张角公式与线段倒数和差关系的证明

于志洪

(江苏省泰州市海陵区森南新村15栋103室 225300)

1 引例

证明因为S△PAB=S△PAC+S△PCB，

图1

例1 如图2，已知圆心O在Rt△ABC的斜边BC上，且与AB，AC相切，设圆的半径为r.

图2

图3

证明过点P作PD⊥直线AB于点D，作PE⊥直线BC于点E，作PF⊥直线CA于点F.

知P,E,B,D及P,D,F,A分别四点共圆及PD=d1,PE=d2,PF=d3.

则∠DPE=∠ABC=60°,∠DPF=∠CAB=60°.

由西姆松定理，知D,E,F三点共线.

从而以P为视点，对△PEF应用张角公式，有

图4

证明作两圆的直径AO1D和BO2E，连接PA，PB，PD，PE.容易证明A，P，E和B，P，D分别共线.设∠APC=∠E=α，∠BPC=∠D=β，在Rt△APD和Rt△BPE中，分别得

PA=2Rsinβ,PB=2rsinα.

①

②

例4 如图5，在凸四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直，过AC，BD的交点O任作两直线分别交AC，BC，AB，CD于点E，F，G，H.又GF,EH分别交BD于点I，J.

图5

证明设∠GOI=∠JOH=α，∠FOI=∠EOJ=β，由题设易知∠AOG=∠COH=90°-α，∠COF=∠AOE=90°-β.

所以以O为视点，对A，G，B用张角公式，得

③

同理以O为视点，对B，F，C用张角公式，得

④

又以O为视点，对G，I，F用张角公式，得

⑤

将③和④同时代入⑤中，得

⑥

同理可得

⑦

所以⑥-⑦，得

例5 如图6，在直线l的同侧有相邻的三个等角∠BAD,∠DAN和∠NAG，且G，A，B都在l上，连接GD,BN分别交于AN,AD于N,L.

图6

证明以A视点，分别对B，L，N及G，N，D用张角公式，得

⑧

⑨

又sin60°=sin120°,

例6凸四边形ABCD的一组对边BA与CD的延长线交于点M，且AD∥BC，过点M作截线交另一组对边所在直线于H，L，交对角线所在直线于H′，L′.

图7

证明如图7所示，设∠BML=γ,∠CML=β，应用张角公式得

⑩