3=[σ1-ccotφ(Kp-1)]/Kp=

[γz-ccotφ(Kp-1)]/Kp

(22)

被动土压力

Pp=σ1=Kpσ3+ccotφ(Kp-1)=

Kpγz+ccotφ(Kp-1)

(23)

4.2 基于SMP强度准则的黏性土平面应变土压力

主动土压力

Pa=σ3=[σ1-ccotφ(Kp-SMP-1)]/Kp-SMP=

[γz-ccotφ(Kp-SMP-1)]/Kp-SMP

(24)

被动土压力

Pp=σ1=Kp-SMPσ3+ccotφ(Kp-SMP-1)=

Kp-SMPγz+ccotφ(Kp-SMP-1)

(25)

4.3 基于Lade-Duncan强度准则的黏性土平面应变土压力

主动土压力

Pa=σ3=[σ1-ccotφ(Kp-LD-1)]/Kp-LD=

[γz-ccotφ(Kp-LD-1)]/Kp-LD

(26)

被动土压力

Pp=σ1=Kp-LDσ3+ccotφ(Kp-LD-1)=

Kp-LDγz+ccotφ(Kp-LD-1)

(27)

4.4 基于广义Mises强度准则的黏性土平面应变土压力

主动土压力

Pa=σ3=[σ1-ccotφ(Kp-MIS-1)]/Kp-MIS=

[γz-ccotφ(Kp-MIS-1)]/Kp-MIS

(28)

被动土压力

Pp=σ1=Kp-MISσ3+ccotφ(Kp-MIS-1)=

Kp-MISγz+ccotφ(Kp-MIS-1)

(29)

4.5 基于AC-SMP强度准则的黏性土平面应变土压力

主动土压力

Pa=σ3=[σ1-ccotφ(Kp-AC-1)]/Kp-AC=

[γz-ccotφ(Kp-AC-1)]/Kp-AC

(30)

被动土压力

Pp=σ1=Kp-ACσ3+ccotφ(Kp-AC-1)=

Kp-ACγz+ccotφ(Kp-AC-1)

5 平面应变土压力理论算例与分析

5.1 无黏性土土压力验证

试验采用无黏性的松散砂土[15]，内摩擦角φ=34°，容重γ=19.56 kN/m3。挡墙由杂木板制成，厚5 cm、高1 m、宽1 m，并用两肋加强，以满足刚度要求。图3给出了试验时测得的主动土压力值，其中，h为墙高，Pa为墙体水平土压力。将砂土土性参数带入基于各个强度准则得到的主动土压力表达式，即可计算出各强度准则条件下挡墙不同深度处的主动土压力值，其与实测土压力曲线的比较如图3所示。

图3 砂土的主动土压力

从图3可以看出，依据平面应变条件下各强度准则计算的主动土压力值随着深度的增加均线性增大，主动土压力计算结果从小到大依次为广义Mises强度准则、Lade-Duncan强度准则、SMP强度准则、Mohr-Coulomb强度准则，规律明显。

实测主动土压力值远小于基于Mohr-Coulomb强度准则的计算值，说明Mohr-Coulomb强度准则的计算结果过于保守，不利于提高工程经济性。开挖深度越深，基于各强度准则的主动土压力值差异越大，当开挖深度小于0.5 m时，Lade-Duncan强度准则、SMP强度准则的计算结果与实测值较为吻合；随着开挖深度继续增大，SMP强度准则的计算结果和实测值较为接近。基于广义Mises强度准则的计算结果在整体上和实测值最为接近；基于Mohr-Coulomb强度准则计算的主动土压力值最大，在应用于设计时过于保守，未能充分发挥土的自身强度；基于Lade-Duncan强度准则、SMP强度准则、广义Mises强度准则得到的主动土压力均体现了平面应变条件下中主应力对土强度的贡献，能较好地反映挡墙上的应力状态，与实测土压力值更为接近，其中基于广义Mises强度准则得到的主动土压力与实测土压力值最为接近。

5.2 黏性土土压力验证

某基坑深7.1 m，采用桩径为800 mm的悬臂桩支护，桩长12.70 m。坑深内土层分布及各土层的土性指标见图4[16]。

图4 土体土层示意图

依据黏性土的主动土压力计算公式和各个土层的土性参数，可计算出基于各强度准则的不同土层深度处的主动土压力，将其整理后列于表1，沿基坑各土层上、下界面的土压力变化曲线见图5。

表1 不同强度准则条件下各点土压力值

图5 各强度准则条件下主动土压力分布图

由表1和图5可知，基于广义Mises强度准则 计算出的主动土压力值与实测结果最为接近，基于Lade-Duncan强度准则、SMP强度准则计算的主动土压力值在整体上与实测结果较为接近，并均小于基于Mohr-Coulomb强度准则计算的主动土压力值。以3.8 m处不同强度准则条件下土压力计算值与实测值为例，如表2所示，广义Mises强度准则土压力计算值与实测值的比值为1.306、Lade-Duncan强度准则土压力计算值与实测值的比值为1.933、SMP强度准则土压力计算值与实测值的比值为2.241、Mohr-Coulomb强度准则土压力计算值与实测值的比值为2.815。计算结果表明，广义Mises强度准则、Lade-Duncan强度准则、SMP强度准则均能表现出中主应力对土体强度的影响，其中，广义Mises强度准则更能体现中主应力对土强度的贡献。

表2 3.8 m处不同强度准则条件下土压力计算值与实测值

6 结论

1)在平面应变条件下，依据Lade-Duncan强度准则中主应力条件，得到基于不同强度准则下大、小主应力关系，推导出不同强度准则下主、被动土压力计算公式，并推广至黏性土。

2)各强度准则均有其适用范围，Mohr-Coulomb强度准则、SMP强度准则、Lade-Duncan强度准则在不同的内摩擦角条件下均能很好地描述挡土结构主、被动土压力；广义Mises强度准则适用于内摩擦角小于30°时的土压力计算；AC-SMP准则适用于内摩擦角小于20°时的土压力计算。

3)Mohr-Coulomb强度准则计算时未考虑中主应力的影响，导致计算结果偏于保守；基于广义Mises强度准则计算的主、被动土压力值与实测值最为接近。在考虑中主应力的条件下，各强度准则在其各自的适用范围内均能有效地描述土的主、被动土压力。

4)针对实际情况，在确保安全的前提下，选择合适的强度准则进行土压力计算，可充分发挥土的强度，达到节约成本、提高经济效益的目的。